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1、第四章 理想流体动力学和平面势流答案 41 设有一理想流体的恒定有压管流，如图所示。已知管径，过流断面1-1处压强p1大气压强pa。试按大致比例定性绘出过流断面1-1、2-2间的总水头线和测压管水头线。解：总水头线、测压管水头线，分别如图中实线、虚线所示。 42 设用一附有液体压差计的皮托管测定某风管中的空气流速，如图所示。已知压差计的读数h150mmH2O，空气的密度a =1.20kg/m3，水的密度 =1000kg/m3。若不计能量损失，即皮托管校正系数c=1，试求空气流速u0。解：由伯努利方程得 （1） 式中为驻点压强。由压差计得 （2）联立解（1）（2）两式得 43 设用一装有液体（密
2、度s=820kg/m3）的压差计测定宽渠道水流中A点和B点的流速，如图所示。已知h1 =1m，h2 =0.6m，不计能量损失，试求A点流速uA和B点流速uB。水的密度 =1000kg/m3。解：（1）（2）由伯努利方程可得 （1） （2）式中、和、分别为A点和B点处的水深和驻点压强。由（1）、（2）式可得 （3）由压差计得，所以 (4)由（3）式、（4）式得。 44 设有一附有空气水倒U形压差计装置的皮托管，来测定管流过流断面上若干点的流速，如图所示，已知管径d =0.2m，各测点距管壁的距离y及其相应的压差计读数h分别为：y =0.025m，h =0.05m；y =0.05m，h =0.08
3、m；y =0.10m，h =0.10m。皮托管校正系数c =1.0，试求各测点流速，并绘出过流断面上流速分布图。解：因，所以过流断面上的流速分布如图所示。 45 已知试求该流动的速度势函数，并检查速度势函数是否满足拉普拉斯方程。解：(1)在习题319中，已判别该流动为有势流，所以存在速度势函数。积分上式可得（2）满足拉普拉斯方程。46 已知，试求该流动的流函数和流线方程、迹线方程。解：(1)在习题38中，已判别该流动满足连续性方程，所以存在流函数。等流函数线方程即为流线方程。 ， 积分上式可得 （2）迹线方程 ， ，积分上式可得47 已知ux =ky，uy =kx，uz =0，试求该流动的流函
4、数和流线方程、迹线方程及其形状（k是不为零的常数）。解：流函数和流线方程：积分上式可得迹线方程:，由上式可知，流线为平行于Oxy平面的同心圆族，由于恒定流的流线与流线上液体质点的迹线相重合，所以迹线亦是同心圆族，液体质点作圆周运动。48 已知ux =4x，uy =4y，试求该流动的速度势函数和流函数，并绘出流动图形。解：由习题38和319，可知该流动存在流函数和速度势函数。，积分上式可得：，积分上式可得 流动图形如题416图所示。49 已知=a（x2y2），式中a为实数且大于零。试求该流动的流函数。解：，积分上式可得 410 已知速度势函数，式中M是不为零的常数。试求该流动的流函数，并绘出流动
5、图形。解：，对积分可得题4-10图上式对取偏导数，则又 由上两式可得 ，即常数。因此可得上述流动即为偶极流。流动图形可参照题410图。411 已知流函数 =3x2yy3，试判别是有势流还是有涡流。证明任一点的流速大小仅取决于它与坐标原点的距离。解：，所以是有势流。，所以任一点的流速大小仅取决于它与坐标原点的距离。4-12 设水平面流场中的速度分布为，k是不为零的常数，如图所示。试求流场中压强p的分布。设 =，=0处的压强为p；水的密度为F。解：由例3-6（如题4-12图所示）知，该流体运动除原点（=0）外，是有势流。因是有势流，理想流体恒定流伯努利方程式适用于整个有势流；又因在同一水平面内，所
6、以流场中除原点（=0，u=）外，因此 。由上式可知，压强p随半径的减小而降低。题4-12图4-13 水桶中的水从桶底中心小孔流出时，常在孔口上面形成旋转流动，水面成一漏斗形，如图a所示。流速场在平面内，如图b所示，可表示为，u =0，k是不为零的常数。试求自由水面曲线的方程式。解：该流体流动除原点（=0）外，是有势流。因是有势流，理想流体恒定流伯努利方程式适用于整个有势流，流动剖面如图所示。当时，水面高程为h；另取自由表面上任意点M，对上述两点写伯努利方程，可得, , 该式即为自由表面方程式。414 直角（）弯头中的流动，设为平面势流，如图所示。已知弯头内、外侧壁的曲率半径r1、r2分别为0.
