椭圆练习题1 A组 基本过关一、选择题(每题5分，共25分)1．(·厦门模拟)已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率等于 ( )． A. B. C. D.解析 由题意得2a＝2b⇒a＝b，又a2＝b2＋c2⇒b＝c⇒a＝c⇒e＝.答案 B2．(·长沙调研)中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点正好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )． A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1解析 依题意知：2a＝18，∴a＝9,2c＝×2a，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝81－9＝72，∴椭圆方程为＋＝1.答案 A3．(·长春模拟)椭圆x2＋4y2＝1的离心率为( )． A. B. C. D.解析 先将x2＋4y2＝1化为原则方程＋＝1，则a＝1，b＝，c＝＝.离心率e＝＝.答案 A4．(·佛山月考)设F1、F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF1⊥PF2，则点P的横坐标为( )． A．1 B. C．2 D.解析 由题意知，点P即为圆x2＋y2＝3与椭圆＋y2＝1在第一象限的交点，解方程组得点P的横坐标为.答案 D5．(·惠州模拟)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为( )． A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1解析 依题意设椭圆G的方程为＋＝1(a＞b＞0)，∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12， ∴2a＝12，∴a＝6，∵椭圆的离心率为. ∴＝，∴＝.解得b2＝9，∴椭圆G的方程为：＋＝1.答案 C二、填空题(每题4分，共12分)6．若椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一种焦点F2的距离是________．解析 由椭圆的定义可知，|PF1|＋|PF2|＝2a，因此点P到其另一种焦点F2的距离为|PF2|＝2a－|PF1|＝10－6＝4.答案 47．(·皖南八校联考)已知F1、F2是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满足|PF1|＝2|PF2|，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为________．解析 在三角形PF1F2中，由正弦定理得sin∠PF2F1＝1，即∠PF2F1＝，设|PF2|＝1，则|PF1|＝2，|F2F1|＝，∴离心率e＝＝.答案 8．(·江西)若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB正好通过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．解析 由题可设斜率存在的切线的方程为y－＝k(x－1)(k为切线的斜率)，即2kx－2y－2k＋1＝0，由＝1，解得k＝－，因此圆x2＋y2＝1的一条切线方程为3x＋4y－5＝0，求得切点A，易知另一切点B(1,0)，则直线AB的方程为y＝－2x＋2.令y＝0得右焦点为(1,0)，令x＝0得上顶点为(0,2)．∴a2＝b2＋c2＝5，故得所求椭圆方程为＋＝1.答案 ＋＝1三、解答题(共23分)9．(11分)已知点P(3,4)是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的一点，F1，F2是椭圆的两焦点，若PF1⊥PF2.试求：(1)椭圆的方程；(2)△PF1F2的面积．解 (1)∵P点在椭圆上， ∴＋＝1.①又PF1⊥PF2，∴·＝－1，得：c2＝25，②又a2＝b2＋c2，③由①②③得a2＝45，b2＝20.椭圆方程为＋＝1.(2)S△PF1F2＝|F1F2|×4＝5×4＝20.10．(12分)(·陕西)如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．解 (1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，由已知得∵P在圆上，∴x2＋2＝25，即C的方程为＋＝1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得 ＋＝1，即x2－3x－8＝0.∴x1＝，x2＝.∴线段AB的长度为|AB|＝＝＝ ＝.B级 提高题一、选择题(每题5分，共10分)1．(·丽水模拟)若P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的一点，且·＝0，tan∠PF1F2＝，则此椭圆的离心率为( )． A. B. C. D.解析 在Rt△PF1F2中，设|PF2|＝1，则|PF2|＝2.|F1F2|＝，∴e＝＝.答案 A2．(·汕头一模)已知椭圆＋＝1上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有( )． A．3个 B．4个 C．6个 D．8个解析 当∠PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理当∠PF2F1为直角时，这样的点P有2个；当P点为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P有2个．故符合规定的点P有6个．答案 C二、填空题(每题4分，共8分)3．(·镇江调研)已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范畴是________．