高中复习系列资料- 1 -2 2【解析分类汇编：北京高考数学理】 5：数列 （2012 文）（6）已知 {a }为等比数列．下面结论中正确的是 Bn（A） a +a ≥ 2a 1 32（B） a +a ≥ 2 a 1 322（C）若 a =a ，则 a =a 1 3 12（D）若 a >a ，则 a >a 3 1 42（2012 文）（8）某棵果树前 n 年的总产量 S 与 n 之n间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前 m 年的年平均产量最高， m 的值为 C（A） 5（B） 7（C） 9SnO1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11n（D） 11（2012 文/理）（10）已知 {a }为等差数列， S 为其前 n 项和．若 a =n n 112， S =a ，2 3则 a = 1 ； S = 2 n14n ( n +1) ．（2013 文）（11）若等比数列 {a }满足 a +a =20 ，a +a =40 ，则公比 q =n 2 4 3 52 ；前 n 项和 S = n2n +1-2．（2013 理）（10）若等比数列 {a }满足 a +a =20 ， a +a =40 ，则公比 q =n 2 4 3 52 ；前 n 项和 S = n2n +1-2．（2014 文）（15）（本小题 13 分）已知 {a }是等差数列，满足 a =3, a =12 ，数列 {b }满足 b =4, b =20 ，且 {b -a } 为 n 1 4 n 1 4 n n等比数列．（Ⅰ）求数列 {a }和 {b }的通项公式；n n- 2 -n（Ⅱ）求数列 {b }的前 n 项和．n解：（Ⅰ）设等差数列 {a }的公差为 d ，由题意得nd =a -a 12 -34 1 = =3 ． 3 3所以 a =a +( n -1)d =3n ( n =1,2, L ) ． n 1设等比数列{b -a } 的公比为 q ，由题意得n nq3b -a 20 -12= 4 4 = =8 ，解得 q =2 ． b -a 4 -31 1所以 b -a =(b -a ) q n n 1 1n -1=2n -1．从而 b =3n +2nn -1( n =1,2,L ) ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知 b =3n +2nn -1( n =1,2, L ) ．3 1 -2 n数列 {3 n } 的前 n 项和为 n(n +1) ，数列{2 n -1} 的前 n 项和为1´ =22 1 -2n-1．3所以，数列{b } 的前 n 项和为 n( n +1) +22n-1．（2014 理）（5）设 {a }是公比为 q 的等比数列．则“ q >1 ”是“ {a }为递增数列”的 Dn n（A） 充分而不必要条件（B） 必要而不充分条件（C） 充分必要条件（D） 既不充分也不必要条件（2014 理）（12）若等差数列 {a }满足 a +a +a >0 ，a +a <0 ，则当 n =n 7 8 9 7 10{a } 的前 n 项和最大．n（2015 文）（16）（本小题 13 分）已知等差数列 {a }满足 a +a =10 ， a -a =2 ．n 1 2 4 3（Ⅰ）求 {a }的通项公式；n（Ⅱ）设等比数列 {b } 满足 b =a ， b =a ．问： b 与数列{a }的第几项相等？n 2 3 3 7 6 n解：（Ⅰ）设等差数列 {a }的公差为 d ．n因为 a -a =2 ，所以 d =2 ．4 3又因为 a +a =10 ，所以 2 a +d =10 ，故 a =4 ．1 2 1 1- 3 -8时，n -1所以 a =4 +2( n -1) =2 n +2 ( n =1,2,L ) ． n（Ⅱ）设等比数列 {b } 的公比为 q ．n因为 b =a =8 ， b =a =16 ，2 3 3 7所以 q =2 ， b =4 ．1所以 b =4 ´266 -1=128 ．由 128 =2 n +2 得 n =63 ．所以 b 与数列 {a }的第 63 项相等． 6 n（2015 理）（6）设 {a }是等差数列．下列结论中正确的是 Cn（A）若 a +a >0 ，则 a +a >0 1 2 2 3（C）若 0 a a1 2 2 1 3（B）若 a +a <0 ，则 a +a <01 3 1 2（D）若 a <0 ，则 ( a -a )( a -a ) >0 1 2 1 2 3（ 2016 理）（ 12 ）已知 {a } 为等差数列， S 为其前 n 项和．