《12.第十二讲：等差数列的概念、通项及前n项和》由会员分享，可在线阅读，更多相关《12.第十二讲：等差数列的概念、通项及前n项和（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十二讲 等差数列的概念、通项及前项和一、引言等差数列是一类重要的数列,考试大纲对等差数列提出的考试要求是:理解等差数列的概念，掌握通项公式（包括通项的一般公式）等差中项与前项和的公式，能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应问题从历年的高考情况看,围绕等差数列内容考查的试题,选择题、填空题、解答题三种题型都有所涉及，重点考查等差数列的定义、通项公式及前项和的公式及其应用二、主要考点梳理.等差数列定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做公差2.等差中项如果成等差数列，那么叫做与的等差中项,且,或在一个等差数列
2、中,任意相邻的三项，中间一项一定是两头两项的等差中项.即,或。3等差数列的通项公式在等差数列中，。通项公式的一般形式为4等差数列的前项和公式若为等差数列，则前项和，或三、典型问题选讲例1 （207海南、宁夏）已知是等差数列,，其前0项和，则其公差( )A。BC。D.解：由题意,得解得.归纳小结:此题考查了等差数列及其公差的概念，考查了通项公式、前项和的公式及其应用.求值问题一般说来是方程问题，怎样列出关于公差的方程,是解决问题的关键例 若等差数列、的前项和分别为和，且，则等于（ ）.A . C. D.分析：欲求的值，联想等差数列的简单性质,易得，由此可以把化成，然后再求解解：，,因此选归纳小结
3、:此题主要考查了等差数列的前项和的公式以及等差数列的简单性质.一般地，在等差数列中，若（），则特别地，若 ,则.若等差数列、的前项和分别为和，则。例3 已知等差数列的前项和为30，前项和为100,则它的前3项和为( ）.30 B。17 C。20 D26分析一：列出关于首项和公差的方程组,解出和，再用前项和的公式求。解法一：设公差为由题意得即(） 解得所以.故选C分析二:利用通项的一般公式来求解.解法二：因为，所以又，故。分析三:利用等差数列的几何特征来求解.解法三:由于是等差数列,故,所以因此，点在直线上，故、三点共线所以，解得.分析四：根据等差数列前项和的公式，结合已知条件逐步配凑出。解法四
4、：设公差为由题意得第二式减去第一式,得两边同乘以3,得,即。分析五:利用等差数列的简单性质来求解解法五：由是等差数列，知,，也是等差数列所以，即,故分析六：利用特殊与一般的思想来求解。解法六：取,则.由题意，得，故.易得。归纳小结:此题主要考查等差数列的前项和。围绕这一问题，我们给出了六种不同的解法。事实上,对同一个数学问题，若能从不同角度激活思维的源泉，多思多想,那么往往能获得多种不同的解法。这不仅对于加强基础知识之间的联系、帮助我们训练基本技能、追求优美解法是十分必要的。而且更重要的是，对于培养我们思维的灵活性、发散性、广阔性和深刻性,进一步提高我们的观察分析能力和探究发现能力，从而使我们
5、更好地吸取习题的营养价值,都有着极其重要的作用。例4 在等差数列中,是它的前项和若公差,且，则.分析:所求的是前00项中下标为奇数的0项的和,则前100项中其余的50项必是下标为偶数的项若将这两个5项的和分别看做两个变量,便可以通过解方程组的办法求出下标为奇数的50项的和解：设，则解得，所以归纳小结:本题主要涉及等差数列的定义、公差、通项以及前项和的概念这类问题的求解，原则上先通过解方程组求出和，再将欲求之式利用通项公式化为和的表达式，并将求出和代入即可获解但这种解法运算量较大这里，我们充分利用定义,通过整体换元，并运用方程思想巧列方程组，收到了出奇制胜的效果。例（008湖北）已知函数，等差数
6、列的公差为若,则 。分析一：利用等差数列的简单性质以及条件式容易求出,结合给定的公差，即可得，从而可得.而从欲求式的真数的结构形式看，真数可以用来表示，因此，可以利用等差数列的简单性质来求解法一:因为,所以,故，由，得,从而所以分析二：由条件式容易求出的值，结合给定的公差，即可得的值，进而求出真数,再求对数即可解法二:因为，故，所以于是,所以归纳小结：此题以等差数列、指数函数为背景，设计的一个对数求值问题求解中容易出错的地方有两处：一是缺乏对等差数列本质以及整体的认识和理解，不能灵活地利用等差数列的性质或通项公式解题，导致运算繁琐而出错；二是因为指数运算和对数运算不过关而使结果出错.由此看出,
