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1、. .第五章 小波变换基本原理问题小波变换如何实现时频分析？其频率轴刻度如何标定？ 尺度 小波发展史1910 Harr小波80年代初兴起 Meyer小波解析形式80年代末 Mallat 多分辨率分析WT无须尺度和小波函数滤波器组实现90年代初 Daubechies 正交小波变换90年代中后期 Sweblews 第二代小波变换小波构造？ 小波变换与短时傅里叶变换比较 a适用领域不同 b.STFT 任意窗函数 WT（要容许性条件） 小波相关概念，数值实现算法 多分辨率分析（哈尔小波为例） Daubechies正交小波构造MRA的滤波器实现 小波的历史地位仍不如FT，并不是万能的5.1 连续小波变换
2、一CWT与时频分析 1.概念： 2.小波变换与STFT用于时频分析的区别STFT小波变换基函数时频轴平移+调制（线性频轴）平移+伸缩 尺度对数频轴基函数特征包络恒定，振荡不同振荡恒定，包络恒定时频分辨率，mT,w附近附近适用情况渐变信号突变信号轴spectrogramscalogram结果复数 实数 3.WT与STFT对比举例（Fig56, Fig57）二WT几个注意的问题 1.WT与选择有关 应用信号分析还是信号复原 2.母小波必须满足容许性条件 隐含要求 具有带通特性 利用可推出反变换表达式 3.CWT高度冗余（与CSTFT相似） 4.二进小波变换（对平移量b和尺度进行离散化） 5.小波变
3、换具有时移不变性 6.用小波重构信号 中心问题：如何构建对偶框架 如何构建正交小波？5.2 分段逼近t很显然采样率越高，越小，逼近误差越小，采样率无误差学习目的理解MRA一分段逼近的引入PAM信号近似 ADC 1t1 1.采样率增大的尺度表达 用平移的版本对S(t)作近似 逼近函数 尺度一般式：11111111 2.两尺度函数间关系 成空间满足 两尺度空间差异在哪？ 3.表征细节的小波变换的引入表细节 发现尺度 4.推广m=-1m=0m=1m=2包含信息量决定 形成最简单的MRA二分段逼近与小波变换（哈尔小波） 1.信号的尺度逼近与小波表示 尺度逼近 小波表示 Harr小波 2.Harr小波特
4、性 同一尺度平移正交性：同尺度m也满足 作变量替换即可证明 尺度，平移均正交 分段逼近的推广MRA一多分辨率分析含义 由空间组成 若空间尺度函数平移正交： 则为空间尺度函数,任一函数S(t)可用 平方可积空间即为 问题：Harr小波构成最简单MRA 如何构造选其它具体的MRA体系二正交小波函数的系统构造 1.两尺度方程引入 低通滤波器与尺度关系Harr小波满足 频域反映 令 含义 a. b根据MRA， c. 2.QMF的引入 的尺度正交关系的频域反映 频域也正交 两边对n求和 利用泊松求和公式 （令） 有 即： QMF正交镜像滤波器组的导出 利用两尺度关系 对k分奇偶讨论 含义 a. b.功率
5、互补条件半带条件 01 3.正交小波滤波器满足的条件 频域关系 根据可推出 上式的解为 时域关系 令 易证 小波滤波器同样满足两尺度关系 4.尺度与小波滤波器频域关系的矩阵表示 5. 正交补 例：求Harr小波的频域尺度函数和小波函数 解： 其频域幅值图如Fig513所示 可发现其缺陷在于波纹太大 （原因时域紧支撑） 例：理想LPF也构成正交小波 解：三有关小波函数的一些概念 1.小波消失矩 （vanishing moment） 满足 母小波平滑度由消失矩决定，消失矩越大，则频域衰减越快越平滑 消失矩越大，小波振荡程度越高 2.小波正则度（regularity） 定义：小波的连续可导次数 正则
6、度为n的小波具有（n+1）阶消失矩（必要条件）四问题讨论 1.根据MRA理论 小波和尺度函数均可由无穷频域次乘积得出，最终由决定 不关心其解析表达式滤波器组 2.MRA理论 离散小波的数值实现5.4 小波变换与数字滤波器组一时间离散小波变换的实现途径 1.不能直接对定义式离散化实现 令 当m较小时，不为整数 2.第一代小波变换：根据MRA理论，由数字滤波器组实现（Mallat算法） （根据尺度函数和小波函数） 3.第二代小波变换：Swelden算法 由预测和更新滤波器进行交替提升实现二Mallat算法 1.两个近似假设 由采样数据直接近似 当分辨率m足够高时 故可直接用样本数据取代 2.Mal
7、lat算法 分解算法 a.推导 同理 b.滤波器组实现（滑动积+下采样） 重构算法 a.推导（由两尺度关系，正交关系，与奇偶讨论可导出） b.滤波器组实现（上采样+滤波）S(i)5.5 小波变换的应用一小波地位 小波曾火热一时，但小波不是万能的，在某些应用场合特别适用 小波无法求解微分方程纯数字和物理地位不如FT 二信号检测方面应用 发动机声音中的撞击声检测 傅里叶分析：时间平均作用模糊了信号局部特性Gabor变换 ：仍需长窗去包含振荡波形 小波变换 ： 小波基可任意窄三降噪应用 1.适用场合 经典滤波：要求信号与噪声频率足够窄且不重合 高斯类噪声和脉冲噪声 宽带噪声 小波去噪 2.滤波效果 经典滤波：丢失波形尖锐处信息 小波降噪：基本保留波形尖锐处信息（与小波基选择有关） 3.滤波手段 传统方法：Prony参数建模法 小波降噪小波变换系数阈值比较反变换信号输出分解重构a. b.可证明其统计最优性 c.阈值比较（阈值T可基于信号标准差得出） 硬阈值：比较 软阈值：考虑符号，与其其它系数相关性 4.小波基选择：小波基应与主体信号量相近 相似度越高，主小波系数越大，噪声系数则越小NI信号处理工具箱 /
