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1、F F a b2 2 1 M 1 2 M第 13 讲 切点弦问题一、解答题x 2 y 21已知椭圆 G: + =1(a b 0) 的左、右焦点分别为 、 ，离心率为1 2F的最大面积为 11 2（1）求椭圆 G的方程；22，M 是椭圆上的动点，（2）求证：过椭圆 G:x 2 y2+ =1(a b 0) 上的一点 a 2 b 2T (x, y0 0)的切线方程为：x x y y0 +a2 b 20 =1；（3）设点 P 是直线 l : x =2上的一个动点，过 P 做椭圆G的两条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 是否过定点？若是，求出这个定点坐标，否则，请说明理由【答案】（1）【分析】x
2、22+y 2 =1 ；（2）证明见解析；（3）直线 AB 过定点 (1,0) .（1）当 M 是椭圆的短轴端点时， 得椭圆方程；F1 2的面积最大，得到 bc =1 ，再结合离心率及 a 2 =b 2 +c 2 ，可求x2 y 2+ =1 a2 b 2（2）联立x x y y0 + 0 =1 a2 b 2，得 ( a 2 y 2 +b 2 x 2 ) x 2 -2a2 b 2 x x +b 2 a4 -a 4 y 2 =0 (*) ，又点T (x, y0 0 0 0 0 0)在椭圆上得b2 x02 +a 2 y 2 =a 2b 20，即可将方程变形为 a2b2( x -x ) 02=0 ，即直
3、线和椭圆仅有一个公共点，可证得l为椭圆的公切线.（3）设P (2, t )，切点A( x , y ) ， B ( x , y ) 1 1 2 2，由切线方程可知x x x x 1 +y y =1 ， 22 2+y y =1 2，又 P 在切线上， x +ty =11 1， x +ty =12 2，可知直线 AB 的方程为：x +ty =1，可得直线 AB 过定点(1,0)【详解】（1） M 是椭圆上的动点 y bM，SMF F1 2=1 1| F F | y 2cb=bc ，即 y =b 2 2时，(SMF F1 2)max=bc =1e =c 2=a 2，即 a 2 =2 c 2 ，又 a
4、2 =b 2 +c 2 ， b =c =1，a = 2 ，椭圆 的方程为x 22+y 2 =1 2 2 22 2 22 2 1 2 x2 y 2+ =1 a2 b 2（2）证明：联立 x x y y0 + 0 =1 a2 b 2，得 ( a2y02+b2x02) x2-2a2b2x x +b02a4-a4y02=0 (*)点T (x, y0 0)在椭圆上，x 2 y 20 + 0a 2 b2=1(a b 0) b2x02+a2y02=a2b2 a 2 b2 x 2 -2a2b 2 xx +a b x =0 ，即 a b ( x -2 xx +x ) =00 0 0 0 a 2 b2 ( x -
5、x ) =0 ， 得0 l为椭圆的公切线x =x0，故直线和椭圆仅有一个公共点，（3）设P (2, t )，切点A( x , y ) ， B ( x , y ) 1 1 2 2，由（2）的结论可知，切线 PA, PB 的方程分别为x x x x1 +y y =1， 2 +y y =1 2 2P 在切线上， x +ty =1 ， x +ty =11 1 2 2 ( x , y ),( x , y ) 1 1 2 2都满足x +ty =1，即直线 AB 的方程为：x +ty =1 直线 AB 过定点 (1,0) .【点睛】思路点睛：本题考查椭圆的简单性质，椭圆的切线方程，直线与椭圆的位置关系，圆锥
6、曲线中定点问题的 两种解法：（1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系， 找到定点（2）特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关2已知抛物线 C：y24x 和直线 l：x1.(1)若曲线 C 上存在一点 Q，它到 l 的距离与到坐标原点 O 的距离相等，求 Q 点的坐标；(2)过直线 l上任一点 P 作抛物线的两条切线，切点记为 A，B，求证：直线 AB 过定点.【答案】(1)Q12, 2；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）设 Q(x，y)，则(x1)2x2y2，又 y24x，解得 Q；（2）设点(1，
7、t)的直线方1 21 2) 程为 ytk(x1)，联立 y24x，则 0，得 k2kt10，则切点分别为 A，B，所以 A，B，F 三点共线，AB 过点 F(1，0)。试题解析：(1)设 Q(x，y)，则(x1)2x2y2，即 y22x1，由解得 Q .(2)设过点(1，t)的直线方程为 ytk(x1)(k0)，代入 y24x，得 ky24y4t4k0， 由 0，得 k2kt10，特别地，当 t0 时，k1，切点为 A(1，2)，B(1，2)，显然 AB 过定点 F(1，0). 一般地方程 k2kt10 有两个根，k k t，k k 1，两切点分别为 A，B，又与，共线，又2与，0，有共同的起
8、点 F，A，B，F 三点共线，AB 过点 F(1，0)，综上，直线 AB 过定点 F(1，0).点睛：切点弦问题，本题中通过点P 设切线，求得斜率 k，再求出切点 A，B，通过证明与共线，AB 过点 F(1，0)。一般的，我们还可以通过设切点，写出切线方程，直接由交点 P，结合两点确定一条直线，写出切点弦直线方程，进而得到定点。3已知抛物线 C： y2 =2 px（ p 0 ）上的一点M(2, m到它的焦点的距离为2 +1.（1）求 p 的值.（2）过点N (-2,t)（t R）作曲线 C 的切线，切点分别为 P，Q.求证：直线 PQ 过定点.【答案】（1） 2；（2）证明见解析.【分析】（1
9、）根据抛物线的定义列方程可得结果；1 22 2 PQ P , Q k 2 k1 1x -k 2 1 x - ( ) ( ) （2）设过 N 的直线：y -t =k (x+2)，代入 y2=4 x得， ky2-4 y +4t +8k =0根据判别式等于 0，得t =1 2 -2 k ，代入 ky 2 -4 y +4t +8k =0 可得 y =k k，设NP，NQ的斜率分别为k ， k1 2，则1 1 2 1 2 k k =- P , ，Q ,2 k k k k1 1 2 2，根据点斜式可得直线 的方程，结合 k k =-1 212，可得结论.【详解】（1）曲线 C 上点 M 到焦点的距离等于它
10、到准线的距离2 +p2p= 2 +1 ， =1 ， p =2 2（2）依题意，过点 N 的抛物线切线的斜率存在，故可设过 N 的直线：y -t =k (x+2)，代入 y2=4 x 得， ky2-4 y +4t +8k =0k 0,因为直线与曲线 C 相切，则 得D=0,16 -4 k (4 t +8 k ) =0，即 2k 2 +tk -1 =0 所以t =1 2 2 -2 k ，代入 ky 2 -4 y +4t +8k =0 并化简得 ( y - ) 2 =0 ，解得 y = ，k k k设 NP ， NQ 的斜率分别为 k ， k ，则 k k =-1 2 1 2121 2 所以 ， 1 2,k 2 k2 2，当k k1 2时，直线2 2-2 k kPQ 的方程： y - = 1 2k 1 11 -k 2 k 21 2 1 即：y -2 2k k 1 = 1 2 x -k k +k k 2 1 1 2 1=-1 1 k +k k