7、从整体上把握等差数列的性质和通项公式,熟练掌握指数运算性质及对数运算法则,包括对数恒等式的应用，是解决问题的关键.例6 已知是等差数列，其前项和为，（）求数列的通项公式；（2）设,且，证明分析:对于第（1）问，根据基本量意识,先求出首项和公差，然后再求通项对于第(2）问,先求出前项和为，然后再证明。解：（1）设的公差为d,依题意,得 解得故（2）易得故由于故因此,即归纳小结：本题主要考查利用方程思想求通项的方法以及数列与不等式的交汇问题的求解第(）问不难,只需列出关于首项和公差的方程组,解出和，再代入通项公式即可.在第（2）问的证明中，我们采取变通的办法，把所要证明的不等式变通为证明不等式成立
8、这种化归与转化的思想应当引起我们高度重视例7 在数列中，其中。(1)求证：数列是等差数列；（2）求证:在数列中对于任意的，都有;（）设,试问数列中是否存在三项可以构成等差数列？如果存在,求出这三项；如果不存在，请说明理由分析:对于（)，要证明数列是等差数列,只需利用定义证明任意相邻两项中后项减去前项所得的差是同一个常数即可;对于（）,要证，首要工作是求出，然后再作比较；第（3）问可先假设存在，再利用等差中项的概念进行推证。证明：（1)因为所以，数列是等差数列(2)因为，所以所以由得，所以,所以，所以在数列中对于任意的，都有.解：（3）,设中存在三项成等差数列,则,所以，因为,所以，为偶数,为奇
9、数，所以与不可能相等，所以数列中不存在可以构成等差数列的三项归纳小结:本题涉及了等差数列的定义、等差中项、数列的单调性等概念等差数列的定义是判断数列是否成等差数列的主要工具，等差中项在研究等差数列特别是三项成等差数列的问题中具有十分重要的作用，应当熟练应用本题第()问本质上是数列单调性问题，它与函数的单调性是一致的,因此，作差变形判断符号是求解问题的基本策略。第（3)问是典型的“是否存在性”问题。对于这类问题,通常先假设存在,然后进行推证，若前后一致,则肯定存在，否则不存在显然这类问题的求解，对于逻辑思维能力、推理论证能力都具有较高的要求。例8（20江苏)设是公差不为零的等差数列,为其前项和，
10、满足.（1）求数列的通项公式及前项和;（2）试求所有的正整数,使得为数列中的项分析:对于（),欲求数列的通项公式及前项和，只需求出首项和公差即可，这显然可以利用给定的条件式通过解方程组而得到。对于(），由于的特征不易观察,因此拟先化简再分析解:（1）设公差为,由，得,整理，得 又，得，即 由，解得所以，(2)因为是数列中的项,故为整数，从而必是8的约数又由（）知，为奇数，所以，解得。当时，此时不是数列中的项；当时，此时是数列中的项所以符合题意的正整数是。归纳小结：本题涉及了等差数列的通项公式、前项和公式及其应用，涉及了方程思想以及分类与整合的思想一般地求等差数列的通项及前项和，关键是求出首项和
11、公差这两个基本量事实上，只要首项和公差一经确定，通项及前项和便随之确定，这是基本量价值的根本所在要判断某一元素是否是数列中的项,若此元素为已知,则可以将此元素直接代入通项公式验证即可；若此元素为未知，则应认真分析此元素的特征若此元素特征与通项形式一致，则是数列中的项,否则不是数列中的项本题中数列的特征一是整数，二是奇数这正是问题(2）的求解依据。四、本专题总结在本专题中，我们着重介绍了等差数列的定义、通项公式、前项和的公式以及简单性质的应用.通过具体问题的求解,使我们清楚地看到基本量的价值以及数学思想的重要作用一般地,对于一个等差数列，如果首项和公差这两个基本量确定了，那么这个等差数列就随之确定要判断一个数列是否成等差数列,通常利用定义考查当时(常数)是否成立，若成立，则是等差数列，否则不是等差数列在等差数列的通项公式、前项和的公式中共涉及五个量，如果已知其中的三个量，便可以通过解方程组的办法求出其他的两个量，即“知三求二”。此外，等差数列也常常和不等式综合考查，这类问题往往有一定的难度，求解时需要灵活应用相关知识，善于提炼问题本身所蕴涵着的数学思想因此，高三数学复习中，我们应当认真关注上述几个方面，只有这样，才能逐步提高求解相关问题的能力.文中如有不足，请您指教！ /