解析 设P(x，y)，则·＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2①将y2＝b2－x2代入①式解得x2＝，又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，∴e＝∈.答案 4．(·浙江)设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若＝5，则点A的坐标是________．解析 根据题意设A点坐标为(m，n)，B点坐标为(c，d)．F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为(－，0)、(，0)，可得＝(m＋，n)，＝(c－，d)，∵＝5，∴c＝，d＝.∵点A、B都在椭圆上，∴＋n2＝1，＋2＝1.解得m＝0，n＝±1，故点A坐标为(0，±1)．答案 (0，±1)三、解答题(共22分)5．(10分)(·大连模拟)设A，B分别为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左，右顶点，为椭圆上一点，椭圆长半轴的长等于焦距．(1)求椭圆的方程；(2)设P(4，x)(x≠0)，若直线AP，BP分别与椭圆相交异于A，B的点M，N，求证：∠MBN为钝角．(1)解 (1)依题意，得a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2，设椭圆方程为＋＝1，将代入，得c2＝1，故椭圆方程为＋＝1.(2)证明 由(1)，知A(－2,0)，B(2,0)，设M(x0，y0)，则－2＜x0＜2，y＝(4－x)，由P，A，M三点共线，得x＝，＝(x0－2，y0)，＝，·＝2x0－4＋＝(2－x0)＞0，即∠MBP为锐角，则∠MBN为钝角．6．(★)(12分)(·西安五校一模)已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且通过点M.(1)求椭圆C的方程；(2)与否存在过点P(2,1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足·＝2？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请阐明理由．解 (1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，由题意得解得a2＝4，b2＝3.故椭圆C的方程为＋＝1.(2)假设存在直线l1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y＝k1(x－2)＋1，代入椭圆C的方程得，(3＋4k)x2－8k1(2k1－1)x＋16k－16k1－8＝0.由于直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，因此Δ＝[－8k1(2k1－1)]2－4(3＋4k)(16k－16k1－8)＝32(6k1＋3)＞0，因此k1＞－.又x1＋x2＝，x1x2＝，由于·＝2，即(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝，因此(x1－2)·(x2－2)(1＋k)＝|PM|2＝.即[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k)＝.因此(1＋k)＝＝，解得k1＝±.由于k1＞－，因此k1＝.于是存在直线l1满足条件，其方程为y＝x.【点评】 解决解析几何中的摸索性问题的一般环节为：,第一步：假设结论成立.,第二步：以存在为条件，进行推理求解.,第三步：明确规范结论，若能推出合理成果，经验证成立即可肯定对的.若推出矛盾，即否认假设.,第四步：回忆检查本题若忽视Δ＞0这一隐含条件，成果会导致两解. 椭圆练习题2一、填空题1．椭圆的焦距为______________。
2．如果方程表达焦点在轴的椭圆，则的取值范畴是_____________3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是_______4．椭圆的焦距是2，则的值是______________5．若椭圆长轴的长等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为______________6．是椭圆上的一点，和是焦点，若∠F1PF2=30°，则△F1PF2的面积等于______________7．已知是椭圆上的一点，若到椭圆右准线的距离是，则点到左焦点的距离是______________8．椭圆的点到左准线的距离为5，则它到右焦点的距离为______________9．椭圆的中心到准线的距离是______________10．中心在原点，准线方程为x =±4，离心率为的椭圆方程是______________11．点P在椭圆上，则点P到直线的距离的最大值是___________12．直线被椭圆所截得的弦的中点坐标是_____________13．若椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是______________14．已知椭圆内有一点，是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点，使之值为最小的的坐标是______________。
二、解答题15．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，短轴长为，求椭圆的方程16．已知A、B为椭圆+=1上两点，F2为椭圆的右焦点，若=，AB中点到椭圆左准线的距离为，求该椭圆方程17．一条变动的直线与椭圆+=1交于、两点，是上的动点，满足关系．若直线在变动过程中始终保持其斜率等于1．求动点的轨迹方程，并阐明曲线的形状 椭圆2参照答案一、填空题1．2 2． 3． 4．5 5． 6．7． 8． 6 9．3 10． 11． 12． 13． 14．二、解答题15．由 ，∴椭圆的方程为：或.16．设， ，由焦半径公式有，∴即AB中点横坐标为，又左准线方程为，∴，。