高等几何试题(1)

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1、高等几何试题(1)1. 试确定仿射变换，使y轴，x轴的象分别为直线x + y +1 = 0 , x - y -1 = 0,且点(1, 1) 的象为原点(15)2. 利用仿射变换求椭圆的面积.(10)3. 写出直线2x + 3x -x =0, x轴，y轴，无穷远直线的齐次线坐标.(10)1234. 叙述笛沙格定理， 并用代数法证之. (15)5. 已知 A(1，2，3)， B(5，-1，2)， C (11，0，7)， D(6，1，5)， 验证它们共线， 并求( AB,CD )的 值.(8)6. 设P (1,1,1), P (1,-1,1), P (1,0,1)为共线三点,且(PP ,PP )=2

2、,求P 的坐标.(12)1241 23 437. 叙述并证明帕普斯(Pappus)定理.(10)8. 一维射 影对应使 直 线 l 上三 点 P (-1), Q (0), R (1) 顺次 对应直 线 l 上三 点P (0), Q (1), R (3)，求这个对应的代数表达式.(10)9. 试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.(10)高等几何试题(2)1. 求仿射变换x = 7x - y +1, y = 4x + 2y + 4的不变点和不变直线.(15)2. 叙述笛沙格定理，并用代数法证之.(15)3求证 a (1,2,-1) , b (-1,1,2), c (3,0,-5)共线，并求

3、l 的值，使c = la + mb (i = 1,2,3). (10)iii4.已知直线l , l , l的方程分别为2x + x 一 x = 0 , x 一 x + x = 0 ,1241231232x = 0,且(ll ,l l )=，求l 的方程.(15)11 23 4325试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系.(10)6. 试证两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底的交点自对应.(10)17. 求两对对应元素，其参数为1 T 2,0 T 2,所确定对合的参数方程.(10)&两个重叠一维基本形A +九B, A + B成为对合的充要条件是对应点的参数九与九满足以下方程：aM + b(

4、九+ 九)+ d 二 0(ad - b2 丰 0) (15)高等几何试题(3)1. 求仿射变换x = 7x y +1, y = 4x + 2y + 4的不变点和不变直线.(15 )2. 求椭圆的面积.(10 )3. 写出直线2x + 3x -x3=0, x轴，y轴，无穷远直线的齐次线坐123标.( 10 )4. 叙述笛沙格定理， 并用代数法证之.(15 )5. 已知直线l , l , l的方程分别为2x + x 一 x二0 , x 一 x + x二0 ,1 2 41231232x 二 0,且(l l , II )二一；，求 l 的方程.(15 )112 3 4326. 在一维射影变换中，若有一

5、对对应元素符合对合条件，则这个射影变换一定是对合. (15 )7. 试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系， 试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. (20 )20052006 第二学期期末考试试题高等几何试题(A)一、填空题(每题3 分共 15 分)1、 是仿射不变量，是射影不变量2、直线3x + y = 0上的无穷远点坐标为3、过点(1,i,0)的实直线方程为4、二重元素参数为2与3的对合方程为5、二次曲线6x2 y2 +11 y 24二0过点P(1,2)的切线方禾二、判断题(每题2分共10分)1、两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形()2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变()3、一个

6、角的内外角平分线调和分离角的两边()4、欧氏几何是射影几何的子几何，所以对应内容是射影几何对应内容的子集 ()5、共线点的极线必共点，共点线的极点必共线()三、(7分)求一仿射变换，它使直线x + 2y -1 = 0上的每个点都不变，且使点(1,-1) 变为(-1， 2)四、（8 分）求证:点 A（l,2,1）,B（1,1,2）,C（3,0,5）三点共线，并求t,s使 c = ta + sb ,（i = 1,2,3）iii3x + 2五、（10分）设一直线上的点的射影变换是x/ = 一-证明变换有两个自对应点，且这两自x + 4对应点与任一对对应点的交比为常数。六、（10分）求证：两直线所成角

7、度是相似群的不变量。七、（ 10 分）（1）求点（5，1，7）关于二阶曲线2x2 + 3x 2 + x 2 6xx 2xx 4x x 二 0 的极线1231 21 32 3（2）已知二阶曲线外一点P求作其极线。（写出作法，并画图）八、（10分）叙述并证明德萨格定理的逆定理九、（10分）求通过两直线a1,3,1力1,5,1交点且属于二级曲线4u 2 + u 2 2 u 2 = 0勺直线123十、（10分）已知a,B, P,Q,R是共线不同点，如果（PA, QB）二1,（QR, AB） = 1,求（PR, AB）高等几何试题（B）、 填空题（每题3分共15分）x / = 7 x y +11、 仿射

