光波叠加和计算机模拟

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1、光波叠加和计算机模拟第一章光波的概述第一节波的基本概念2第二节波的性质2第三节波的表示2第二章光波的叠加原理及其成立条件第一节光波的独立传播定律5第二节光波的叠加原理5第三章同频率两列光波的叠加第一节光波叠加的方法6第二节两列同频率光波叠加的一般分析及干涉的概念7第三节两列同频率，同向振动的平面波叠加10第四节两列同频率，同向振动反向传播的平面波叠加15第五节两列同频率，振动方向互相垂直，同向传播的平面波叠加18第四章不同频率两列光波的叠加第一节两列频率相近，同向振动，同向传播的平面波叠加23第二节两列不同频率，同向振动，反向传播的平面波叠加24第三节两列不同频率，传播方向相同，振动方向相互垂

2、直的平面波叠加26第五章拍频，李萨如图形第一节拍频28第二节李萨如图形31附录附录一同频率光波叠加相关程序44附录二不同频率光波叠加相关程序52第一章光波的概述第一节波的基本概念波是自然界中物质运动的一种相当普遍的形式，如声波、电磁波、光 波等。扰动在空间的传播形成了波，引起扰动的振源称为波源，扰动所达 到的空间区域称为波场。在波动中，如果空间各点的振动物理量都作同样频率的简谐振动，则相 应的波称为单色简谐波。这是一种理想模型，它的引入对处理波动问题带 来极大的简化和方便。实际中的波动可以看做是不同频率的单色简谐波的 叠加。第二节波的性质根据所引起的场点振动特性的不同，可将波动分为两类，纵波和

3、横波。 纵波是指振动方向与传播方向相同的波动，如声波；其特点是场点的振动 状态相对于传播方向具有对称性，即在所有通过传播方向所作的截面内具 有相同的振动状态。横波是指振动方向与传播方向正交的波动，如电磁波, 光波；其特点是振动状态相对于传播方向不具有轴对称性，即在所有通过 传播方向所作的截面内的振动状态可能各部相同。这种振动状态相对于传 播方向不对称的现象称为波的偏振。偏振是横波的基本属性。第三节波的表示一般波的标量表达式为E(P,t) = EQ(P)cos(ot -(p(P)(1.3.1 )式中P表示空间中的任意一点，E的为振幅的空间分布，”为圆频率，(p(P) 为相位的空间分布。在光波场中

4、，空间中相位仪尸)相同的点所组成的平面或曲面，这是波的等相 位面，称作波面或波阵面。光波安波面分类，可分为平面波、球面波。1 .平面波平面波具有下列特征：(1)振幅E阳为常数；(2)空间相位夕(P)为直角坐标的线性函数，即(p(P) = k-r +(pa = kxx + kvy + k.z +(pn( 1.3.2 )式中i为波矢量,其方向指向波动传播方向,其数值左=称为波的传播常数或传播数。k-r = kxx + kyy + k:z,h段,上分别为波矢量定在引,z方向的分量。 若为波矢量1与x,y,z轴正向的夹角分别为,如图1.1所示，则 kx = k cos a,ky = k cos P，k

5、. = k cos y ;常数q为初相位，即t=0时原点的相位。波 的余弦表达式为E(rft) = 0(r)cos( 7 _ ax +(p0)( 1.3.3 )波面的条件为(P) = cosr,即八7=const,表示与波矢垂直的一系列平面，即平面波的波面是平面，如图1.2所示。图1.1波矢的方向表示图1.2平面波2 .球面波球面波的主要特征（1）振幅或= *，场点P处的振幅与该点到波源的距离成反比，即振幅随 rr衰减。（2）空间相位是球面对称的奴P） = Zr + Qo球面波的余弦表达式为E（r,t） =员cos（5-加+外）r波面O（P） = Zt + Qo =cost,即卜=常数，代表一

6、个球面，即球面波的波面是球面。如图1.3所示。图1.3球面波由欧拉公式知道，三角函数与复数间有如下的关系eia = cosazsina(1.3.4)可得cosa = Re*。,即一实函数可表示为一复函数的实部。将此方法应用于 实波函数E(r,t) = Eo(r)cos( r - cot可得 |(,/) = Re E(r) expz (k - r - cot (pQ)( 1.3.5)通常习惯将指数中3项的符号取为符号，依这种规定E(r,t) = Re0(r)expz( - r +(p0)eiea(1.3.6)上式中括号内的函数称为复波函数，常用左正川表示。在考虑单色简谐波 的波场时.，各场点复波

7、函数中的时间因子em都是相同的，故可以将它分离 出来，将剩余的空间依赖项记为(F,) = 0(r)expz(.r + ) (1.3.7)反尸)称为波的复振幅，它的模即实数振幅E(G),它的辐角是expi(il + a,)的 指数项1尸+ ,空间依赖项exp(ii 7)称为空间相因子(简称相因子)。第二章光波的叠加原理及其成立条件第一节光波的独立传播定律如果两颗小球发生碰撞，那么它们的运动状态都将改变，都会偏离原来 的运动方向，但两列波相遇，情况则不同。例如，两列水波相遇，在重叠 的区域，波的状态有所改变，但相遇之后，还能保持各自的状态不变；黑 夜中两个探照灯的光束相遇后，并没有改变光束的方向和

