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1、第一讲 函数的图像和性质1作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；描点连线，画出函数的图象。 2三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；3识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面4平移变换：（1）水平平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到；（2）竖直平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平移个单位即可得到 y=f(x)y=f(x+h); y=f(x) y=f(x-h);y=f(x) y=f(x)+h; y=f(x) y
2、=f(x)-h.5对称变换：（1）函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；（2）函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；（3）函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到；（4）函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到y=f(x) y= -f(x); y=f(x) y=f(-x);y=f(x) y=f(2a-x); y=f(x) y=f-1(x); y=f(x) y= -f(-x).6翻折变换：（1）函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到；（2）函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴
3、右边部分即可得到 7伸缩变换：（1）函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到；（2）函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到y=f(x)y=f(); y=f(x)y=f(x).以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的重点运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图象变换法作函数图象要确定
4、以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换这也是个难点题型讲解 1作函数图象的一个基本方法例1函数与的图像如下图：则函数的图像可能是（ ） 解：函数的定义域是函数与的定义域的交集，图像不经过坐标原点，故可以排除C、D。由于当x为很小的正数时且，故。选A.例2 说明由函数的图像经过怎样的图像变换得到函数的图像解：方法一：（1）将函数的图像向右平移3个单位，得到函数的图像；（2）作出函数的图像关于轴对称的图像，得到函数的图像；（3）把函数的图像向上平移1个单位，得到函数的图像方法二：（1）作出函数的图像关于轴的对称图像，得到的图像；（2）把函数的图像向左平移3个单位，得到的图像；（3）把
5、函数的图像向上平移1个单位，得到函数的图像例3设曲线的方程是，将沿轴、轴正方向分别平移、个单位长度后得到曲线，（1）写出曲线的方程；（2）证明曲线与关于点对称；（3）如果曲线与有且仅有一个公共点，证明：解：（1）曲线的方程为；（2）证明：在曲线上任意取一点，设是关于点的对称点，则有，代入曲线的方程，得的方程：即可知点在曲线上反过来，同样证明，在曲线上的点的对称点在曲线上因此，曲线与关于点对称（3）证明：因为曲线与有且仅有一个公共点，方程组有且仅有一组解，消去，整理得，这个关于的一元二次方程有且仅有一个根，即得，因为，所以例4（1）试作出函数的图像；（2）对每一个实数，三个数中最大者记为，试判断
6、是否是的函数？若是，作出其图像，讨论其性质（包括定义域、值域、单调性、最值）；若不是，说明为什么？解：（1），为奇函数，从而可以作出时的图像，又时，时，的最小值为2，图像最低点为，又在上为减函数，在上是增函数，同时即以为渐近线，于是时，函数的图像应为下图，图象为图：（2）是的函数,作出的图像可知，的图像是图中实线部分定义域为；值域为；单调增区间为；单调减区间为；当时，函数有最小值1；函数无最大值第二讲 函数的综合应用在应用中深化基础知识在复习中基础知识经历一个由分散到系统，由单一到综合的发展过程这个过程不是一次完成的，而是螺旋式上升的因此要在应用深化基础知识的同时，使基础知识向深度和广度发展以
7、数学知识为载体突出数学思想方法数学思想方法是观念性的东西，是解决数学问题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知识函数内容最重要的数学思想是函数思想和数形结合的思想此外还应注意在解题中运用的分类讨论、换元等思想方法解较综合的数学问题要进行一系列等价转化或非等价转化因此本课题也十分重视转化的数学思想重视综合运用知识分析问题解决问题的能力和推理论证能力的培养函数是数学复习的开始，还不可能在大范围内综合运用知识但从复习开始就让学生树立综合运用知识解决问题的意识是十分重要的推理论证能力是学生的薄弱环节，近几年高考命题中加强对这方面的考查，尤其是对代数推理论证能力的考查是十分必要的重点是通过对问题的讲解与分析
