练习:求函数y=10x+10%的值域答案:,|yy-1或y€1})10x+10-x三、配方法:当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可利用配方法求函数的值域例:求函数y=€X2+x+2)的值域点拨:将被开方数配方成平方数,利用二次函数的值求解:由-X2+x+2…0可知函数的定义域为{xl-10“。
x-2)(x2-1)点评:把函数关系化为二次方程F(x,y)‘0,由于方程有实数解,故其判别式为非负数,可求得函数的值域常适用于y‘ax2€bx+c及dx2€ex€f-#--#-y‘ax€b™cx2€dx€e练习:求函数y=-I+3的值域答案:-#--#-五、最值法:-#-对于闭区间L,b]上的连续函数y„f(x),可以求出y„f(x)在区间\a,b]内的较值,并与边界f(a)f(b)作比较,求出函数的值,可得到函数y的值域例:已知Cx2-x-3)(x2+x+J…0,且满足x+y„1,求函数z„xy+3x的值域点拨:根据已知条件求出自变量x的取值范围,将目标函数消元、配方,可求出函数的值域解:•••3x2+x+1€0,上述分式不等式与不等式2x2-x-3…0同解,解之得3(3\-1…x…一,又x+y„1,将y=1-x代入z„xy+3x中,得z„-x2+4x-1…x…一,2<2丿•••z„人-2》+4且x”-1,|“3"函数Z在区间上连续,故只需比较边界的大小当x=T时,z=-5;当x„—时,z„1524函数z的值域为*1-5…z…手点评:本题是将函数的值域问题转化为函数的值对开区间,若存在值,也可通过求值而获得函数的值域。
练习:若x为实数,则函数y„X2+3x-5的值域为()A.(->,+>)B.L7,+>)C.b,+>)D.L5,+>)(答案:D)六、单调法:利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域例:求函数y„4x-1-3x的值域点拨:由已知的函数是复合函数,即g(x)„-1-3x,y„f(x)+g(x)其定义域为X…1,在此区间内分别讨论函数的增减性,从而确定函数的值域3解:设f(x)=4x,g(x)„-1-3x,(X…-),易知它们在定义域内为增函数,从而3-#-y=f(x)+g(x)=4x-l-3x在定义域为x„1上也为增函数,而且y„f3,因此,所求的函数值域为{y|yW4}点评:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域练习:求函数y=3+4-x的值域答案:{y|y±3})七、换兀法:以新变量代替函数式中的某些量,使函数转化为以新变量为自变量的函数形式,进而求出值域例:求函数y=x-32x+1的值域点拨:通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数,利用二次函数的最值,确定原函数的值域解:设t(t±0),则t2-1x=2t2-1(t,1)217'于7是y—-3,t——4\—4=——.22227所以,原函数的值域为{y|y三丄}。
2点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域这种解题的方法体现换元、化归的思想方法它的应用十分广泛3练习:求函数y-、.:x-l-x的值域答案:{y|yW-—})4八、构造法:根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合例:求函数y—“X2,4x,5+「x2-4x,8的值域点拨:将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域解:原函数变形为f(x)=\(x+2》+1^.;(2-x)2+22构作一个长为4、宽为3的矩形ABCD,再切割成12个边长为1的正方形设HK=x,则EK=2-x,KF=2+x,AK二理-x》+22,KC=£+2》+1由三角形三边关系知,AK+KC三AC=5当A、K、C三点共线时取等号•:原函数的知域为{y|y±5}点评:对于形如函数y=i.:x2,a±卡(c-x》+b(a,b,c均为正数),均可通过构造几何图形,由几何的性质,直观明了、方便简捷这是数形结合思想的体现练习:求函数y=、;x2,9+t(5-x》+4的值域答案:{y|y三5、:2})九、比例法:对于一类含条件的函数的值域的求法,可将条件转化为比例式,代入目标函数,进而求出原函数的值域。