8、强度；在乐队的 演奏中，我们仍能分辨各种乐器发出的音调。所以波在相遇过程中和相遇 之后，并没有因为彼此之间的相互作用而改变其固有的特征。这就是波的 独立传播定律。光波的独立传播定律从不同波源发出的波在空间相遇时，如果振动不十 分强烈，各个波将保持各自的特性不变，继续传播，相互之间没有影响。第二节光波的叠加原理不同的光波在相遇区域，振动将互相叠加。光波的叠加原理在两列或多列光波的交叠区域，波场中某点的振动等 于各个光波单独存在时在该点所产生的振动之和。振动量通常是矢量，所 以一般情况下叠加原理中的“和是矢量和，即E(r,t) = El(r,t) + E2(r,t) + Ei(r,t) + - 式

9、中瓦，E2,员分别表示各列波单独存在时某时刻t在某一确定场点r处产 生的振动矢量，2表示该场点在该时刻的合扰动的振动矢量。对光波，振动 矢量通常取为电场强度矢量。对于标量波，或者只考虑矢量波的某一分量而按标量波进行处理时，上 式中的矢量和简化为代数和：E(r,t) = E,t) + E2(r,t) + E.(r,t) + 成立的条件：在线性介质中，而且振动不是十分剧烈。在振动很强烈时, 线性介质会变为非线性的。第三章同频率两列光波的叠加第一节光波的叠加方法首先以讨论同频率、同振动方向的光波叠加方法为例。这是一种最简 单，也是光学中最常见的情况。1 .代数法两列同频率的光波分别可表不为& =/c

10、os3 -。)和E = E20 cos(st -,则合振动E =+ E2 =(E0 cos+ 20 cos2)cos(o/ + (EI0 sin, 4- E20 sin sin cot=Eo (cos cot cos (p + sin cot sin (p)-Eo cos(cot- (p)(3.1.1)其中七。=E；。+ E1 + 2,(0，20cos()? -6),一 IOSin1 +20 Sin2idn ip -10 cos (p、+ E20 cos(p22 .复数法将上述两列光波用复指数表示，& =耳/俑皿=巧丁”和 E2 = /(/佗-=U2e-ia ,其中巧=&/仍，U2 = E20

11、e 0则合振动后=& + 及 至 /诩 + E)e * =g + 02%-加=Ue-ia (3.1.2) 合振动的复振幅为。=口 +办=+ E20e = Eoeiv，。式中：U2=(Ul+ U2)(U； + =琉 + 4 + E1Ee孰小 + e饱叫=io + E；。+ 2ElQE2Q cos。Go sin a + 20 sin(pz idn (p -I0 cos (p、+ 20 cos(p23 .振幅矢量法复振幅。小吃。遇一山都是复数，可在复平面上用矢量来表示，如图3.1 所示。求0 = +2，就是求复数。口所对应的两个矢量的和。这种方法比较直观，特别对于多列波的叠加，处理起来更加方便，例如

12、求。=氏， 7=1其中0=&/%将各列波在复平面上用矢量表示出来，依次首尾相接，相 邻两矢量口。m之间的夹角就是它们之间的相位差/。*=化+化，合振幅 矢量从第一矢量的起点指向最后一个矢量的终点。图3.1两个振幅矢量相加第二节同频率光波叠加的一般分析及干涉概念1.同频率光波叠加的振幅设两列同频率光波在其波场交叠去某点P各自产生的波的表达式分别 为(P) = Ew (P) coscoz - (P)(3.2.1 )E2(P) = E20 (尸)coscor-2(P)(3.2.2 )P点合振幅的复振幅矢量为E(P) = E (P) + 4(尸)=E、o (P) cos(y/- (P) + E2Q(P

13、) coscot-(p2(P) = E0(P) coscot -(p0(P)(3.2.3)式中管(P) = E：。(P) + E 氯 P) + 2%/cos 取(P) - 5 (P)tan(.下)=耳osin福+ J)sing阳 Ew cos(p(P) + E20 cos(p2(P)当夕2比）一夕仍=2E，左=0,1,2时,波叠加的图形:当*2（P卜科（P）=2knJI-t,标量波的在加关系图3t 0UJ图3.2%（P）一（尸）=25时，波的叠加图（程序见附录L1）当心防，口=（2% +与必=0,1,2一时，波叠加的图形:图3.392（尸）-。1（尸）=（2%+ 5）时，波的叠加图（程序见附录

14、1.2） 当和阳一夕仍=（2左+ 1）兀, = 0 L 2时,波叠加的图形：t图3.4.（尸）一份（尸）=（21+ 1）不时,波的叠加图（附录L3）当昂（尸）,匾（2）为常数时，外仍）-a（尸）=加）.时,波叠波与，的关系如图 A3.53 2.52 1.5_1oJ S 0.50-0.5U（P）与r关系图-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81r（mm）图3.5外（尸）_的（尸）=瞥里，U（P）与r的关系（程序见附录1.4）2.同频率光波叠加的光强光场中某处的平均能流密度称为该点的光强，用I来表示。并定义 /(P) = &(P)2,即某点光强等于振幅的平方。若稣(P)用复

15、数表示，则 /(P) = E0(P)E；(P) , E；(P)是E0(P)的复数共甄。P点的光强为 /(P) = 0 (P)2 = I0 (P) + 2O(P)2=鲸)(尸)+ E氯 P) + 2 %(P)&o(P)cos 取(P)p (P)(3.2.4)令/, (P)=鼠(尸也(尸)=碾(尸)/(尸)=% (尸)-仪(P)(3.2.5)4(P)和A(P)分别表示两列波单独在P点产生的光强，d(P)表示两波在P点 的相差，则上式可写成/(P) = Z, (P) + 人(尸)+ 2(P)A(P) cosd(P)若两列波的叠加区波场的强度分布不是简单地等于每列波单独产生的 强度之和，一般地/(P)