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1、哥德巴赫猜想两白多年前，彼得堡科学院院士哥德巴赫曾研究过 “将一个数表示成几个素 数 的和”的问题，他取了很多数做试验，想把它们分解成几个素数的和，结果得 到一个 断语：“总可将任何一个数分解成不超过三个素数之和. ”但是哥德巴赫 不能证明这 个问题，甚至连如何证明的方法也没有，于是他写信给另一名彼得堡 科学院院士、著 名数学家欧拉,他在 1742 年 6 月 7 日的信中写道：“我想冒险 发表下列假定大于 5 的任何数都是三个素数的和”这就是后来举世闻名的 哥德巴赫猜想.同年 6 月 30 日，欧拉在给哥德巴赫的回信中说：“我认为每 一个偶数都是两个素数之和，虽 然我还不能证明它，但我确信这
2、个论断是完全 正确的.”这两个数学家的通信内容传播出来之后，人们就称这个猜想为哥德巴赫猜想 或 者哥德巴赫-欧拉猜想.完整地说，哥德巴赫猜想是：大于 1 的任何数都是三个素数的和. 后来，人们把它归纳为：命题 A :每一个大于或者等于 6 的偶数，都可以表示为两个奇素数的和； 命题 B: 每一个大于或者等于 9 的奇数，都可以表示为三个奇素数的和. 例如： 50=19+31; 51=7+13+31;52=23+29; 53=3+19+31.或 50=3+47=7+43=13+37=19+31 等.1900 年，著名数学家希尔伯特在巴黎国际数学家会议上提出了国际数学要 研究 的 23 个题目（后
3、被称为希尔伯特问题 ） ，其中哥德巴赫猜想命题 A 与另外两 个有关 问题一起，被概括成希尔伯特第 8 问题.这是著名的世界难题.1912年，第五届国际数学家会议上，著名数论大师兰道发言说，有四个数 论上的问题是当时的科学水平不能解决的， 其中一个是哥德巴赫猜想，即使把它 改为较弱的命题：不论是不超过 3 个，还是不超过 30 个，只要证明存在着这样 的 正数C,而能使每一个大于或等于2的整数，都可以表示为不超过C个素数之和”（称为命题C），也是当代数学家力所不能及的.1921 年，著名数论大师哈代，在哥本哈根召开的国际数学会议上说，哥德 巴赫 猜想的困难程度，可以与任何没有解决的数学问题相比
4、， 是极其困难的，但 是他没有说是不可能的事情出乎意料，哥德巴赫猜想问题的解决出现了一些转机， 坚不可摧的哥德 巴 赫堡垒正在逐个被攻破.1930年，25岁的苏联数学家列夫格里高维奇西涅日尔曼(1905-1938),用他 创造的“正密率法”证明了兰道认为当代数学家力所不能及的命题C,还估算出这个数C不会超过S,并算出SV800000人们称S为西涅日尔曼常数这 是哥德 巴赫猜想的第一个重大突破，可惜这位天才数学家只活了33 岁.西涅已尔具1930 年以后，数学家兰道、罗曼诺夫、赫力邦、李奇等对西涅日尔曼方法 作了最准确的分析，竟相缩小 S 的估值，到 1937年，得到 SV67, 乂是一大进 步
5、. 重要的是，不论一个数是多么大，都可将它分解成素数的和的问题已被证明 了 如对丁数835042000000000000000000000或者对丁我们已知的 999(这个数之大可以写出来编成 30 大卷的书)，我们同样可 以 断定，它们可以表示成不超过 67个素数的和.甚至休克斯提出的“空前的数” 34101010这种比 999大得多的数，也能根据西涅日尔曼的证明，表示成不超过67个素数的 和的 形状.1937年，苏联科学院院士伊凡马特维奇维诺格拉多夫，应用英国数学家哈代与李 脱伍特创造的“圆法”和他创造的“三角和法”证明了：对丁充分大的奇 数，西涅日尔曼常数不超过 3.或者说成：对丁充分大的
