专题一 平面向量的概念及运算一、核心素养聚焦考点一 逻辑推理-相等向量和平行（共线）向量例题9•已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O, A, B, C, D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：⑴与BC相等的向量;⑵与OB长度相等的向量;⑶与DA共线的向量.【答案】(1)Ad. (2) BO, oC, CO, oA, AO, OD, DO. ; (3)Ad, bC, cb.解析】：画出图形,如图所示.0(1)易知 BC^AD, BC=AD,所以与bc相等的向量为ad.⑵由O是正方形ABCD对角线的交点知OB=OD=OA = OC,所以与OB长度相等的向量为BO, oC, cO, oA, aO, oD, dO.⑶与DA共线的向量为AD, bC, cB.考点二 数学抽象-向量的表示例题10在如图所示的坐标纸上（每个小方格边长为1）,用直尺和圆规画出下列向量：—> —>①OA,使IOAI=4<2，点A在点O北偏东45②AB,使IABI=4,点B在点A正东;--③BC,使IBCI = 6,点C在点B北偏东30°.-等.又IOAI=4\：2小方格边长为1,【解析】①由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相所以点 A 距点 O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4,于是点 A 位-置可以确定，画出向量oa如图所示.r.7/A/占//—>②由于点B在点A正东方向处,且IABI=4,所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4,纵向小-方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量AB如图所示.-③由于点C在点B北偏东30°处，且IBCI = 6,依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方-格数为3,纵向小方格数为3和去5.2,于是点C位置可以确定，画出向量BC如图所示.考点三 数学运算-向量的加、减运算 例题 11、化简下列各式：- - - -（1）（AB＋MB）＋（－OB－MO）; （2）AB－AD－DC.【解】（1）法一：原式=Ab+Mzb+BO+om=（Ab+BO）+（Om+Mzb）=AO+（Ob=Ab.法二：原式=AB+MzB+Bo+om=AB+（MzB+Bo）+OM=AB+MFb+OM=AB+0=AB.（2）法一：原式=DB—DC=CB.法二：原式=AB—（ad+d-C）=AB—AC=cB.考点四 数学建模-用向量解决实际问题例题12•在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.—> —>【解析】设AB, BC分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km,从B地按南偏东55°的方向飞行—> —>800 km,则飞机飞行的路程指的是IABI + IBCI;—> —> —>两次飞行的位移的和是AB+BC=AC.—> —>依题意，有 IABI + IBCI = 800+800=1 600(km),又 «=35°, "=55°, ZABC=35°+55° = 90°,所以 IACI = \hAB I2+IBCI2 8002 + 8002 = 800血(km).其中ZBAC=45°,所以方向为北偏东35°+45° = 80°.从而飞机飞行的路程是1 600 km,两次飞行的位移和的大小为800^2 km,方向为北偏东80°.二、学业质量测评一、选择题r r r r1. 若I a I=I b I,那么要使a = b，两向量还需要具备()A.方向相反 B.方向相同C.共线 D.方向任意【答案】 B【解析】两向量相等需具备长度相等且方向相同两个条件，因此选B.uuur uuur uuur r2. 若O是厶ABC内一点，OA + OB + OC = 0，则O是厶ABC的()A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心【答案】 Buuur uuur uuur r uuur uuur uuur uuur uuur【解析】由OA + OB + OC = 0得OA + OB = -OC，而OA + OB表示的是以OA,OB为邻边的平行四边形对角线所在的向量，结合图形易得。
是厶ABC的重心.uuur uuur uuur uuur uuur uuur3. AB+ BC+CD+ DE + EF + FA =()A．0rB．0uuurC．2AD【答案】 BuuurD. —2 ADuuur uuuruuur uuur uuur uuur r【解析】由向量加法的运算法则可知AB+ BC+CD+ DE + EF + FA = 0.uuur uuur uuur uuur4.如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中OA = a , OB = b , OC = c，则EF等于）A. a+b b. b-a c. c —b d. b-c【答案】 Duuur uuur uuur uuur uuur【解析】EF = OA = CB = OB - OC = b -c5•若O, A, B是平面上不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（）uuur uuur uuurA. AB 二 OA + OBuuur uuur uuurB. AB二 OB — OAuuur uuur uuurC. AB = -OB + OAuuur uuur uuurD. AB 二-OB — OA答案】 Buuur uuur uuur【解析】由向量的减法知AB = OB - OA，故选B.rr6.若非零向量a和b互为相反向量，则下列说法中错误是（）rrr rrrr rA．a PbB. a 丰 bC.a丰bD・ a = —b【答案】 C【解析】由平行向量的定义可知A项正确；r r r r因为a和b的方向相反，所以a丰b，故B项正确;rr由相反向量的定义可知a = _b，故选项D正确；7.（多选题）已知D , E, F分别是△ABC三边AB , BC , CA的中点，则下列等式成立的是（）uuuruuuruuuruuur uuur uuurA.FD + DA二 FAB.FD + DE + EF = 0uuuruuuruuuruuur uuur uuurC.DE + DA=ECD.DA + DE 二 DFr由相反向量的定义知arb，故C项错误•故选Co解析】 由加法的三角形法则可得,uuur uuur uuur uuur uuur uuur rFD + DA 二 FA， FD + DE + EF = 0uuur uuur uuurDE + DA = EC【答案】ACD、/uuu uuuu、+ MB 丿+ \BC + CM 丿B.C.fuun uur、uuuAB + CD 丿+ BCuuur uuur uuurD. OC-OA + CDuuur uuur uuurDA + DE 二 DF ,故选 ACD.uuur uuur uuuurA. MB + AD - BM【答案】 BCD【解析】uuuv uuuv uuuv uuuuv uuuv uuuv uuuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv (AD + MB) + (BC + CM) = AD + (BC + CM + MB) = AD , (AB + CD) + BC = AB + BC + CD = ADuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuv uuuv uuuuv uuuv uuuvOC — OA + CD 二 AC + CD 二 AD，故B、C、D 都能化简为 AD，只有 A项MB + AD -BM 二 2MB + AD化简结果不是，故选BCD.二、填空题9.下列命题中正确的有 . （填序号）① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；② 若 |a|=bl，贝Oa=b；uuur uuur③ 若AB^DG则A, B, C, D四点构成平行四边形;uuur uuur④ 在ABCD中，一定有AB^DC⑤若8=匕，b=c,贝Ua=c；⑥ 若a Pb, b Pc,贝Ua Pc.【答案】④⑤【解析】两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确;lai = lbl,由于a与b方向不确定，所以a与b不一定相等，故②不正确；匚,話=.i，可能有A, B，C，D在一 条直线上的情况，所以③不正确；④⑤显然正确；零向量与任一向量平行，故a〃 b，b〃c时，若b=0,则 a与c不一定平行，故⑥不正确.uuur uuur uuur uuur uuur10.梯形 ABCD 中，AB// DC , AC与 BD 交于点 O，则 AD — BD + BC — AO + CO = 【答案】 0uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur【解析】AD — BD + BC — AO + CO = AD + DB + BC + OA — OC = AC + CA = 0uuur uuru uuru uuur uuur uuur11.若四边形ABCD是菱形，则在向量AB , BC , CD , DA , DC , AD中，相等的有—对.【答案】 2【解析】菱形 ABCD 如图所示：uuur uuur uuur uuur uuru uuur向量AB和DC大小相等方向相同，故AB = DC，同理，BC = AD，故相等的向量有2对.12.已知菱形ABCD的边长为2,则向量Ab-CB+CD的模为 ； IACI的范围是 【答案】2 0