例1 求．分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间等分，则每个小区间长为，然后把的一个因子乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即==．例2 =_________．解法1 由定积分的几何意义知，等于上半圆周 ()与轴所围成的图形的面积．故=．解法2 本题也可直接用换元法求解．令=（），则====例3 比较，，．分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小．解法1 在上，有．而令，则．当时，，在上单调递增，从而，可知在上，有．又，从而有．解法2 在上，有．由泰勒中值定理得．注意到．因此．例4 估计定积分的值．分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值．解 设 , 因为 , 令，求得驻点, 而 , , ,故 ,从而,所以 .例5 设，在上连续，且，．求．解 由于在上连续，则在上有最大值和最小值．由知，．又，则．由于，故=．例6求, 为自然数．分析 这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难，解决此类问题的常用方法是利用积分中值定理与夹逼准则． 解法1 利用积分中值定理设 , 显然在上连续, 由积分中值定理得, ,当时, , 而, 故． 解法2 利用积分不等式因为 ,而,所以 ．例7 求．解法1 由积分中值定理 可知 =，．又且，故．解法2 因为，故有．于是可得．又由于．因此=．例8 设函数在上连续，在内可导，且．证明在内存在一点，使．分析 由条件和结论容易想到应用罗尔定理，只需再找出条件即可．证明 由题设在上连续，由积分中值定理，可得，其中．于是由罗尔定理，存在，使得．证毕．例9 （1）若，则=___；（2）若，求=___．分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可．解 （1）=；（2） 由于在被积函数中不是积分变量，故可提到积分号外即，则可得 =．例10 设连续，且，则=_________．解 对等式两边关于求导得，故，令得，所以．例11 函数的单调递减开区间为_________．解 ，令得，解之得，即为所求．例12 求的极值点．解 由题意先求驻点．于是=．令=，得，．列表如下：-＋－故为的极大值点，为极小值点．例13 已知两曲线与在点处的切线相同，其中，，试求该切线的方程并求极限．分析 两曲线与在点处的切线相同，隐含条件，．解 由已知条件得，且由两曲线在处切线斜率相同知．故所求切线方程为．而．例14 求 ； 分析 该极限属于型未定式，可用洛必达法则．解 =====．注 此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．例15 试求正数与，使等式成立．分析 易见该极限属于型的未定式，可用洛必达法则．解 ==，由此可知必有，得．又由 ，得．即，为所求．例16 设，，则当时，是的（ ）．A．等价无穷小． B．同阶但非等价的无穷小． C．高阶无穷小． D．低阶无穷小．解法1 由于 ．故是同阶但非等价的无穷小．选B．解法2 将展成的幂级数，再逐项积分，得到，则．例17 证明：若函数在区间上连续且单调增加，则有．证法1 令=，当时，，则 == =．故单调增加．即 ，又，所以，其中．从而=．证毕．证法2 由于单调增加，有，从而 ．即 ==．故 ．例18 计算． 分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．解 ＝＝＝．注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数在处间断且在被积区间内无界. 例19 计算．分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数． 解 例20 设是连续函数，且，则．分析 本题只需要注意到定积分是常数（为常数）．解 因连续，必可积，从而是常数，记，则，且．所以，即，从而，所以 ．例21 设，，，求, 并讨论的连续性．分析 由于是分段函数, 故对也要分段讨论．解 （1）求的表达式．的定义域为．当时，, 因此．当时，, 因此, 则==，故 ． (2) 在及上连续, 在处，由于 , , ．因此, 在处连续, 从而在上连续．错误解答 （1）求的表达式, 当时，．当时，有=．故由上可知．(2) 在及上连续, 在处，由于 , , ．因此, 在处不连续, 从而在上不连续．错解分析 上述解法虽然注意到了是分段函数，但（1）中的解法是错误的，因为当时，中的积分变量的取值范围是，是分段函数，才正确．例22 计算．分析 由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性． 解 =．