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1、复积分的计算方法孟小云 025(数学科学学院 数学与应用数学专业 2007级3班)指导老师 海泉摘要：本文归纳了计算复积分的多种方法，并举例说明了它们的应用。关键词：复变函数；复积分在复变函数的分析理论中，复积分是研究解析函数的重要工具，解析函数的 许多重要性质都要利用复积分来表述和证明的，因此，对复积分及其计算的研究 显得尤为重要。本文介绍了复变函数积分常规的计算方法、利用级数法、拉普拉 斯变换法及对数留数与辐角原理进行复积分计算方法。利用这些方法可以使一些 复杂的复积分计算变得简单、快捷。接下来要介绍计算复积分的常见的一些方法。 方法1：参数方程法定理：设光滑曲线 c:z二z(t)=x(t
2、) + iy(t) (a t p ), z (t)在a,卩上连续，且 z (t)工 0,又设 f (z)沿 c 连续，则 J f (z)dz J卩 fz(t)z(t)dt。ca1、若曲线c为直线段，先求出c的参数方程。c为过z , z两点的直线段，c： z二z + (z - z )t, t g 0,1, z为始点,z为终点。1 2 1 2 1 1 2例1计算积分A Rezdz，路径为直线段.-1解：设z = 1 + (i + 1)t = (t 1) + it,t g 0,1,原式二 J 1(t - 1)dt 二(丄 12 -1) 1 二-0 2 0 22若曲线C为圆周或圆周的一部分，例如C为以
3、a为心R为半径的圆。设c： z a = R,即z二a + Rei0,6 g 0,2兀,(曲线的正方向为逆时针)例2计算积分J |z|dz,c为从一1到1的下半单位圆周.c解：设z 二 e/e,dzd0,0 g -兀,0原式J0ieie d0 = J0 i(cos 0+ i sin 0 )d0 = 2-e注：上述方法只适用于积分曲线式特殊类型的曲线。方法 2：利用柯西积分定理柯西积分定理：设函数f (z)在复平面上的单连通区域D内解析，C为D内任条周线，则J f (z)dz = 0cdZ,c为单位圆周|Z = 1.例3计算J解：c z2 + 2 z + 2 z = 1是f=孕+； + 2的解析区
4、域内的一闭曲线，由柯西定理有J dz = 0c z 2 + 2z + 2注：此题可用参数方法，但计算要复杂得多，而用柯西定理很简单 1、柯西积分定理可推广到复周线的情形，这也是计算复积分的一个有利工具，即复函数沿区域外边界曲线的积分等于沿区域内边界积分的和。适用于积分曲线内部含被积函数奇点的情形。例4计算J 土1c z 2 - z解;J c z 2 - z相交的圆周c ,c ,12dz的值，c为包含圆周|zdz = J (丄+)dz,分别以z = 0,z = 1为心作两完全含于c内且互不c z z - 1则有原式=J ( +)dz + J ( +)dzc z z -1* z z -1=J dz
5、 + Jdz +J dz + J dzc1zc1z-1c2 zc2 z-1= 2ni+0+0+2ni =4ni=1的任何正向简单闭曲线.2、若积分与路径无关的条件下也可直接按实积分中的牛顿莱布尼茨公式计算。例 5 计算 J -2+i (z + 2)2 dz .-2解：因为f (z) = (z + 2)2在复平面上处处解析，所以积分与路径无关。 原式二 J 2+i (z2 + 4z + 4)dz = z3 + 2z2 + 4z 1 =- -23-23注：利用柯西积分定理也有一定的局部性，主要体现在被积函数上，只有某些特 殊的函数或能拆成若干个特殊函数的函数计算起来较方便。方法3：利用柯西积分公式
6、1、柯西积分公式：设区域D的边界是周线(复周线)C函数f (z)在D内解析，在万=D + c内连续，则f (z)=丄J竺dq (z e D)2 兀 i c q-z例6计算J壬孑，其中c为圆周|z| = 2.解：因被积函数的两个奇点是i,-i,分别以这两点为心作两个完全含于c而且互eze z不相交的圆周 c ,c 原式二 J e dz + J - dz = J ldz + J ldz1 2q z2 + 1C2 z2 + 1q z -iC2 z -i2 兀 i+ 2 兀 i=兀(e： e- i)z + i lz=iz - i lz =-i此题是柯西积分公式与柯西积分定理应用的结合，比单独应用柯西积
7、分定理容易 方便得地多。2、柯西积分公式解决的是形如J竺dq,(z e D)的积分，那形如cq-zJ 空dq,(z e D)的积分怎样计算呢c (q - z)n利用解析函数的无穷可微性f (n)(z)=旦JL/q,(z e D)(n = 1,2,)可解决2兀 i c (q - z) n+1此问题。例7 计算 Jc解：因被积函数的两个奇点是i,-i,分别以这两点为心作两个完全含于c而且互不相交的圆周ci, C2原式冷+ 步芝护+ 需二(1-i)(ei - ie-i)z=-i 2注：柯西积分公式与解析函数的无穷可微性在计算复积分时的主要区别在于被积 函数分母的次数，二者在计算时都常与柯西积分定理相
