第3章 关于实数的根本定理及闭区间上连续函数性质的证明 - 《数学分析^p 〔1，2，3〕》教案 第三章 关于实数的根本定理及闭区间上连续函数性质的证明 §1. 关于实数的根本定理 前面我们粗略地理解了实数集确实界原理和数列的单调有界定理，给出了数列的柯西收敛准那么.这三个命题以不同方式反映了实数集R的一种特性，通常称为实数的完备性、实数的连续性或实数的稠密性有关实数集完备性的根本定理，除上述三个外，还有区间套定理、聚点定理和有限覆盖定理，在本节中将阐述这三个根本定理共有六个根本定理： 1实数戴德德公理 确界原理 2数列的单调有界定理 3区间套定理 4聚点定理 致密性定理 5数列柯西收敛准那么 6有限覆盖定理 一 子列 定义 设?an?为数列，?nk?为正整数集N?的无限子集，且n1?n2-?nk-,那么数列 an1,an2,?,ank,? 称为数列?an?的一个子列,简记为{ank}. 注1 保持原来次序自左至右任一选区无限多项，构成新的数列 注2 由定义可见，?an?的子列ank的各项都选自?an?，且保持这些项在?an?中的先后次序．ank中的第k项是?an?中的第nk项，故总有nk?k．实际上?nk?本身也是正整数列?n?的子列． 例如，子列?a2k?由数列?an?的所有偶数项所组成，而子列?a2k?1?那么由?an?的所有奇数项所组成．又?an?本身也是?an?的一个子列，此时nk?k，k?1,2，?. 注3 数列?an?本身以及?an?去掉有限项后得到的子列，称为?an?的平凡子列；数列?an?与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有一样的极限．不是平凡子列的子列，称为?an?的非平凡子列．例如?a2k?和?a2k?1?都是?an?的非平凡子列． 注4 子列的下标不是nk而是k,表示在子列的第k项。
所以子列收敛的定义是针对k的 定理 数列?an?收敛的充要条件是：?an?的任何非平凡子列都收敛． -- 3-1 《数学分析^p 〔1，2，3〕》教案 证 必要性 设liman?a，ank是?an?的任一子列．任给-0，存在正数N，使得当k?N时有n--ak?a-．由于nk?k，故当k?N时更有nk?N，从而也有ank?a-，这就证明了ank收敛(且与?an?有一样的极限)． 充分性 考虑?an?的非平凡子列?a2k?，?a2k?1?与?a3k?．按假设，它们都收 敛．由于{a6k}既是?a2k?，又是?a3k?的子列，故由刚刚证明的必要性， -lima2k?lima6k?lima3k． 〔9〕 k-k-k-又?a6k?3?既是?a2k?又是?a3k?的子列，同样可得 lima2k?1?lima3k. 〔10〕 k-k-(9)式与(10)式给出 lima2k?lima2k?1. k-k-所以?an?收敛 假设数列?an?的任何非平凡子列都收敛，那么所有这些子列与?an?必收敛于同一个极限．于是，假设数列?an?有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，那么数列?an?一定发散．例如数列-1?成的子列-1-n?，其偶数项组?2n?收敛于1，而奇数项组成的子列-1-2k?1?收敛于—1，从而-?1-发散.再如数列n?n-?2k?1-n-k?1-?1，它的奇数项组成的子列即为，由于这个子列发散，故数列sinsin---sin?发2?22---?散.由此可见，定理是判断数列发散的有力工具． 例：证明 ?sin-n-?不收敛。
3?推论：假设对任何?xn?：xn?x0,xn?x0,都有f?xn?收敛，那么f?x?在x0的极限存在 证明：假设存在着两个不同的极限，选两个不同的子列，共同组成一个数列，那么此列不收敛，与前提矛盾 注意与归结原那么的区别 二 上确界和下确界 1 区间与邻域 设a、b? R，且a?b．我们称数集{x|a?x?b}引为开区间，记作(a,b)；数集{x|a?x?b}称为闭区间，记作[a,b]；数集{x|a?x?b}和{x|a?x?b}都称为半开半闭区间，分别记作[a,b)和(a,b]．以上这几类区间统称为有限区间． 3-2 -《数学分析^p 〔1，2，3〕》教案 无限区间:[a,-)?xx?a ,(-,a]?{x|x?a},(a,-)?{x|x?a}, -(-,a]?{x|x?a},(-,-)?{x|-?x-?}?R都称为无限区间． 有限区间和无限区间统称为区间． 设a?R，-0．集合U(a;?)?{x|x?a-}?(a-,a-).称为点a的?邻域，记作U(a;?)，或简单地写作Ｕ(a). ?点a的空心?邻域定义为U(a;?)?{x|0?x?a-},或简单地记作U(a) ，注意?U?(a;?)与U(a;?)的差异在于: U?(a;?)?{x|0?x?a-}不包含点a． 此外，我们还常用到以下几种邻域： 点a的?右邻域U?(a;?)?[a,a-)，简记为U?(a); 点a的?左邻域U?(a;?)?(a-,a]，简记为U?(a); (U?(a)与U?(a)去除点a后，分别为点a的空心?