由于是偶函数，而是奇函数，有, 于是===由定积分的几何意义可知, 故 ．例23 计算．分析 被积函数中含有及，考虑凑微分．解 =====．例24 计算．解 =====．注 此题为三角有理式积分的类型，也可用万能代换公式来求解，请读者不妨一试．例25 计算，其中．解 =，令，则= ==．注 若定积分中的被积函数含有，一般令或．例26 计算，其中．解法1 令，则 =．解法2 令，则=．又令，则有=．所以，===．注 如果先计算不定积分，再利用牛顿莱布尼兹公式求解,则比较复杂，由此可看出定积分与不定积分的差别之一．例27 计算．分析 被积函数中含有根式，不易直接求原函数，考虑作适当变换去掉根式．解 设，，，则=．例28 计算，其中连续．分析 要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有，因此不能直接求导，必须先换元使被积函数中不含，然后再求导．解 由于=．故令，当时；当时，而，所以==，故===．错误解答 ．错解分析 这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式中要求被积函数中不含有变限函数的自变量，而含有，因此不能直接求导，而应先换元．例29 计算．分析 被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．解 ．例30 计算．分析 被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．解 == =．例31 计算．分析 被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法． 解 由于， （1）而 ， （2）将（2）式代入（1）式可得 ,故 ．例32 计算．分析 被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．解 ． （1）令，则 ． （2）将（2）式代入（1）式中得 ．例33 设在上具有二阶连续导数，且，求．分析 被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．解 由于．故 ．例34（97研） 设函数连续，，且（为常数），求并讨论在处的连续性．分析 求不能直接求，因为中含有的自变量，需要通过换元将从被积函数中分离出来，然后利用积分上限函数的求导法则，求出，最后用函数连续的定义来判定在处的连续性．解 由知，而连续，所以，．当时，令，，；，．，则，从而．又因为，即．所以=．由于=．从而知在处连续．注 这是一道综合考查定积分换元法、对积分上限函数求导、按定义求导数、讨论函数在一点的连续性等知识点的综合题．而有些读者在做题过程中常会犯如下两种错误：（1）直接求出，而没有利用定义去求，就得到结论不存在或无定义，从而得出在处不连续的结论．（2）在求时，不是去拆成两项求极限，而是立即用洛必达法则，从而导致又由用洛必达法则得到=，出现该错误的原因是由于使用洛必达法则需要有条件：在的邻域内可导．但题设中仅有连续的条件，因此上面出现的是否存在是不能确定的．例35（00研） 设函数在上连续，且，．试证在内至少存在两个不同的点使得．分析 本题有两种证法：一是运用罗尔定理，需要构造函数，找出的三个零点，由已知条件易知，，为的两个零点，第三个零点的存在性是本题的难点．另一种方法是利用函数的单调性，用反证法证明在之间存在两个零点．证法1 令，则有．又，由积分中值定理知，必有，使得=．故．又当，故必有．于是在区间上对分别应用罗尔定理，知至少存在，，使得，即．证法2 由已知条件及积分中值定理知必有，， 则有．若在内，仅有一个根，由知在与内异号，不妨设在内，在内，由 ，，以及在内单调减，可知：=．由此得出矛盾．故至少还有另一个实根，且使得例36 计算．分析 该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算．解 =====．例37 计算．解 ．例38 计算．分析 该积分为无界函数的反常积分，且有两个瑕点，于是由定义，当且仅当 和均收敛时，原反常积分才是收敛的．解 由于====．====．所以 ．例39 计算．分析 此题为混合型反常积分，积分上限为，下限为被积函数的瑕点．解 令，则有 ＝＝，再令，于是可得 ＝＝＝ ＝＝ ＝＝＝．例40 计算．解 由于 ，可令，则当时，；当时，；当时，；当时，；故有 ．注 有些反常积分通过换元可以变成非反常积分，如例32、例37、例39；而有些非反常积分通过换元却会变成反常积分，如例40，因此在对积分换元时一定要注意此类情形．例41 求由曲线，，，所围成的图形的面积．分析 若选为积分变量，需将图形分割成三部分去求，如图5－1所示，此做法留给读者去完成．下面选取以为积分变量．解 选取为积分变量，其变化范围为，则面积元素为==．于是所求面积为=．例42 抛物线把圆分成两部分，求这两部分面积之比．解 抛物线与圆的交点分别为与，如图所示5－2所示，抛物线将圆分成两个部分，，记它们的面。