例:已知x,y$R,且3x-4y-5=0,求函数z„x2+y2的值域点拨:将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式,设置参数,代入原函数解:由3x-4y-5=0变形得,X-3„y-1=k(k为参数)43.°.x=3+4k,y=l+3k,z„x2,y2„(3,4k》,(1,3k》„(5k,3》,1o当k=—时,x=,y=-纟时,z„1555min.原函数的值域为{z|z±l}.点评:本题是多元函数关系,一般含有约束条件,将条件转化为比例式,通过设参数,可将原函数转化为单函数的形式,这种解题方法体现诸多思想方法,具有一定的创新意识练习:已知x,yGR,且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域答案:{f(x,y)|f(x,y)±l})十、利用多项式的除法例:求函数y=3x,2的值域x,1点拨:将原分式函数,利用长除法转化为一个整式与一个分式之和解:3x,21y==3-—x,1x,1T丰0,故yH3x,1二函数y的值域为yH3的一切实数点评:对于形如y=ax,b的形式的函数均可利用这种方法cx,d练习:求函数y=的值域答案:yH2)x-1十、不等式法例:求函数y=空的值域3x€1点拨:先求出原函数的反函数,根据自变量的取值范围,构造不等式。
解:易求得原函数的反函数为y二logt,由对数函数的定义知丄€031-x(l-xH0)解得,0Vx〈l函数的值域(0,1)点评:考查函数自变量的取值范围构造不等式(组)或构造重要不等式,求出函数定义域,进而求值域不等式法是重要的解题工具,它的应用非常广泛是数学解题的方法之一练习:求函数y二-2的值域,(答案:Iy€1或yY0„)2x-1十二、图象法通过观察函数的图象,运用数形结合的方法得到函数的值域例:求函数y=|x+1|+J…x-2》的值域点拨:根据绝对值的意义,去掉符号后转化为分段函数,作出其图象解:原函数化为y=-2x+1(xW-1)y=3(T〈xW2)y=2xT(x>2)画出其图像可得函数值y三3函数值域[3,+b]点评:分段函数应注意函数的端点利用函数的图象求函数的值域,体现数形结合的思想是解决问题的重要方法十三、函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域例1:求函数y—ex一1的值域yex解:由原函数式可得:“=y+1y-1…ex>0,y+1y-1解得:-1yyY1故所求函数的值域为(-1,1)例2:求函数y=cosx的值域sinx-3y2+1sinx(x+,)=3y解:由原函数式可得:ysinx-cosx€3y,可化为:sinx(x+,)€3y即y2+1*/x„R.•.sinx(x+,)„[-1,1]-1…3y…1即y2+1解得:故函数的值域为十四、数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。
例1:求函数y€(x-2)2+(x+8)2的值域故所求函数的值域为[43,+刘BPA例3:求函数y,X2—6x+13-X2+4x+5的值域解:将函数变形为:y,(X-3)2+(°-2)2-(X+2)2+(°—1)2上式可看成定点A(3,2)到点P(x,0)的距离与定点B(一2,1)到点P(x,°)的距离之差即:y,IAPI-IBPI由图可知:(1)当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时,如点P',则构成AABP',根据三角形两边之差小于第三边,有11AP'1-1BP,H„|AB|,(3+2)2+(2-1)2,26即:-26„y„26(2)当点P恰好为直线AB与x轴的交点时,有1|AP|-1BP11,|AB|,26综上所述,可知函数的值域为:(-26,26]注:由上例可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A、B两点在x轴的两侧,而求两距离之差时,则要使A,B两点在x轴的同侧如:例3的A,B两点坐标分别为:(3,2),(-2,-1),在x轴的同侧;例18的A,B两点坐标分别为(3,2),(2,-1),在x轴的同侧十五、一一映射法y,ai±l(c…°)原理:因为ex+d在定义域上X与y是一一对应的。
故两个变量中,若知道一个变量范围,就可以求另一个变量范围1-3xy,例:求函数2x+1的值域-丄]解:•・•定义域为I22丿。