左、右领域，简记为U-(a)与U-(a)．) ?邻域U(?)?{x|x?M}，其中M为充分大的正数(下同)； -邻域U(-)?{x|x-M}，-领域U(-)?{x|x-M}． 2 有界集.确界原理 定义 设S为R中的一个数集．假设存在数M(L)，使得对一切x?S，都有x?M(x?L)，那么称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)． 假设数集S既有上界又有下界，那么称S为有界集．假设S不是有界集，那么称S为无界集． 例 证明数集N-{n|n为正整数}有下界而无上界． 证 显然，任何一个不大于1的实数都是N?的下界，故N?为有下界的数集． 为证N+无上界，按照定义只须证明：对于无论多么大的数M，总存在某个正整数no(?N?)，使得no?M事实上，对任何正数M(无论多么大)，取n0-M-1，那么no?N?，且no?．这就证明了N?无上界． 同样可以证明：任何有限区间都是有界集，无限区间都是无界集；由有限个数组成的数集是有界集． 定义 设S是R中的一个数集．假设数?满足： 〔i〕对一切x?S，有x-，即?是S的上界； 〔ii〕对任何-?存在xo?S，使得xo-即?又是S的最小上界 那么称数?为数集S的上确界，记作-supS 定义 设S是R中的一个数集．假设数?满足： 〔i〕对一切x?S，有x-，即?是S的下界 〔ii〕对任何-?，存在xo?S，使得xo-,即?又是S的最大下界，那么称数?为数集S的下确界，记作 -infS 上确界与下确界统称为确界． 例 设S?{x|x为区间(0,1)中的有理数}.试按上、下确界的定义验证： supS?1,infS?0. 3-3 《数学分析^p 〔1，2，3〕》教案 解 先验证supS?1: 〔i〕对一切x?S，显然有x?1即1是S的上界． (ii)对任何-1，假设-0，那么任取xo?S都有xo-；假设-0，那么由有理数集在实数集中的稠密性，在(?,1)中必有有理数xo即存在xo?S，使得xo-． 类似地可验证infS?0 定理2 由上(下)确界的定义可见，假设数集S存在上(下)确界，那么一定是唯一的．又假设数集S存在上、下确界，那么有infS?supS． 注2 数集S确实界可能属于S，也可能不属于S． 例 设数集S有上确界．证明:-supS?S-?maxS 证 ?)设-supS?S，那么对一切x?s有x-，而-S，故?是数集S中最大的数，即，-maxS． ?)-maxS，那么-S；下面验证-supS． 〔i〕对一切x?S，有x-，即?可是S的上界； 〔ii〕对任何-?，只须取xo-?S，那么xo-从而满足-supS的定义． 可达与不可达 定理3(确界原理) 设S为非空数集．假设S有上界，那么S必有上确界；假设S有下界，那么S必有下确界． 证 我们只证明关于上确界的结论，后一结论可类似地证明． 为表达的方便起见，不妨设S含有非负数．由于S有上界，故可找到非负整数n，使得 1?对于任何x?S有x?n?1; 2?存在a0?S,使a0?n. 对半开区间?n,n?1?作10等分,分点为n.1,n.2,?,n.9,那么存在0,1,2,?,9中的一个数n1,使得 1)对于任何x?S有x?n.n1?1； 10 2)存在a1?S，使a1?n.n1． 1)作10等分，那么存在0,1,2,?9中的一个数n2使得 1)对于任何x?S有x?n.n1n2?2 10 再对半开区间[n.n1,n.n1?2)存在a2?S，使a2?n.n1n2. 3-4 《数学分析^p 〔1，2，3〕》教案 继续不断地10等分在前一步骤中所得到的半开区间，可知对任何存在0,1,2,?9中的—个数nk，使得 1)对于任何x?S有x?n.n1n2?nk?1 k10 2)存在ak?S，使 ak?n.n1n2?nk. 将上述步骤无限地进展下去，得到实数-n.n1n2?nk?.．以下证明-supS．为此只需证明： 〔i〕对一切x?S有x-；〔ii〕对任何-?，存在?'?S使-a'． 倘假设结论〔i〕不成立，即存在x?S使x-，那么可找到x的k位缺乏近似xk，使 xk-k?n.n1n2?nk?从而得 1， 10kx?n.n1n2?nk?但这与不等式(1)相矛盾．于是〔i〕得证． 1， k10 现设-?，那么存在k使?的k位缺乏近似?k-k，即 n.n1n2?nk-k， 根据数?的构a'?S使a'-k，从而有 a'-k-k-， 即得到-a'，．这说明〔ii〕成立． 例 设A,B为非空数集，满足：对一切x?A和y?B有x?y．证明：数集A有上确界，数集B下确界，且 supA?infB ?2? 证 由假设，数集B中任一数y都是数集A的上界，A中任一数x都是B 的下界，故由确界原理推知数集A有上确界，数集B有下确界． 现证不等式(2)对任何y?B，y是数集A的一个上界，而由上确界的定义 知，supA是数集A的最小上界，故有supA?y．而此式又说明数supA是数集 B的一个下界，故由下确界定义证得supA?infB． 例 设A,B为非空有界数集，S?A?B．证明： 〔i〕supS?max{supA,supB}； 3-5 第 页 共 页。