《高斯定理在电磁学中得应用》毕业论文 - 高斯定理在电磁学中的应用 第 1 页 ，共 20 页 目 录 1 高斯定理的表述 1.1数学上的高斯公式 1.2静电场的高斯定理 1.3磁场的高斯定理 2高斯定理的证明方法 2.1.1静电场的高斯定理 2.1.2磁场的高斯定理 2.2高斯定理的直接证明 2.3高斯定理的另一种证明 2.4对称性原理及其在电磁学中的应用 3理解和使用高斯定理应注意的假设干问题的讨论与总结 (a) 定理中的 E是指空间某处的总电场强度 (b) 注意?E?dS?s?qint?中 E和 dS的矢量性 0(c) 正确理解定理中的?q int(d) 不能只从数学的角度理解?E?dS?s?qint? 0(e) 对高斯面的理解 4 高斯定理的应用? 4.1利用高斯定理求解无电介质时电场的强度 4.2利用高斯定理求解有电介质时电场的强度 5将高斯定理推广到万有引力场中 5.1静电场和万有引力场中有关量的类比 5.2万有引力场中的引力场强度矢量 5.3万有引力场中的高斯定理 6完毕语 【参考文献】：^p 高斯定理在电磁学中的应用 第 2 页 ，共 20 页 高斯定理在电磁学中的应用 杨梅〔安庆师范学院物理与电气工程学院 安徽 安庆 246011〕 指导老师：黄国栋 【摘要】：^p ：高斯定理是电磁学的一条重要定理，它不仅在静电场中有重要的应用，而且也是麦克斯韦电磁场理论中的一个重要方程。
本文比拟详细的介绍了高斯定理，并提供了数学法、直接证明法等方法证明它，总结出应用高斯定理应注意的几个问题，从中可以发现高斯定理在解决电磁学相关问题时的方便之处最后把高斯定理推广到万有引力场中去 【关键词】：^p ：高斯定理，应用，万有引力场 引言 高斯定理又叫散度定理，高斯定理在物理学研究方面，应用非常广泛，应用高斯定理求曲面积分、静电场、非静电场或磁场非常方便，特别是求电场强度或者磁感应强度虽然有时候应用高斯定理求解电磁学问题很方便，但是它也存在一些局限性，所以要更好的运用高斯定理解决电磁学问题，我们首先应对高斯定理有一定的理解 1 高斯定理的表述 1.1数学上的高斯公式 设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S所围成，假设函数P,Q,R在V上连续，且有一阶连续函数偏导数，那么 -P?Q?R-?Pdydz?Qdzdx?Rdxdy 1－1 -dxdydz----x?y?z?V?S[1]其中S的方向为外发向1－1式称为高斯公式 1.2静电场的高斯定理 一半径为r的球面S包围一位于球心的点电荷q，在这个球面上，场强E的方向处处垂直于球面，且E的大小相等,都是E--?q4-0r2。
通过这个球面S的电通量为?e-?E?dS-?ssq4-or?dS?2q4-or2-dS?sq4-or2?4?r?2q?o 其中-?S2dS是球面积分，等于4?r从此例中可以看出，通过球面S的电通量只与其中的电量q 高斯定理在电磁学中的应用 第 3 页 ，共 20 页 有关，与高斯面的半径r无关假设将球面S变为任意闭合曲面，由电场线的连续性可知，通过该闭合曲面的电通量认为q?0 -假设闭合曲面S内是负电荷?q，那么E的方向处处与面元dS取相反，可计算穿过S面的电通量为?q/?0假设电荷?q在闭合曲面S之外，它的电场线就会穿入又穿出S面，通过S面的电通量为零 假如闭合面S内有假设干个电荷q1,q2,q3……qn，由场强叠加原理可知，通过S面的电通量为[2]?e-?E?dS--Ei?dS--Ei?dS?ssi?1i?1s-n-n-1?o?qi?1ni 此式说明，在真空中的静电场内，通过任意一闭合曲面的电通量，等于包围在该面内的所有电荷的代数和的?0分之一，这就是真空中的高斯定理通常把闭合曲面S称为高斯面，对于连续分 的电荷，电荷体密度为?，那么上式可以表述为?e-?E?dS?s-1?o-dV V1.3磁场的高斯定理由于磁力线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内部出来，否那么这条磁力线就不会闭合了。