6、奇数，都可表示为三个 奇数 之和.碓诺格拉多关维诺格拉多夫基本上解决了命题B、通常称为“三素数定理” 他的工作，相 当丁证明了西涅日尔曼常数 SV 4.命题B基本上被解决了，然而到命题A的证明竟是如此困难，有人从63300000 中的任何偶数，发现都能表示成两个奇素数之和，但这仅是验证，人们 追求的仍然是 从数学上证明，每个大丁或等丁 6的偶数都可表示为两个奇素数之 和，再多的有限 数，即使大到无法想象的数也无用， 除非找到反例否定哥德巴赫 猜想.人们在研究命题A的过程中，开始引进了 “殆素数”的概念所谓“殆素 数” 就是素数因子（包括相同的和不同的）的个数不超过某一固定常数的自然数.我们知道
7、，除 1以外，任何一个正整数，一定能表示成若干素数的乘积，其 中 每一个素数，都叫做这个正整数的素因子相同的素因子要重复计算，它有多少素因 子是一个确定的数.例如，从 2530这六个数中，25=5 X 5 有 2个素因子，26=2 X 13有 2个素因子，27=3X 3X 3 有 3 个素因子，23=2X 2X 7 有 3 个素因子，29是素数 有 1 个素因子，30=2X 3X 5有3个素因子.丁是可说25、 26、 29是素因子不超过 2的殆素数， 27、 28、 30是素因子不 超 过3的殆素数.用殆素数的新概念，可以提出命题D来接近命题A.命题D:每一个充分大的偶数，都是素因子的个数不
8、超过m与n的两个殆素数之和.这个命题简化为“ m+n” .1920年924 年，1932年，1938年，1940年，这样，哥德巴赫猜想的最后证明的方向就更明朗化了： 如果能证明，凡是比 某一个正整数大的任何偶教，都能表示成一个素数加上两个素数相乘， 或者表示 成 一个素数加上一个素数，就算证明了 “ 1+2” .当然如果能证明“ 1+T 就基 本上证 明了命题A,也就基本解决了哥德巴赫猜想了.挪妙学净朗证明了 “ 9+9”.德国数学家拉代马哈证明了 “ 7+7”.英国数学家埃斯特曼证明了 “ 6+6”.苏联数学净赫雪托布证明了 “ 5+5”.苏联数学净赫雪托布证明了 “ 4+4”.数之1938
9、 年，中国数学家华罗庚证明了几乎全体偶数都能表示成两个素和，即几乎所有偶数“ 1+T 成立1956 年，中国数学家王元证明了 “ 3+4” .1956 年，苏联数学家维诺格拉多夫证明了 “ 3+3” .1957 年，中国数学家王元乂证明了 “ 2+3” .1962 年，中国年轻数学家潘承桐证明了 “ 1+5”，这是证明了相加的两个 数中，有一个肯定是素数的成果，而另一个殆素数的因子小到不超过 5.1962 年，苏联数学家巴尔巴恩也证明了” 1+5” .1963 年，中国数学家王元、潘承桐及苏联数学家巴尔巴恩分别证明了“1+4” .1965 年，维诺格拉多夫、布赫雪托布证明了 “ 1+3” .1
10、965 年，意大利数学家朋比尼也证明了 “ 1+3” .1966 年，中国数学家陈景润宣布证明了 “ 1+2” .这是在经历了 240 年的 漫长的历程中所取得的全世界公认的最好的研究成果， 可是由于没有发表详细的 证明， 因此在国际上反响不大.1973 年，陈景润在极其困难的条件下，继续奋战，发表了他的著名论文： 大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和 ，公布了全部详细的 论证.这一成就立即轰动了全世界，在数学界引起了强烈的反响.人们都称道中 国年 轻数学家陈景润的巨大贡献.英国数学家哈勃斯丹和西德数学家李希特合著 的数论著 作筛法已在印刷厂排印，当见到陈景润的论文后，立即增补了专章, 并冠以“陈氏定理”，基本上全文转载了陈景润的论文.这使我国在哥德巴赫猜 想研究上居丁世 界领先的地位.陈景润当然，从陈景润的“1+2”到“1+T似乎只差最后的一步就可以摘取数学 皇冠上 的这颗明珠一一哥德巴赫猜想的证明了， 可这最后的冲刺有多少艰难险阻 谁也难以 预料，从 1966 年陈景润证明了 “1+2”到现在，多少数论学家、数学家 努力改进证明 方法，但至今仍无明显进展.