7、4m和1.4m，直段中均匀来流的流速为10m/s，流体密度为1.2kg/m3。试求弯头内外侧壁处的流速和内外侧壁的压强差。题4-14图解：由例46（如题4-14图所示）知弯段内的流速分布为，式中是不为零的常数。值可由连续性方程决定，即外壁处流速 ，内壁处流速 内外壁处的压强差（注：外侧压强大）415 已知（1），k是不为零的常数；（2）,为常数。试求上述两流场中半径为1和2的两条流线间流量的表示式。解：（1），（2），416 直角内流动。已知平面流动的速度势=a(x2y2)，流函数=2axy，式中为实数且大于零。等流函数、等势线，如图所示；当=0时的流线称零流线，与两轴线重合。如果将x、y轴的
8、正轴部分，用固体壁面来替换，即得直角内流动。试分析该流动沿壁面流动时，壁面上的压强分布。设静止处（坐标原点）的相对压强为零，流体密度为F。解:，沿壁面流动时，分两种情况：当沿x轴流动时，当沿y轴流动时，可得上述两种情况说明，负压随距转角点距离的平方成正比地增大。417 兰金（Rankine）椭圆。均匀直线流沿x轴方向的速度为u；源流强度与汇流强度均为q，汇点置于x轴上，位于源点的右边，他们与坐标原点O的距离均为a。如果将上述组合成的复合势流的流函数=0时的流线方程，用固体边界来代替，这个轮廓线称兰金椭圆，如图所示。试求该椭圆长半轴l、短半轴b的方程。解：题述流动组合成的复合势流的流函数为速度分
9、布为因为驻点速度为零，即，解上两式可得驻点位置，或，为，。=l（即为椭圆长半轴），。通过驻点的流线的流函数，对于，则由上述复合势流的流函数表示式可得。所以的流线方程即为。如果用固体边界来代替上式所表达的流线，这个物体的轮廓线即为兰金椭圆，它的短半轴b，可将，代入上式，由试算求得。实际流体绕经上述物体时，在其后尾部将形成涡流（在第八章中要介绍），与上述流动的情况不同，所以不能按上述方法求解。但是，在物体的前端部，由于边界层（在第八章中要介绍）很薄，且流动处于加速区，按上述理论推算与实测结果很相符合。418 源流和汇流的强度q均为60m2/s，分别位于x轴上的（a，0）、（a，0）点，a为3m。计
10、算通过（0，4）点的流线的流函数值，并求该点的流速。解：通过（0，4）点的流线的流函数值为通过（0，4）点的流速为419 向右的水平均匀直线流和顺时针的环流及源流（均在原点）相叠加，如图所示。试求用直角坐标形式来表示的流速分量和驻点位置。解：驻点的 ，所以，y（驻点坐标）420 设一均匀直线流绕经一圆柱体，如图所示。已知圆柱体中心位于坐标原点（0，0），半径为r0=1m；均匀直线流速度u =3m/s。试求x =2m，y =1.5m点处的速度分量（u，）和（ux，uy）。解： 由图中可知，所以 4-21 设一均匀直线流绕经一圆柱体，如图所示。已知圆柱表面上的流速分布为=2usin，u =0，u是均匀直线流速度。试证明作用于圆柱表面上的压强在x轴及y轴方向的合力都等于零。解：由伯努利方程可得或 在圆柱上取，=，作用于此微段上的压力；在x、y轴的分量分别为，对上两式积分，分别为因为 ，；，.即证明之。
