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1、磁场区域的最小面积问题考题中多次浮现求磁场的最小范畴问题，此类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力规定较高。其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点（如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等）难以拟定。下面我们以实例对此类问题进行分析。一、磁场范畴为圆形1、一带电质点，质量为m，电荷量为q，以平行于x轴的速度v从y轴上的a点射入如图所示的第一象限所示的区域、为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度v射出，可在合适地方加一种垂直于xOy平面磁感应强度为B的匀强磁场若此磁场仅分布在一种圆形区域内，试
2、求这个圆形磁场区域的最小半径，重力忽视不计2、（北京朝阳一模，23题）（18分）如图所示，在真空室中平面直角坐标系的y轴竖直向上，x轴上的P点与Q点有关坐标原点O对称，PQ间的距离d=30cm。坐标系所在空间存在一匀强电场，场强的大小E=1.0N/C。一带电油滴在xOy平面内，从P点与x轴成30的夹角射出，该油滴将做匀速直线运动，已知油滴的速度v=2.0m/s射出，所带电荷量q=1.010-7C，重力加速度为g=10m/s2。（1）求油滴的质量m。（2）若在空间叠加一种垂直于xOy平面的圆形有界匀强磁场，使油滴通过Q点，且其运动轨迹有关y轴对称。已知磁场的磁感应强度大小为B=2.0T，求：a油
3、滴在磁场中运动的时间t；b圆形磁场区域的最小面积S。2、【答案】见解析【 解析】（1）对带电油滴进行受力分析，根据牛顿运动定律有因此kg（4分）（2）带电油滴进入匀强磁场，其轨迹如图所示，设其做匀速圆周运动设圆周运动的半径为R、运动周期为T、油滴在磁场中运动的时间为t，根据牛顿第二定律： 因此m 因此s设带电油滴从M点进入磁场，从N点射出磁场，由于油滴的运动轨迹有关y轴对称，如图所示，根据几何关系可知，因此，带电油滴在磁场中运动的时间s 由题意可知，油滴在P到M和N到Q的过程中做匀速直线运动，且运动时间相等。根据几何关系可知，因此油滴在P到M和N到Q过程中的运动时间s 则油滴从P到Q运动的时间
4、s（8分）（3）连接MN，当MN为圆形磁场的直径时，圆形磁场面积最小，如图所示。根据几何关系圆形磁场的半径m其面积为m2 m2 （6分）3、一质量为m、带电量为q的粒子以速度v0从O点沿y轴的正方向射入磁感强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向夹角为30，如图所示，粒子的重力不计，试求：圆形磁场区域的最小面积。粒子从O点进入磁场区域达到b点所经历的时间。b点的坐标。 解析：本题可以这样作轨迹示意图：反向延长过b点的速度线（为了以便如下称为vt线）与v0线的延长线相交成一夹角，做该角的角平分线交x轴于O1点，O1点就是粒子作圆周
5、运动的圆心。过O1点作vt线的垂线O1B，连接OB交前面所作角平分线于O2点，O2点就是所求最小圆形磁场区域的圆心，OO2就是该圆形磁场区域的半径，如图所示。设带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为R，由洛伦兹力提供向心力有：， 从图6中的几何关系可知，圆形磁场区域的半径为：故最小面积为：。粒子从O点到A点做匀速圆周运动，速度方向偏转了，故在此过程中所需时间为：粒子从A飞到b是匀速直线运动，令Ab长为L，则： 粒子从A点飞到b的时间为：故粒子从O点进入磁场区域达到b点所经历的时间为 ： 由图可知，b点的坐标为：，yb0。二、磁场范畴为矩形4、如图所示，直线OA与轴成角。在y范畴内有沿轴
6、负方向的匀强电场，在AOx范畴内有一种矩形区域的匀强磁场，该磁场区域的磁感应强度，方向垂直纸面向里。一带电微粒电荷量，质量，微粒在y轴上的某点以速度垂直于y轴进入匀强电场，并以速度垂直穿过直线OA，运动中通过矩形磁场区域后，最后又垂直穿过轴。不计微粒重力，求：(成果保存两位有效数字)（1）带电微粒进入电场时的初速度多大?（2）带电微粒在磁场中做圆周运动的半径r（3）画出粒子运动轨迹图并求出最小矩形磁场区域的长和宽。解析：带电微粒做类平抛运动 （2）洛仑兹力提供向心力，有 （3）画出粒子的运动轨迹如图所示 设最小矩磁场区域的长为宽为，由数学知识可知 例2：如图所示，第四象限内有互相正交的匀强电场
7、E与匀强磁场B1，E的大小为0.5103V/m，B1大小为0.5T；第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直于纸面向里的匀强磁场B2，磁场的下边界与x轴重叠。一种质量m=110-14kg、电荷量q=110-10C的带正电的微粒以某一速度v沿与y轴正方向成60角从M点沿直线运动，经P点进入第一象限内的磁场B2区域。一段时间后，小球通过y轴上的N点并沿与y轴正方向成60角的方向飞出。M点的坐标为(0，-10)，N点的坐标为(0，30)，不计粒子重力，取g=10m/s2。(1)请分析判断匀强电场E的方向并求出微粒的运动速度v；(2)匀强磁场B2为多大?(3)B2磁场区域的最小面积为多少?解析：（1）,因
