《《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学设计》由会员分享,可在线阅读,更多相关《《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学设计(18页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学设计一、教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上,进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中,教科书都把对照、比较有关的三角函数式,认清其区别,寻找其联系和联系的途径作为思维的起点,如比较cos(-)与 cos(+),它们都是角的余弦只是角形式不同,但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系,即+=-(-)的关系,从而由公式 C 推得公式 C ,(-) (+)又如比较 sin(-)与 cos(-),它们包含的角相同但函数名称不同,这就要求进行函数名的互化,利用诱导公式(5)(6)即可推
2、得公式 S、S 等. (-) (+)2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导,揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律,还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容,对培养学生的探索精神和创新能 力,发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.3.本节的几个公式是相互联系的,其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系,让学生深刻领会它们的这种联系,从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性,逐步培养他们良好的思维习惯,教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导,例如在面对问题时,
3、要注意先认真分析条件,明确要求,再思考应该联系什么公式,使用公式时要具备什么条件等.另外,还要重视思维过程的表述,不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等,这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的. 二、三维目标1.知识与技能:在学习两角差的余弦公式的基础上,通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对公 式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.2.过程与方法:通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用,会进行简单的求值、化简、恒等证明,使学生深刻体会联系变化的观点,自觉地利用联系变化的
4、观点来分析问题,提高 学生分析问题解决问题的能力.3.情感态度与价值观:通过本节学习,使学生掌握寻找数学规律的方法,提高学生的观察分 析能力,培养学生的应用意识,提高学生的数学素质.三、教学重、难点教学重点:两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点:灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.四、教学用具三角板,彩色粉笔,幻灯片五、教学方法教法:引导探究,归纳总结学法:合作讨论,自主学习六、教学过程1导入新课(问题导入)教师出示问题,先让学生计算以下几个题目,既可以复习回顾上节所学公式,又为本节新课作准备 .若 sin= ,(0, ) ,cos= ,(0, ),求 cos(-),cos(+
5、)的值.学生利用公式 C 很容易求得 cos(-),但是如果求 cos(- )+)的值就得想法转化为公式 C 的形式来求,此时思路受阻,从而引出新课题,并由(-)此展开联想探究其他公式.2推进新课提出问题还记得两角差的余弦公式吗?请一位同学到黑板上默写出来.在公式 C (-)中,角是任意角,请学生思考角-中换成角-是否可以?此时观察角+与-(-)之间的联系,如何利用公式 C来推导 cos(+)=? (-)分析观察 C的结构有何特征? (+)在公式 C 、C 的基础上能否推导 sin(+)=?sin(-)=? (-) (+)公式 S、S (-) (+)的结构特征如何?对比分析公式 C、C 、S
6、、S ,能否推导出 tan(-)=? tan(+)=? (-) (+) (-) (+)分析观察公式 T、T 的结构特征如何? (-) (+)思考如何灵活运用公式解题?活动:对问题,学生默写完后,教师播放幻灯片,然后引导学生观察两角差的余弦公式,点拨学生思考公式中的,既然可以是任意角,是怎样任意的?你会有些什么样的奇妙想法呢?鼓励学生大胆猜想,引导学生比较 cos(-)与 cos(+)中角的内在联系,学生有的会发现-中的角可以变为角-,所以-(-)=+也有的会根据加减运算关系直接把和角+化成差角-(-)的形式.这时教师适时引导学生转移到公式 C 上(-)来,这样就很自然地得到cos(+)=cos