8、结合。方法 4：利用柯西留数定理柯西留数定理：f (z)在周线(复周线)C所围区域D内除a ,a，,a外解析,则 J f (z )dz = 2n i 工 Res f (z)k =1 z=ak12n在闭区域D = D + c上除a ,a，,a外连续,12n解：f (z) = J5Z - 2 dz，在圆周|z = 2内有一阶极点z=0,二阶极点z=1Z =2 z (z 1)2Res f (z) =z=05 z - 2(z - 1)2z=0=-25z-2Re sf (z) = (-)z =1z由留数定理原式=2 兀 i(Re sf (z) + Re s f (z) = 2 兀 i (2 - 2) =
9、 0z =1z =0方法 5：借助于沿封闭曲线的复积分 当计算不封闭曲线为积分路径的复积分时，可把积分路径作为部分曲线来构造封 闭曲线，首先计算沿封闭曲线的复积分，再计算最初的沿不封闭曲线的积分。例9计算J Ldz，其中c是以(1,0)为起点、(2,0)为终点的光滑曲线.cz分析：构造封闭曲线c = c + BA，易求F(z) =1 沿c的复积分，利用复积0z0分的性质求原复积分。解：设c = c + BA，其中BA是以B(2,0)为起点，A(1,0)为终点的直线段，参数0方程是 z=x,x是由2变到1,所以J -dz = J】dz + J -dz，则 Jc0c z c z BA z0 11d
10、z = Jdz = 2 兀 if (0) = 2 兀 iz c z - 001=-In 22由于J Idz JU = ln xBA z 2 x所以 -dz = J dz-Jdz = 2兀i-(-ln2) = 2兀i + ln2c zc0 zBA z方法 6：利用积分换元公式 关于复积分的变量替换，与定积分的变量替换类似，要求变换是一对一的且可微。设w = f (z)在区域D内单叶解析，c是D内一条简单光滑曲线：z = z(t),a t W卩,那么(1) 在变换w = f (z)之下，c的像t也是W平面上一条简单光滑曲线；(2) 若函数申(w)沿t连续，则有积分换元公式J 申(w)dw = J
11、申(f (z)f(z)dztt例 10 计算积分 J，c: z = 2ei), 0 0k .c z4 + 6z2 +1解：令w = f (z) = z2，它在上半平面单叶解析，把半圆c变成圆t :w=4ei2000 兀由换元公式得I = Jcdww2 + 6w +1dw =1w2 + 6w +1 w - (-3 + 2 迈川 w - (-3 - 2、在围线t内仅有一个一阶极点w = -3 + 2迈，Re sw=-3+21 = 1 w = -3 + 2 巨=4 迈由留数定理：2 兀 i -1=42注：对非单叶的变换，使用换元公式要特别小心，这时简单曲线c的像t不再是 简单曲线，但可把它分为几段简
12、单曲线之和，即化为局部单叶变换的情形来处理。例 11 计算积分 J = J 2zdz，c: |z| = 2.c z 4 + 6 z 2 + 1解：令w = z2，则c: z = 2ei0 , 00 2兀的像曲线为双重圆 t : w = 4ei2O ,00 2兀把T分解为两个单圆：t =t +t , T : w = 4ed , 0 2兀，1 2 1t : w = 4ed,2k 0 4兀；2它们分别对应于原像c之两段：c : z = 2ei0,0 0 k,c : z = 2ei0,0 0 2k,分段利12用积分换元公式得j2 zdzc z 4 + 6 z 2 +1c12 zdzz 4 + 6 z
13、2 +12 zdzz 4 + 6 z 2 +1=j dw * j dwT w2 + 6w + 1 t w2 + 6w + 1 12w2 + 6w +1w =42I方法 7：积分估值法 积分估值：若沿曲线c,函数f (z)连续，且有正数M使f (z)| M，L为c长，则 j f (z )dz MLc例12设f (z)在复平面上解析，且有界，求极限lim j 竺 dz，a,b为R -a于是，常数(a丰b)，由此证明刘维尔定理.解：Va,b,且(a丰b),则对于充分大的R，总可以使a,b位于圆|z| R-|b|，因 f (z)|M，固有f ( z)jdz z = R (z a)(z b)j z L
14、R|z -朮-b-(R - a)(R-I bl)2k R1)f ( z)另一方面jdz =L = r (z - a)(z - b)占 j眾-竺dz = f (b) - f (a)b - a z = R z - b z - a b - a2)f ( z)所以 lim jdz = 0Ra =R (z - a)(z - b)综合(1)和得f (a) = f (b)，特别取a = 0有f (b) = f (0)，由b的任意性, 知f (z)在z平面上必为常数。以上计算方法在复积分计算中是经常使用的方法，比较简单普遍，在复积分计算 时很容易想到。下面介绍一些不常用的，且带有一定技巧性的方法。方法 8：级数法 连续性逐项积分定理：设f (z)在曲线c上连续(1,2,3,), f (z)在c上一致nnn=1收敛于 f (z) ， 则 f (z) 在曲 线 c 上连续， 并且沿 c 可逐项积分：nncn =1f ( z ) dz =nJ f (z)dz，将函数展成泰勒级数或洛朗级数就解决了该