8、变换彳 宀，的不变点为y / = 4 x + 2 y + 42、两点决定一条直线的对偶命题为3、直线i ,2,1-i上的实点为4、若交比（AB, CD） = 2 贝y （AD, BC） =5、二次曲线中的配极原则二、判断题（每题2分共10分）1、不变直线上的点都是不变点（）2、在一复直线上有唯一一个实点（）3、两点列的底只要相交构成的射影对应就是透视对应（）4、射影群二仿射群二正交群（）5、二阶曲线上任一点向曲线上四定点作直线，四直线的交比为常数（）三、（7 分）经过A（3,2）和B（6,1）的直线AB与直线x + 3y 6 = 0相交于P，求（ABP）四、（8分）试证：欧氏平面上的所有平移变

9、换的集合构成一个变换群五、（10分）已知直线L , L , L , L的方程分另ij为：2x y +1 = 0,3 x + y 2 = 0,7 x y = 0,5 x 1 = 0求证四直线共点，并求（LL ,LL ）1 23 4六、（10 分）利用德萨格定理证明：任意四边形各对对边中点的连线与二对角线中点的连线相交于 一点七、（10分）求（1）二阶曲线x2 2x 2 + 3x 2 xx二0过点P（2, ,1）的切线方程1231 32（2）二级曲线u 2 + u 2 17u 2二0在直线Ll, 4，1上的切点方程123八、（10分）叙述并证明德萨格定理定理（可用代数法）九、（10 分）已知二阶曲

10、线（C）： 2x2 + 4xx + 6xx + x 2 二 011 21 33（1）求点P（1,2,1）关于曲线的极线（2） 求直线3x x + 6x二0关于曲线的极点123十、（ 10 分）试证：圆上任一点与圆内接正方形各顶点连线构成一个调和线束高等几何试题（C）、填空题（每题3 分共 15 分）I x / = 2 x + y 16、 直线x + y 2 = 0在仿射变换c下的像直线y/ = x y + 37、X 轴Y轴上的无穷远点坐标分别为 8、过点（1,-i ,2）的实直线方程为9、射影变换九九-2九-3 = 0自对应元素的参数为10、二级曲线u 2 + u 2 17u 2二0在直线上1

11、,4,1的切点方程123三、判断题（每题2 分共 10 分）1 、仿射变换保持平行性不变（）2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变（）3、线段中点与无穷远点调和分离两端点（）4、如果P点的极线过Q点，则Q点的极线也过P点（）5、不共线五点可以确定一条二阶曲线（） 三、（7分）已知OX轴上的射影变换x = 土1，求坐标原点，无穷远点的对应点x + 3四、（8分）已知直线a,c,d的方程分别为2x + x -x二0,x -x + x二0, x二0且1 2 3 1 2 3 1（ab,cd） = -3求直线b的方程。五、（10分）已知同一直线上的三点A,B,C求一射影变换使此三点顺次变为B,C,A并

12、判断 变换的类型，六、（10分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。p x = x + x1 1 2七、（10分）求射影变换S Px 二x 的不变点坐标22p x = x33八、（10分）叙述并证明帕斯卡定理九、（10分）求通过两直线a1,3,1,b1,5,-1交点且属于二级曲线4u 2 + u 2 - 2 u 2 = C的直线123十、（10分）试证:双曲型对合的任何一对对应元素P T P,与其两个二重元素E,F调和共轭即(PP, EF )=-1咼等几何标准答案（A）填空题：（每空3分共15分）1、单比，交比2、（1,-3,0）3、x = 04、2九九一5(九 + 九)+12 = 035、

13、12x + 7 x 一 26x = 0123判断题（每题2分共10分）1 、错，2、错，3、对，4、错，5、三、解：在直线 x+2y-1 = 0 上任取两点 A（1,0）,B（-1,1）2分由 A(1,0)T A(1,0),B(-1,1)T B(-1,1),(1,-1)T (-1,2)I x = a x + a y + a设仿射变换为S111213将点的坐标代入可解得I y = a x + a y + a212223x = 2 x + 2 y -133y =-x-2y + 2 27分12-1四、证明：因为-112=0所以三点共线30-54分由：t s = 3,21 + s = 0, t + 2

14、s = 5 解得 t = 1,s = 2c = a - 2b ,( i = 1,2,3)i i 13x + 2五、证明：令 x = x由x =得x2 + x 一 2 = 0 解得 x = 1, x =x+4所以8分即有两个 自对应点设k与k =对应，有(1)(-2), kk )=为常数k +422注：结果有5也对，不过顺序有别。24分10 分六、证明：设两直线为： a:y =k1x+b1,b:y =k2x+b2I x = a x + by + c相似变换为：1,I y = -bx + ay + dk a +b将变换代入直线a的方程得：k = t同理可得k 1 a-k b21k a +bC2a -