假如对于一个闭合曲面，定义向外为正法线的指向，那么进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那么就可以得到通过一个闭合曲面的总磁通量为零这个规律类似于电场中的高斯定理，因此也称为高斯定理用式子表示： -B?dS?0 s-与静电场中的高斯定理相比拟，两者有着本质上的区别在静电场中，由于自然界中存在着独立的电荷，所以电场线有起点和终点，只要闭合面内有净余的正或者负电荷，穿过闭合面的电通量就不等于零，即静电场是有场；而在磁场中，由于自然界中没有单独的磁极存在，N极和S极是不能别离的，磁感线都是无头无尾的闭合线，所以通过任何闭合面的磁通量必等于零，即磁场是无场[2] 2 高斯定理的证明 2.1高斯定理的数学证明2.1.1静电场的高斯定理 静电场中高斯定理的证明主要分以下四种情况： q-r球面的电通量为(a)点电荷在球面中心，点电荷q的电场强度为E?4-or3?1q-1E?dS-r?dS--?4-or34-or2ss-1-dS?s14-or2?4-r?2q?o 2－1 (b)点电荷在任意闭曲面外，闭曲面S的通量为 高斯定理在电磁学中的应用 第 4 页 ，共 20 页 q-qE?dS-r?dS--?4-or34-oss-11(xdydz?ydxdz?zdxdy)-3rs 2－2 ? 根据高斯公式 111xdydz?ydxdz?zdxdy3334-o-rrrsq-P?Q?R--Pdydz?Qdzdx?Rdxdy? 2－3 -dxdydz---?S?x?y?z?V?并考虑到xyz在S内有连续一阶偏导数，故2－2式可2－2式代入2－3式得P?3,Q?3,R?3rrr1q-E?dS--3r?dS-4-orss--1(xdydz?ydxdz?zdxdy)34-o-rs111xdydz?ydxdz?zdxdy3334-o-rrrs--y-3?r-y--z-3?r-z---dxdydz?0-?q q-x-?3q-r-?x4-o-?V- (c)点电荷在任意闭曲面内 在任意闭曲面S内以点电荷q为球心作一辅助球面S1，其法向朝内，根据2－1式可知点电荷q在闭曲面S?S1的电通量为零，即： ---E?dS-?E?dS?0ss1? ---?E?dS--E?dS--E?dS?ss1s2q?o 2－4 其中式2－4中S1和S2大小相等，法向相反。
(d)点电荷系在闭曲面内外 设闭曲面内的点电荷为q,q2,q3……qn；闭曲面外的点电荷为qn?1……；根据上述讨论可得 -E?dS--Essi?1-n?i?dS--Ei?dS?i?1s[3]?n-1?o?qi?1ni 这就是静电场中的高斯定理 高斯定理在电磁学中的应用 第 5 页 ，共 20 页 2.1.2磁场的高斯定理 磁场中高斯定理的证明主要分以下四种情况： ?(a)电流元Idl在球面中心 -由磁通量的定义和毕奥—萨法尔定律dB?得电流元的磁感应强度对球面的磁通量为 --oIdl?ro为了方便，把?简写为?，那么可?dBB4?r2-?oIdl?ro?oIB?dS-?dS--?4?r24?ss-ro?dS-dl2-rs? 因为r//dS，所以o--?B?dS?0 s-(b)电流元Idl在任意闭曲面外 电流元的磁感应强度对闭曲面的磁通量为 -?oIdl?ro?B?dS--?dS2-4?rss---? -?因为r?xi?yj?zk，并设dl?dlk，那么dl?r-ydli?xdlj -?oIdlIdl?r?yxo代入原式得 B?dS-?dS?(dydz?dxdz) 222---4?4?srrrss--根据高斯公式 -P?Q?R--Pdydz?Qdzdx?Rdxdy? -dxdydz---?S?x?y?z?V----oIdlIdl?r?yxo同理可得 B?dS-?dS?(dydz?dxdz)?0 222---4?4?srrrss(c)电流元Idl在任意闭曲面内 以此类推，在闭曲面S内，以电流元为球心作一辅助球面S1，因为 -?B?dS-?B?dS?0ss1-- 所以 -B?dS--B?dS?0 ss1--?(d)电流元Idl在闭曲面上 由上述易知，所有的电流元在闭曲面上的磁通量也为零，即-B?dS?0 s- 第 页 共 页。