反函数的定义及性质一．定义: 如果确定函数y=f(x)，x∈A的映射f:A→B(f:y=f(x), x∈A)是从A到B上的一一 映射，则它的逆映射f-1:B→A(f-1:y→x=f-1(y), y∈B). 所确定的函数y=f-1(x), x∈B称为y=f(x),x∈A的反函数. 二、反函数的性质 1．由定义和f(x)存在反函数的充要条件是它的映射为一一映射. . 2．f(x),x∈A和f-1(x), x∈B互为反函数. 3．原函数的定义域是其反函数的值域，原函数的值域是其反函数的定义域. 4．单调函数具有反函数，因为单调函数一一映射有反函数. 可见函数在区间上具单调性是它有反函数的充分不必要条件. 如函数y= (x≠0), 其反函数与自身相同，但它在(-∞,0)∪(0,+∞)上不具单调性. 5．若b=f(a), 则 a=f-1(b),即(a, b)在函数图象上，则(b, a)在其反函数图像上；反之也对.利用这一点可以把反函数上点的问题转化为研究函数上的点的问题. 6．x∈A, f-1[f(x)]=x; x∈B, f[f-1(x)]=x. 7．原函数与反函数图象关于y=x对称. 8．单调函数的反函数与原函数具有相同的单调性. 一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f（x）=a（x=0）它的反函数是f（x）=0（x=a）这是一种极特殊的函数)，奇函数不一定存在反函数。
若 一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数 如：y=x3-x, 当y=0时x=0, ±1, 这不是一一映射，因此不具有反函数.但偶函数是不是一定没有反函数？如y=f(x)，x∈{0}, y∈{0},其图象就是原点.它是偶函数，也具有反函数（即自身）.9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反） (10)原函数一旦确定，反函数即确定（三定） 三、求反函数的一般步骤 1．求D,因为原函数的值域R是反函数的定义域，这定义域在结论中是必须指出的. 2．在原函数的解析式中反求x，写成x=g(y). 3．x, y互换，即将反函数写成y=g(x)因为习惯上通常将x作为自变量. 4．下结论（注意给出反函数定义域） 反函数的性质及应用 函数是高中数学中的重要内容，反函数又是函数的重要组成部分，也是同学们学习函数的难点之一反函数在历年高考中也占有一定的比例为了帮助同学们更好地掌握反函数相关的内容，对反函数的性质作如下归纳 性质1 原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域 在求原函数的反函数及反函数的定义域、值域的有关问题时，如能充分利用这条性质，将对解题有很大帮助。
例1. 函数的反函数是（ ） A. B. C. D. 解析：这是一个分段函数，对分段函数求反函数要注意分段求解由函数解析式可知当时，；时由性质1，可知原函数的反函数在时，，则根式前面要有负号，故可排除A、B两项，再比较C、D，易得答案为C例2. 若函数为函数的反函数，则的值域为__________解析：常规方法是先求出的反函数，再求得的值域为如利用性质1，的值域即的定义域，可得的值域为性质2 若是函数的反函数，则有从整个函数图象来考虑，是指与其反函数的图象关于直线对称；从图象上的点来说，是指若原函数过点，则其反函数必过点反函数中的这条性质，别看貌不惊人，在解题中却有着广泛的应用例3. 函数的反函数的图象与轴交于点P（0，2），如下图所示，则方程在[1，4]上的根是（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1解析：利用互为反函数的图象关于直线对称，的图象与轴交于点P（0，2），可得原函数的图象与轴交于点（2，0），即，所以的根为，应选C。
例4. 设函数的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数，=0，则=_________解析：由=0，可知函数的图象过点（4，0），而点（4，0）关于点（1，2）的对称点为（，4）由题意知点（，4）也在函数的图象上，即有，根据性质2，可得性质3 单调函数一定存在反函数，且反函数与原函数的单调性一致在定义域上的单调函数一定存在反函数，但在定义域上非单调函数未必没有反函数，或者说有反函数的原函数不一定是单调函数如函数有反函数，但其在定义域上不是单调函数例5 函数=在区间上存在反函数的充要条件是（ ）A. B. C. D. 解析：因为二次函数不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间或上是单调函数，而已知函数在区间上存在反函数，所以或者，即或，应选C例6. 已知是定义在R上的单调递增函数，且有，试证明证明：（反证法）假设存在，使得∵是定义在R上的单调递增函数，∴由性质3知，也是R上的单调递增函数若，则，即，矛盾同理，当时，也可推出矛盾，故假设不成立，则。
性质4 若是的反函数，则的反函数为，的反函数为证明：假设的反函数为，若，则，即，得也就是说原函数向左平移a个单位，则反函数向下平移a个单位，其他情况可同理证明例7. 设，函数的图象与的图象关于直线对称，求的值解析：∵函数的图象与的图象关于直线对称∴与互为反函数根据性质4，的反函数为例8. 设定义域为R的函数、都有反函数，并且函数和的图象关于直线对称，若，求的值 解析：由已知条件可知与互为反函数，根据性质4，的反函数为，可得反三角函数的概念和性质．函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1] ，值域是.2．函数y＝arccosx的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] .3．函数y＝arctgx的定义域是 R ，值域是.4．函数y＝arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, π) .5．arcsin(－)= ; arccos(－)＝; arctg(－1)＝; arcctg(－)＝.．正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系； 2．掌握反三角函数的定义域和值域，y＝arcsinx, x∈[－1, 1], y∈[], y＝arccosx, x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围； 3．符号arcsinx可以理解为[]上的一个角或弧，也可以理解为区间[]上的一个实数；同样符号arccosx可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数； 4．y＝arcsinx等价于siny＝x, y∈[], y＝arccosx等价于cosy＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据； 5．注意恒等式sin(arcsinx)＝x, x∈[－1, 1] , cos(arccosx)＝x, x∈[－1, 1], arcsin(sinx)＝x, x∈[], arccos(cosx)＝x, x∈[0, π]的运用的条件； 6．掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断，大多数情况下，可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用； 7．注意恒等式arcsinx＋arccosx＝, arctgx＋arcctgx＝的应用。