§2 无穷积分的性质与收敛鉴别法教学目的与规定：掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质；掌握收敛的Cauchy准则、比较鉴别法及其三个推论、阿贝耳鉴别法、狄利克雷鉴别法等教学重点，难点：无穷积分的收敛性比较鉴别法、柯西鉴别法、狄利克雷鉴别法等教学内容：本节简介了无穷积分的三个性质和四种鉴别收敛的措施一 无穷积分的性质由定义懂得，无穷积分收敛与否，取决于函数F（u）=在u→+∞时与否存在极限因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则定理11.1 无穷积分收敛的充要条件是：任给＞0，存在G≥a，只要u1、u2＞G，便有证明: 由于= 因此收敛存在≥a，只要u1、u2＞G，便有此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的某些相应性质性质1 (线性性质) 若与都收敛，k1、k2为任意常数，则 也收敛，且= （1）证明: 记, ,则= = = == □性质2 若f在任何有限区间[a，u]上可积，a＜b，则与同敛态（即同步收敛或同步发散），且有， （2）其中右边第一项是定积分。
证明: 由于收敛 存在.又 = =, 其中右边第一项是定积分因此与同敛态（即同步收敛或同步发散），且有. □阐明: (1) 性质2相称于定积分的积分区间可加性;(2) 由性质2及无穷积分的收敛定义可推出收敛的另一充要条件: 任给＞0，存在G≥a，当u＞G时，总有 事实上，收敛J=存在 当时, 当时, 当时,性质3 若f在任何有限区间[a，u] 上可积，且有收敛，则亦必收敛，并有≤ （3）证明: 由收敛，根据柯西准则（必要性），任给＞0，存在G≥a，当u2＞u1＞G时，总有运用定积分的绝对值不等式，又有 .再由柯西准则（充足性），证得收敛又因，令u→+∞取极限，立即得到不等式(3). □当收敛时，称为绝对收敛, 称收敛而不绝对收敛者为条件收敛性质3指出：绝对收敛收敛但其逆命题一般不成立，此后将举例阐明收敛的无穷积分不一定绝对收敛(本节例3中当0＜p≤1时条件收敛)二 比较鉴别法这一部分简介无穷积分的绝对收敛鉴别法(比较准则及其三个推论)。
由于有关上限u是单调递增的，因此收敛的充要条件是存在上界根据这一分析，便立即导出下述比较鉴别法（请读者自己写出证明）：定理11.2（比较法则）设定义在[a，+∞]上的两个函数f和g都在任何有限区G(u)间[a，u]可积，且满足，则当收敛时必收敛（或者，当发散时，发散）证明 法一[ 根据P55 习题2结论: 设f为定义在上的增(减)函数. 则存在的充要条件为f在上有上(下)界 ].当收敛时,存在. 又G(u)单增, 从而存在M>0, 使得 F(u)=即F(u)有上界M. 又显然F(u)单增. 故存在, 从而必收敛.法二 由于收敛, 根据柯西准则（必要性）, 对任意存在G≥a，当u2＞u1＞G时，总有又 因此有根据柯西准则（充足性）, 收敛. □例1 讨论的收敛性解 由于≤，x∈，以及为收敛（§1例4），根据比较法则，为绝对收敛 □上述比较法极限形式如下：推论1若f和g都在任何[a，u]上可积，g(x)＞0, 且，则有（ⅰ）当0＜c＜+∞时，与同敛态；（ⅱ）当c=0时，由收敛可推知也收敛；（ⅲ）当c=+∞时，由发散可推知也发散。
证明 (i) 对当时, 即 从而由比较法则结合性质2知, 与同敛态.(ii) 由对当时, 从而从而由比较法则结合性质2知, 由收敛可推知也收敛.(iii) 由对当时, 从而从而由比较法则结合性质2知, 由发散可推知也发散. □当选用作为比较对象时，比较鉴别法及其极限形式成为如下两个推论（称为柯西鉴别法）推论2 设f定义于(a＞0)，且在任何有限区间[a，u]上可积，则有：（ⅰ）当，x∈，且p＞1时收敛；（ⅱ）当，x∈，且p≤1时发散推论3 设f定义于，在任何有限区间[a，u]上可积，且,则有：（ⅰ）当p＞1，0≤＜+∞时，收敛；（ⅱ）当p≤1，0＜≤+∞时，发散例2 讨论下列无穷限积分的收敛性：1）； 2）.解 本例中两个被积函数都是非负的，故收敛与绝对收敛是同一回事1）由于对任何实数均有.因此根据上述推论3（P=2，=0），推知1）对任何实数都是收敛的2）由于=1，因此根据上述推论3（P=，=1），推知2）是发散的对的比较鉴别亦可类似地进行三 狄利克雷鉴别法与阿贝尔鉴别法这里来简介两个鉴别一般无穷积分收敛的鉴别法定理11.3（狄利克雷鉴别法）若F（u）=在上有界，g（x）在上当x→+∞时单调趋于0，则收敛。
证明 由条件设≤M，u∈任给＞0，由于=0，因此存在G≥a，当x＞G时，有又因g为单调函数，运用积分第二中值定理（定理9.10的推论），对于任何u2＞u1＞G，存在∈[u1，u2]，使得于是有=＜.根据柯西准则，证得收敛 □定理11.4（阿贝尔（Abel）鉴别法） 若收敛，g（x）在上单调有界，则收敛这定理同样可用积分第二中值定理来证明，但又可运用狄利克雷鉴别法更以便地获得证明（留作习题10）例3 讨论与（p＞0）的收敛性解 这里只讨论前一种无穷积分，后者有完全相似的结论下面分两种情形来讨论：（ⅰ）当p＞1时绝对收敛这是由于 ，而当p＞1时收敛，故由比较法则推知收敛ⅱ）当0＜p≤1时条件收敛这是由于对任意u≥1，有，而当p＞0时单调趋于0（x→+∞），故由狄利克雷鉴别法推知当p＞0时总是收敛的另一方面，由于，其中满足狄利克雷鉴别条件，是收敛的，而是发散的，因此当0＜p≤1时该无穷积分不是绝对收敛的因此它是条件收敛的 □例4 证明下列无穷积分都是条件收敛的：，，证 前两个无穷积分经换元t=x2得到=，=.由例3已知它们是条件收敛的。
对于第三个无穷积分，经换元t=x2而得 =，它也是条件收敛的从例4中三个无穷积分的收敛性可以看到，当x→+∞时被积函数虽然不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍有也许收敛(P269 exe 4)课后作业题： 3，4（2）、（4），5（2）、（4）。