8、此m/sE方向如图（2）,由，得T（3）最小面积如图阴影部分：m2三、磁场范畴为树叶形例1(苏北三市一模) (16分)如图所示的直角坐标系第、象限内存在方向向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=0.5T，处在坐标原点O的放射源不断地放射出比荷C/kg的正离子，不计离子之间的互相作用。求离子在匀强磁场中运动周期；若某时刻一群离子自原点O以不同速率沿x轴正方向射出，求通过s时间这些离子所在位置构成的曲线方程；xOy若离子自原点O以相似的速率v0=2.0106m/s沿不同方向射入第象限，规定这些离子穿过磁场区域后都能平行于y轴并指向y轴正方向运动，则题干中的匀强磁场区域应如何调节（画图阐明即可）？并求出
9、调节后磁场区域的最小面积。15（16分）解：根据牛顿第二定律 有分 运动周期分离子运动时间分根据左手定则，离子沿逆时针方向作半径不同的圆周运动，转过的角度均为分这些离子所在位置均在过坐标原点的同一条直线上，ORO该直线方程分离子自原点O以相似的速率v0沿不同方向射入第一象限磁场，均做逆时针方向的匀速圆周运动根据牛顿第二定律 有分 分这些离子的轨道圆心均在第二象限的四分之一圆弧AC上，欲使离子穿过磁场区域后都能平行于y轴并指向y轴正方向运动，离开磁场时的位置在以点（,）为圆心、半径m的四分之一圆弧（从原点起顺时针转动）上，磁场区域为两个四分之一圆的交集，如图所示分调节后磁场区域的最小面积m2分例
10、2（北京石景山一模，24题）（20分）如图所示的直角坐标系中，在直线x=-2l0到y轴区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，x轴下方的电场方向沿y轴正方向。在电场左边界上A（-2l0，-l0）到C（-2l0，0）区域内的某些位置，分布着电荷量+q质量为m的粒子。从某时刻起A点到C点间的粒子，依次以相似的速度v0沿x轴正方向射入电场。若从A点射入的粒子，正好从y轴上的A（0，l0）沿x轴正方向射出电场，其轨迹如图所示。不计粒子的重力及它们间的互相作用。 （1）求匀强电场的电场强度E： （2）若带电粒子通过电场后都能沿x轴正方向运动，请推测带电粒子在
11、AC间的初始位置到C点的距离。 （3）若以直线x=2l0上的某点为圆心的圆形区域内，分布着垂直于xOy平面向里的匀强磁场，使沿x轴正方向射出电场的粒子，经磁场偏转后，都能通过直线x=2l0与圆形磁场边界的一种交点处，而便于被收集，求磁场区域的最小半径及相应的磁感应强度B的大小。【 解析】四、磁场范畴为三角形及其她形状30OPAv08、如图所示，在倾角为30的斜面OA的左侧有一竖直档板，其上有一小孔P，OP=0.5m.既有一质量m=410 20kg，带电量q=+21014C的粒子，从小孔以速度v0=3104m/s水平射向磁感应强度B=0.2T、方向垂直纸面向里的一圆形磁场区域且在飞出磁场区域后能
12、垂直打在OA面上，粒子重力不计求：（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径；（2）粒子在磁场中运动的时间；（3）圆形磁场区域的最小面积（4）若磁场区域为正三角形且磁场方向垂直向里，粒子运动过程中始终不遇到挡板，其她条件不变，求：此正三角形磁场区域的最小边长。解析：（1）由，得：（2）画出粒子的运动轨迹如图，可知，得：30OPAv0abco160egf（3）无拟定解，圆形面积只能无限接近（4）由数学知识可得： 得：9、【浙江联考】如图所示，虚线MO与水平线PQ相交于O，两者夹角=30，在MO左侧存在电场强度为E、方向竖直向下的匀强电场，MO右侧某个区域存在磁感应强度为B、垂直纸面向里的匀强磁场，O点处
13、在磁场的边界上.既有一群质量为m、电量为+q的带电粒子在纸面内以速度v()垂直于MO从O点射入磁场,所有粒子通过直线MO时，速度方向均平行于PQ向左.不计粒子的重力和粒子间的互相作用力，求：（1）速度最大的粒子自O点射入磁场至返回水平线POQ所用的时间.（2）磁场区域的最小面积.（3）根据你以上的计算可求出粒子射到PQ上的最远点离O的距离，请写出该距离的大小（只要写出最远距离的最后成果，不规定写出解题过程）【答案】(1) 或 (2) 或 (3)d= （【解析】（1）(11分)粒子的运动轨迹如图所示，设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，粒子在匀强磁场中运动时间为t1则 即 最大
14、速度vm的粒子自N点水平飞出磁场，出磁场后做匀速运动至OM，设匀速运动的时间为t2，有： 过MO后粒子做类平抛运动，设运动的时间为，则： 又由题知最大速度vm= 则速度最大的粒子自O进入磁场至重回水平线POQ所用的时间 (1分)解以上各式得： 或 （2）由题知速度大小不同的粒子均要水平通过OM，则其飞出磁场的位置均应在ON的连线上，故磁场范畴的最小面积是速度最大的粒子在磁场中的轨迹与ON所围成的面积。扇形的面积 的面积为： 又 联立得：或 （3）(4分)粒子射到PQ上的最远点离O的距离d= （扣2分）10、(常州中学期中) (16分)如图甲所示，直角坐标系中直线AB与横轴x夹角BAO=30，AO长为a。假设在点A处有一放射源可沿BAO所夹范畴内的各个方向放射出质量为m、速度大小均为v、带电量为e的电子，电子重力忽视不计。在三角形ABO内有垂直纸面向里的匀强磁场，当电子从顶点A沿AB方向射入磁场时，电子正好从O点射出。试求：（1
