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1、5.3稳定性判别方法1.线性定常系统的稳定性判别定理5.6设X(t)Ax(t)。(5.11)则(i)平衡点稳定A的所有特征值的实部非正，且实部为零的特征值对应着一阶约当块；(ii)平衡点渐近稳定A的所有特征值实部为负.证(i)因是线性系统，只需证明平衡点xe0的稳定性.Ji设T1ATJJm（注：与能控标准变换不同）其中Ji，i12m为约当块，J.tex(t)eAtx0TeJtT1x0TeJmt1Xo。而eJit的非零元素形如eit或tkieitkietjit或tkieitjit约当块阶数减1。1如Ji0,贝u1（S）21S1i1L1Ss0若i0.则何tljit0tkieitjit有界;若j0且
2、对应一阶约当块ej也有界.故有K0,使AteK,t0.aijij对0,取/K。当|x。|l|x（t）llAtexo时。Kx|故稳定；(ii)若全为渐近稳定。0,则全limtkient例5。1设系统矩阵分别如下：0101A00；（2）A02；（3）A试判别xe0的稳定性.解(1)由()2,得0(2重),Xe0不稳定.(2)由()(2),得!20和20,因20对应一阶约当块xe0是稳定的.(3)由()(1)2，得1,210xe0渐近稳定右n3,常用Hurwitz判别法（介绍）。定理5.7常系数n次代数方程nn1a0a1an1an0,(a。0)的所有根的具有负实部下列不等式同时成立:1ai0,aia
3、3Ia1a。0a1a0c0，3asa2a1a3a2a5a4asa00002a2aiao0.a2n1a2n2a2na2n4an0,其中an1an2例5。2验证系统矩阵为a2n10。211A110111时，xe0是渐近稳定的.证由211IIAI1103.245111(ao10)得ao0及3,iai40,aia。170,a3a2a3510,由Hurwitz判别法所有特征值有负实部渐近稳定对非线性系统，常用李雅普诺夫判别法。2。稳定性的李雅普诺夫判别法（介绍）（1）李雅普诺夫第一法（一阶近似）设n维非线性系统为x（t）Fx（t）,t,F（Xe,t）0（5.12）且n维向量函数Fx,t对x有连续偏导将F
4、x,t在xe处展成泰勒级数,得x-：T|x(xXe)R(xXeXe)其中R为xXe的高阶项，而flfi.fiXiX2XnFf2f2f2TXiX2XnxfnfnfnXiX2Xn(5.13)称为雅可比矩阵令xxxe和AxT得线性化方程:xXe(5.14)Ax。李雅普诺夫给出下述结论：若A的所有特征值实部为负,则系统在平衡点xe是渐近稳定的，且与R无关;若A的特征值中有一个具有正实部，则系统在平衡点xe是不稳定的；若A的特征值中有一个实部为零,则系统在平衡点xe的稳定性与R有关.例5.3设非线性系统为x1x1x1x2,x2x2x1x2,试判平衡点xe00T的稳定性。解由xe0处的雅可比矩阵为1x2x
5、110Ax21x1x001得11,21在xe0处不稳定.(2)李雅普诺夫第二法(虚构”能量”函数)若系统能量随时而衰，则稳定.如my(t)ky(t)y(t)m1,k1,1y(t)y(t)y(t)0Xiy(位置),Xi01X1x2y(速度),X211x2这是一个在xe0处稳定的勺系统作一个”能量”函数V(Xi(t),X2(t)xf(t)xf(t)0,(正定)则(势能，动能)代入系统方程2门Vt2x1x12x2x2V(t)2x20V(x1,x2)单调递减趋于0(因V(0,0)0且连续.)这样的V(xx2)就称为李雅普诺夫函数对一般系统，设法构造如此标量函数V(x)0.下面给出一般标量函数的正定、负