若 a =6 ， a +a =0 ，则n n 1 3 5．S =66【答案】（2016 文）（15）（本小题 13 分）已知 {a } 是等差数列， {b } 是等比数列，且 b =3 ， b =9 ， a =b ， a n n 2 3 1 1（Ⅰ）求 {a } 的通项公式；n（Ⅱ）设 c =a +b ，求数列 {c }的前 n 项和．n n n nb 93 = =3 ，解：（Ⅰ）等比数列{b } 的公比 q =nb 3214=b ．4所以 b =1b2q=1 ， b =b q =27 ． 4 3设等差数列{a }的公差为 d ．n因为 a =b =1 ， a1 114=b =27 ， 4所以 1 +13d =27 ，即 d =2 ． 所以 a =2 n -1 (n =1, 2, 3, L ) ．n（Ⅱ）由（Ⅰ）知， a =2 n -1 ， b =3 ．n n- 4 -n -1n -1nn32n -12 n -1n12332125127因此 c =a +b =2n -1 +3 ． n n n从而数列 {c } 的前 n n项和S =1 +3 +L +(2 n -1) +1 +3 +L +3 nn(1+2 n -1) 1 -3= +2 1 -3=n2+3 -12．（ 2017 理）（ 10 ）若 等差 数列 {a } 和 等 比数 列 {b } 满 足 a =b =-1n n 1 1， a =b =8 ， 则 4 4ab22=．【答案】 1（2017 文）（15）（本小题 13 分）已知等差数列 {a }和等比数列 {b }满足 a =b =1 ， a +a =10n n 1 1 2 4（Ⅰ）求 {a }的通项公式；n， b b =a ． 2 4 5（Ⅱ）求和： b +b +b +L +b1 3 52 n -1．解：（Ⅰ）设等差数列 {a } 的公差为 d ．n因为 a +a =10 ，所以 2a +4d =10 2 4 1解得 d =2 ．所以 a =2 n -1 ．n（Ⅱ）设等比数列 {b } 的公比为 q ．n因为 b b =a ，所以 b qb q =9 ． 2 4 5 1 1解得 q =3 ．．所以 b2 n -1=b q12 n -2=3 ．从而 b +b +b +L +b1 3 52 n -1=1 +3 +3 +L +33 -1= ．2（2018 理）（4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比 都等于 2 ．若第一个单音的频率为 f ，则第八个单音的频率为（A） 2 f（B） 2 f（C） 2 f【答案】D（D） 2f（2018 理）（9 ）设{a}是等差数列，且 a =3 ，a +a =36 ，则{a}的通项公式为 ．n 1 2 5 n- 5 -12332125127aaaln 2annn【答案】 a =6 n -3n（2018 文）（4）设 a , b, c, d 是非零实数，则“ ad =bc ”是“ a, b, c, d 成等比数列”的（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件 【答案】B（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件（2018 文）（5）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比 例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依 次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比 都等于 2 ．若第一个单音的频率为 f ，则第八个单音的频率为（A） 2 f（C） 2 f【答案】D（2018 文）（15）（本小题 13 分）（B） 2 f（D） 2 f设 {a}是等差数列，且 a =ln 2 ， a +a =5ln2 ． n 1 2 3（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）求 ea1+ea2+L +ean．解：（Ⅰ）设 {a}的公差为 d ．n因为 a +a =5ln2 ，2 3所以 2 a +3d =5ln2 ． 1又 a =ln 2 ，所以 d =ln2 ． 1所以 a =a +( n -1)d =n ln 2 ． n 1（Ⅱ）因为 e 1 =eln 2=2 ，e ne n -1=ea -an n -1=e =2 ，所以 {e n}是首项为。