7、-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=coscos-sinsin. 所以有如下公式:cos( + )=cos cos -sinsin我们称以上等式为两角和的余弦公式,记作 C(+).对问题,教师引导学生细心观察公式 C(+)的结构特征,可知“两角和的余弦,等于这两角的余弦积减去这两角的正弦积”,同时让学生对比公式 C 进行记忆,并填空:cos75(-)=cos(_)=_=_.对问题,上面学生推得了两角和与差的余弦公式,教师引导学生观察思考,怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢?我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢?学生可能有的想到利用诱导公式来化余弦为正弦 (也有的会想到利用同角的
8、平方和关系式 sin2 +cos2 =1 来互化,此法让学生课下进行),因此有sin(+)=cos -(+)=cos( -)-=cos( -)cos+sin( -)sin=sincos+cossin.在上述公式中,用-代之,则sin(-)=sin+(-)=sincos(-)+cossin(-)=sincos-cossin.因此我们得到两角和与差的正弦公式,分别简记为 S 、S(+) (-).sin( + )=sin cos +cos sin,sin( - )=sin cos -cossin.对问题,教师引导学生观察公式的结构特征并结合推导过程进行记忆,同时进一步体会本节公式的探究过程及公式变化
9、特点,体验三角公式的这种简洁美、对称美.为强化记忆,教师可让学生填空,如 sin(+)=_,sin =_.对问题,教师引导学生思考,在我们推出了公式 C 、C 、S 、S(-) (+) (+) (- )后,自然想到两角和与差的正切公式,怎么样来推导出 tan(-)=?,tan(+)=?呢?学生很容易想到利用同角三角函数关系式,化弦为切得到.在学生探究推导时很可能想不到讨论,这时教 师不要直接提醒,让学生自己悟出来.当 cos(+)0 时,tan(+)=如果 coscos0,即 cos0 且 cos0 时,分子、分母同除以 coscos得tan(+)=则有tan(-)=,据角、的任意性,在上面的
10、式子中,用 -代之,由此推得两角和、差的正切公式,简记为 T、T (-) (+).tan(+)=tan(-)=对问题,让学生自己联想思考,两角和与差的正切公式中、的取值是任意的吗?学生回顾自己的公式探究过程可知,、都不能等于 导学生分析公式结构特征,加深公式记忆.+k(kZ),并引对问题,教师与学生一起归类总结,我们把前面六个公式分类比较可得 C、S (+) (+)、T(+)叫和角公式;S、C 、T 叫差角公式.并由学生归纳总结以上六个公式的推导 (-) (-) (-)()过程,从而得出以下逻辑联系图.可让学生自己画出这六个框图.通过逻辑联系图,深刻理解它们之间的内在联系,借以理解并灵活运用这
11、些公式.同时教师应提醒学生注意:不仅要掌握这些公式的正用,还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式tan+tan=tan(+)(1-tantan),tan-tan=tan(-)(1+tantan),在化简求值中就经常应用到,使解题过程大大简化,也体现了数学的简洁美.对于两角和与差的正切公式,当 tan,tan或 tan()的值不存在时,不能使用 T 处理某些有关问题,但可改用诱导公式或其他方法,例如:化简 tan( -),因为 tan的值不存在,所以改用诱导公式 tan(-)=来处理等.应用示例例 1 已知 sin= ,是第四象限角,求 sin( -),cos( +),tan
12、( -)的值.活动:教师引导学生分析题目中角的关系,在面对问题时要注意认真分析条件,明确要求.再思考应该联系什么公式,使用公式时要有什么准备,准备工作怎么进行等.例如本题中,要先求出 cos,tan的值,才能利用公式得解,本题是直接应用公式解题,目的是 为了让学生初步熟悉公式的应用,教师可以完全让学生自己独立完成.解:由 sin= ,是第四象限角,得 cos= .tan= = .于是有 sin( -)=sin cos-cos sin=cos( +)=cos cos-sin sin=tan(- )= = = .点评:本例是运用和差角公式的基础题,安排这个例题的目的是为了训练学生思维 的有序性,逐步培养他们良好的思维习惯.变式训练 11.不查表求 cos75,tan105的值.解:cos75=cos(45+30)=cos45cos30-sin45sin30= ,tan105=tan(60+45)= =-(2+ ).2.设(0, ),若 sin= ,则 2sin(+ )等于( )A. B. C.D.4答案:A例 2已知 sin=,( ,),cos= ,(, ),求 sin(-),cos(+),tan(+)活动:教师可先让学生自己探究解决,对探究困难的学生教师给以适当的点拨,指导学生认真分析题目中已知条件和所求值