6、定等概念.设标量函数V(x),xRn且V(0)0。(i) 若对任意x0，有V(x)0(0),则称V(x)是正定的(半正定的)V(x)0(0),则称V(x)是负定的(半负定的);(iii)有V(x)0、也有V(x)0,则称V(x)是不定的.V(x)根据系统方程，常取为x的二次型函数,即V(x)xTPx。P是实对称矩阵，此时V(x)的正、负定性与P一致。而P的正定性由其主子行列式为正负来判定如V1(x)(x1x2)2是半负定的；V2(x)(x1x2)2x3是半正定的.下面介绍主要结果。定理5.8设系统为X(t)Fx(t),t,tt0.(5。15)xe0是其平衡点。若存在标量函数V(x)(具有连续的
7、一阶偏导数)，满足(i)V(x)是正定的；(ii)沿着方程(5。15)计算的V(x)是半负定的则平衡点xe0是稳定的。定理5.9设系统为(5。15),平衡点为xe0.若有标量函数V(x)(具有连续的一阶偏导)，满足(i) V(x)是正定的；沿着方程(5。15)计算的V(x)是负定的；或者(ii)沿着方程(5。15)计算的V(x)是半负定的,且对x(t0)0来说，V(x)不恒为零，则平衡点xe0是渐近稳定的.进一步,若当I|x|时，有IIV(x)|则平衡点xe0是全局渐近稳定的注对(ii)的说明.由于V(x)为半负定，所以在x0时，或许有V(x)0,可能会出现下图5.5的两种情形：定理5.10系
8、统方程、平衡点同定理5。9中假设相同。若标量函数V(x)(具有连续的一阶偏导)。满足(i)V(x)是正定的；(ii)沿着状态方程(5.15)计算的V(x)也是正定的；则平衡点xe0是不稳定的。注上述定理条件是充分的22x2x1(x1x2)x1x2(xfX；)例5。4设非线性系统为XiX20是其唯一的平衡点.试分析稳定性。解由F(x,t)0,得xe构造V(x)x2x；。是正定的。对V(x)关于t求导,得VdxVdx2V(x)122x1x12x2x2x1dtx2dt代入状态方程得V(x)2(x1x2)2负定V(x)为一李雅普诺夫函数，且当IIx|时，有|V(x)|xe0为全局渐近稳定(而且是一致的
9、).对线性定常系统，有定理5.11设线性定常系统为x(t)Ax(t)，则平衡点xe0是渐近稳定的对任意正定阵Q,矩阵方程16)AtPPAQ(李雅普诺夫方程)(5有唯一正定阵解P.由于必要性证明涉及过多知识，故只证充分性。证(充分性)由Q0,P0满足(5.16),作V(x)xTPx.对t求导且将系统方程代入，得V(x)xTPxxTPx(Ax)TPxxTP(Ax)xt(AtPPA)xxtQx,V(x)负定,且当|x|时,有|V(x)|，平衡点Xe0为全局渐近稳定(且一致)(注：实用中，渐近稳定为主要特性)例5.5设系统为01x(t)23试分析xe0的稳定性。解设10p11p12Qc.，P,001p
10、21p22代入矩阵方程(5。16)式，得02Piip12p11p12011013P21p22p21p222301展开并令对应元素相等，得唯解151PO411它的各主子式行列式5c1c10,20.44P正定xe0是渐近稳定O且系统是线性定常的所有平衡点是一致全局渐近稳定注(1)正定阵Q的选择尽可能简单。(2)若对某Q0,矩阵方程(5。16)无解,则平衡点xe0不是渐近稳定的。(3)可以证明：对线性定常系统，若平衡点xe0是渐近稳定的，则系统必为BIBO稳定即x(t)Ax(t)渐近稳定x(t)y(t)AX(t)BUBIB。稳定Cu(t)反之不一定.如1011A,B,C01010G(s)s1则丫(s)G(s)U(s)是BIB0稳定,但xAx是不稳定的.
