弹性模量的测量实验报告一、 实验目的1、 学习用拉伸法和动力学法测量弹性模量2、 了解螺旋测微计、读数显微镜的使用方法3、 学习修正系统误差的方法，用逐差法、最小二乘法处理数据实验原理【1】拉伸法(1) 已知胡克定律:,且设钢丝直径为D,则有E =4 FL兀D处L实验中需要得到F, L, 6 L, D四个量2) 施力F：通过砝码重力F=mg得到3) 钢丝直径D：螺旋测微计测量4) 钢丝长度L：钢尺测量5) 长度的变化量6 L：由于该量很小，使用读数显微镜测量 6 ) 利用逐差法和最小二乘法进行数据处理2】动力学法已知一细长棒(丨…d)横振动的动力学方程为d 2q El d 4耳 i+ — 二0 [1],其中惯性矩I = " z2dSGt 2 pS ox 4S(2) 将(1)式分离变量，可得：-dd-X = —PIT学由于其中的X、t参量独立,x dx4 EI T dt 2d4X则等式两端应均等于同一常数，设该常数为K4,于是得到： -K4X = 0,dx4孚+K4EL t 二 °dt 2 p S(3) 解出横振动方程通解，其中频率公式为w = ( } 2⑵I P S丿(4) 当棒用细线悬挂起来，如图振动时 —— ―，棒两端面上横向作用力F =°ML = — EI01与弯矩M =— EI学均为零。
由此得到四个边界条件：攀| = 0,ox ox 3 ox 2 dx 3 x=0d 3 Xdx 3 xTd 2 Xdx 2 x=0d 2 Xdx 2 x=1（5） 将得到的通解带入上述边界条件，并进行数值求解，可得KI = 0,4.730,7.853...其n中Kil = 4.730 ［3］对应振动频率为基振频率，其节点分别在距端面0.2241和0.7761处6)将［3］带入［2］可解出杨氏模量E = 7.8870 x 10-2l3m~Tf 2 '其中 m =卩lS，= 64l3m化简可得实验公式：E = 1.6067 f2d4（7） 对于实际情况，由于无法满足 丨>> d，则添加修正系数，将实验公式修改为E = 1.6067 凹 f 2Td 4 1实验仪器【2】动力学法：天平，游标卡尺，螺旋测微计，钢尺，激振器，拾振器，示波器四、 实验步骤【1】拉伸法（1） 记录钢丝原长2） 记录钢丝直径D：在测量直径前后分别记录三次螺旋测微计零点，记录五次钢丝直 径3） 在钢丝下端依次添加砝码，记录对应的示数yi；将砝码完全添加后，依次减少砝码, 记录对应的示数yi'2】动力学法（1） 连接线路2） 测量样品的长度、直径及质量，记录样品材质。
3） 测量样品弯曲的基频频率（若悬点位于节点处，则棒的振动无法被激发；若将悬点 置于节点位置以外，则与理论条件不一致，会产生系统误差）：①标注节点以及所需悬点位br—..匚 《 一 I ・•一 1置、、'、'"•“：' ②从-30 ~ +30依次改变悬点位置，记录基频共振频率③通过数据拟合，得到0即节点处的基频共振频率五、 数据处理【1】拉伸法（1）测钢丝长度L及其伸长量& L仪器编号：9 钢丝长度 L = 100.2cm m = 0.200 kg g = 9.80 m/s2序 号Fi = mg (N)yi (mm)Li = yi+5 - y.(mm)增砝码时减砝码时增砝码时l+减砝码时l-11*mg1.9511.9311.3341.42622*mg2.2252.3231.3241.30833*mg2.5152.5681.2941.29944*mg2.7852.8671.2761.23155*mg3.0453.1051.2591.26666*mg3.2853.357-工Il = 一i = 1.3021077*mg3.5493.631mm88*mg3.8093.86799*mg4.0614.0981010*mg4.3044.3711、 标准偏差 S= 兰 \i — l =0.0536mmi \ N -1i=12、 J读数显微镜测量位置y.的仪器误差为 0.004mm ,iAB = /Ay + Ay =、. 2 x 0.004 = 0.0057mm® i+5 i3、 J n = 10 ， v = n-1 = 9 ， 在 P = 0.95 时 ， tp(v) = 2.26AA=tp(v) S = 2.26 百l =而x 0.0536 = 0.0383mm4、Al = xAA2 + AB 2 =0.03873,取A l = 0.039mm5、61 =十 l = 0.260mm, AS l =5i Al = 0.008mm56、& l = 0.260±0.008mm（2）测铜丝直径 D1、 螺旋测微计零点 d 的测定（单位： mm）123平均值测量前-0.012-0.011-0.012d = -0.012测量后-0.013-0.011-0.0122、 钢丝直径的测量123456Di (mm)0.2080.2080.2060.2040.2060.203• 平均值 D = 0.206mm，标准偏差 s = 0.00204mm。