8、，使学生能较好的调动函数的基础知识解决问题，并在解决问题中深化对基础知识的理解，深化对函数思想、数形结合思想的理解与运用难点是函数思想的理解与运用，推理论证能力、综合运用知识解决问题能力的培养与提高题型讲解 例1 已知函数f(x)，xF，那么集合(x，y)|y=f(x)，xF(x，y)|x=1中所含元素的个数是（ ）A0 B1 C0或1 D1或2分析：这里首先要识别集合语言，并能正确把集合语言转化成熟悉的语言从函数观点看，问题是求函数y=f(x)，xF的图象与直线x=1的交点个数(这是一次数到形的转化)，不少学生常误认为交点是1个，并说这是根据函数定义中“惟一确定”的规定得到的，这是不正确的，
9、因为函数是由定义域、值域、对应法则三要素组成的这里给出了函数y=f(x)的定义域是F，但未明确给出1与F的关系，当1F时有1个交点，当1 F时没有交点，所以选C例2方程lgx+x=3的解所在区间为（ ）A(0，1) B(1，2)C(2，3) D(3，+) 分析：在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图2)它们的交点横坐标，显然在区间(1，3)内，由此可排除A，D至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了实际上这是要比较与2的大小当x=2时，lgx=lg2，3-x=1由于lg21，因此2，从而判定(2，3)，故本题应选C说明：本题是通过构造函数用数形
10、结合法求方程lgx+x=3解所在的区间数形结合，要在结合方面下功夫不仅要通过图象直观估计，而且还要计算的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断例3 (1)一次函数f(x)=kx+h(k0)，若mn有f(m)0，f(n)0，则对于任意x(m，n)都有f(x)0，试证明之；(2)试用上面结论证明下面的命题：若a，b，cR且|a|1，|b|1，|c|1，则ab+bc+ca-1分析：问题(1)实质上是要证明，一次函数f(x)=kx+h(k0)， x(m， n)若区间两个端点的函数值均为正，则对于任意x(m，n)都有f(x)0之所以具有上述性质是由于一次函数是单调的因此本问题的证明要从函数单调性入手(1
11、)证明：当k0时，函数f(x)=kx+h在xR上是增函数，mxn，f(x)f(m)0；当k0时，函数f(x)=kx+h在xR上是减函数，mxn，f(x)f(n)0所以对于任意x(m，n)都有f(x)0成立(2)将ab+bc+ca+1写成(b+c)a+bc+1，构造函数f(x)=(b+c)x+bc+1则f(a)=(b+c)a+bc+1当b+c=0时，即b=-c， f(a)=bc+1=-c2+1因为|c|1，所以f(a)=-c2+10当b+c0时，f(x)=(b+c)x+bc+1为x的一次函数因为|b|1，|c|1，f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)0， f(-1)=-b-c+bc+
12、1=(1-b)(1-c)0由问题(1)对于|a|1的一切值f(a)0，即(b+c)a+bc+1=ab+ac+bc+10说明：问题(2)的关键在于“转化”“构造”把证明ab+bc+ca-1转化为证明ab+bc+ca+10， 由于式子ab+bc+ca+1中， a，b，c是对称的，构造函数f(x)=(b+c)x+bc+1，则f(a)=(b+c)a+bc+1，问题转化为在|a|1，|b|1，|c|1的条件下证明f(a)0(也可构造 f(x)=(a+c)x+ac+1，证明f(b)0)例4 假设国家收购某种农产品的价格是元/，其中征税标准为每元征元（叫做税率为个百分点，即），计划可收购为了减轻农民负担，决
13、定税率降低个百分点，预计收购可增加个百分点（1）写出税收（元）与的函数关系；（2）要使此项税收在税率调节后不低于原计划的，确定的取值范围解：（1）由题知，调节后税率为，预计可收购，总金额为元（2）元计划税收元，得，又，的取值范围为例5 某航天有限公司试制一种仅由金属和金属合成的合金，现已试制出这种合金克，它的体积立方厘米，已知金属的比重小于每立方厘米克，大于每立方厘米克；金属的比重约为每立方厘米克（1）试用分别表示出此合金中金属、金属克数的函数关系式；（2）求已试制的合金中金属、金属克数的取值范围解：（1）此合金中含金属克、金属克， 则 ，解得，（2）在上是减函数，在上是增函数，例6 已知函数
14、R，且（I）若能表示成一个奇函数和一个偶函数的和，求的解析式；（II）命题P：函数在区间上是增函数； 命题Q：函数是减函数 如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围；（III）在（II）的条件下，比较的大小解：（1） 解得（2）在区间上是增函数，解得又由函数是减函数，得命题P为真的条件是：命题Q为真的条件是：又命题P、Q有且仅有一个是真命题，（2）由（1）得设函数函数在区间上为增函数又例7若f（x）在定义域（1，1）内可导，且、时，解解：上为减函数 又当上为奇函数 原不等式的解集为 例8 函数的定义域为D：且满足对于任意，有（）求的值；（）判断的奇偶性并证明；（）如果上是增函数，求x的取值范围（）解：令 （）证明：令令为偶函数 （） （1）上是增函数， （1）等价于不等式组: x的取值范围为 例9已知函数(1) 求证: 函数是偶函数;(2) 判断函数分别在区间、上的单调性, 并加以证明;(3) 若, 求证: 解： (1) 当时, , 则当时, , 则,综上所述, 对于, 都有, 函数是偶函数 (2) 当时, 设, 则当时, ; 当