D• *.* n = 6 , v = n-1 = 5 ,在 P = 0.95 时,tp(v) = 2.57 ,AA =tP(V)S = 257 x 0.00204 = 0.00214mmn 1 <6o• 已知，螺旋测微计示值误差为A二0.004mmyqA 二 JAA2 +A 2 二 0.00455 A 八“• d yq ，取 A = 0.005mmD• D = D 一 d = 0.206 - (-0.012) = 0.218mm• 综上，钢丝直径 D=0.218±0.005mm3）总不确定度的计算A—EE(2 x 0.005 ¥+ (0.218 丿(0.008 ¥+ 1.302 丿= 4.66%•F = 0.200*9.80 = 1.96N，4 FL兀D 2辽4 x 1.96 x 100.2 x 10-2兀 x (0.218x 10-3)2 x (0.260x 10-3)二 202.4GPa• A =^E x E = 0.0466 x 202.4 = 9.4GPae E• 计算得杨氏模量为 E = 202.4±9.4 GPa4）最小二乘法拟合数据1、已知SL设F = 0 N时，读数显微镜示数为y0 （该数据在实验中未测），因为<5 1 = yi - y0,则可以得到:ES ESy.- yL i L 0。
所以直线拟合F~yi时,只需ES a =— 考虑其斜率 L，即可得到2、 直线拟合图像：F - yi直线拟合图像25增祛码时的直线拟合数据“ （蓝线）20y = 7.5117X - 12.904 R2 = 0.999515/减祛码时的直线拟合数据 （橘线）y = 7.4263X - 13.072R2 = 0.99725o0 1 2 3 4 5yi （mm）由拟合结果可知增砝码时R2〉0.999，实验数据较好；减砝码时R2< 0.999，实验数据比增砝 码时的数据差一些3、由增砝码的拟合结果可知：aL 4aL 4 x 7.5117 x 103 x 100.2x 10-2E 二 二 二一1 S 兀D2 兀 x (0.218x10-3)2二 201.7GPa由最小二乘法拟合的结果基本符合逐差法计算所得结果由减砝码的拟合结果可知：aL 4aL 4x7.4263x103x100.2x10-2E 二 二 二一2 S 兀D2 兀 x (0.218x 10-3)2二 199.4GPa最小二乘法拟合结果与逐差法结果的偏差比增砝码所得结果大，可知R2较小时，数据的线 性相关性较差，会影响后续计算的准确性411410409408407四次多项式拟合：-2E-05X3 + 0.0055x2 - 0.0063X + 405.86R2 = 0.9286五次多项式拟合：y = -3E-07X5 - 2E-06X4 + 0.0004x3 + 0.0055x2 -R2 = 1频振共-40-30-20-10102030 40【2】动力学法1) f-x曲线弯曲振动频率三次拟合结果：y = -2E-05x3 + 0.0039x2 - 0.0063X + 406.12 R2 = 0.9219二次拟合结果：039x2 - 0.0193X + 406.12—R2 = 0.9156悬点距节点的距离x(cm)由拟合结果知，三四次多项式拟合结果，x=0时，f=405.86Hz。
2)计算 E1、 样品材料：紫铜，长度丨=200.16mm,质量m = 34.08g2、 样品直径 d螺旋测微计零点测定123平均值测量前(mm)-0.055-0.054-0.060d = -0.054测量后(mm)-0.050-0.051-0.055123456平均值DDi (mm)4.8884.8824.8914.8804.8824.8754.883D - d = 4.937mm, D = 4.937±0.007mm (不确定度计算见下)l3m3、由 d、丨值可知，T1 = 1.0035E = 1.6067 f 2T = 122.2GPad 4 1AE(3)推导丁E1、直径 D 的标准偏差 SD = 0.00573 °Tn = 6, v = n-1 = 5，在 P = 0.95 时，tp(v) = 2.57 ,・：AA = pJ—)S = x 0.00573 = 0.0060mm螺旋测微计仪器误差 AB = 0.004mmvn D v6 yqAD = ：AA2 +AB2 = 0.007mm，所以 D = 4.937±0.007mmyq2、1( 2A ¥l'l f 丿(A y—mI m丿（4八2 +(3A )211丿|(。