指数函数和对数函数高考规定 1理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质2掌握指数函数的概念、图像和性质3理解对数的概念，掌握对数的运算性质；4掌握对数函数的概念、图像和性质可以运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简朴的实际问题知识点1根式的运算性质：①当n为任意正整数时，()=a②当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=⑶根式的基本性质：，（a0）2分数指数幂的运算性质： 3 的图象和性质a>10 0 ,a ¹ 1 ，m > 0 ,m ¹ 1,N>0) 8两个常用的推论:①， ② （ a, b > 0且均不为1）9对数函数的性质：a>100（转化法）(3) af(x)=bg(x)Ûf(x)logma=g(x)logmb(取对数法)(4) logaf(x)=logbg(x)Ûlogaf(x)=logag(x)/logab(换底法)题型解说 例1 计算：（1）；（2）； （3）解：（1）原式 （2）原式 （3）原式 例2 已知，求的值解：∵，∴，∴，∴， ∴，∴， 又∵， ∴例3 已知，且，求的值 解：由得：，即，∴； 同理可得，∴由 得 ，∴，∴，∵，∴例4 设，，且，求的最小值解：令 ，∵，，∴ 由得，∴， ∴，∵，∴，即，∴， ∴， ∵，∴当时，例5 设、、为正数，且满足 （1）求证： （2）若，，求、、的值证明：（1）左边；解：（2）由得，∴……………①由得………… ……………②由①②得……………………………………③由①得，代入得，∵， ∴………………………………④由③、④解得，，从而 例6 （1）若，则，，从小到大依次为 ； （2）若，且，，都是正数，则，，从小到大依次为 ； （3）设，且（，），则与的大小关系是（ ） A B C D解：（1）由得，故 （2）令，则，，，，∴，∴；同理可得：，∴，∴（3）取，知选例8 已知函数，求证：（1）函数在上为增函数；（2）方程没有负数根证明：（1）设，则，∵，∴，，，∴；∵，且，∴，∴，∴，即，∴函数在上为增函数；另法：∵，∴∴函数在上为增函数；（2）假设是方程的负数根，且，则， 即， ①当时,,∴,∴,而由知 ∴①式不成立；当时，，∴，∴，而∴①式不成立综上所述，方程没有负数根例9 已知函数（且）求证：（1）函数的图象在轴的一侧；（2）函数图象上任意两点连线的斜率都不小于证明：（1）由得：，∴当时，，即函数的定义域为，此时函数的图象在轴的右侧；当时，，即函数的定义域为，此时函数的图象在轴的左侧∴函数的图象在轴的一侧；（2）设、是函数图象上任意两点，且，则直线的斜率，，当时，由（1）知，∴，∴，∴，∴，又，∴；当时，由（1）知，∴，∴，∴，∴，又，∴∴函数图象上任意两点连线的斜率都不小于学生练习 １合，若，，则，则运算也许是（ ） (A)加法 (B)减法 (C) 除法 (D)乘法 ２已知集合，，则满足条件的映射的个数是 ( )（A）2 （B）4 （C）5 （D）7３某天清晨，小鹏同窗生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时她的体温基本正常，但是下午她的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了 下面大体能上反映出小鹏这一天（0时—24时）体温的变化状况的图是 ( ) 时0612182437体温(℃) 37体温(℃)时06121824 37时06121824体温(℃) 37时06121824体温(℃)A ) (B) (C) (D)４定义两种运算：，，则函数为（ ）（A）奇函数 （B）偶函数 （C）奇函数且为偶函数 （D）非奇函数且非偶函数５偶函数在上单调递增，则与的大小关系是 ( ) （A） （B） （C） （D）6如图，指出函数①y=ax;②y=bx;③y=cx;④y=dx的图象，则a,b,c,d的大小关系是Aalogy3>0,则下列不等式恒成立的是 ( )A31–y 8已知函数f(x)=lg(ax–bx)(a,b为常数，a>1>b>0),若xÎ (1,+∞)时，f(x)>0恒成立，则( )Aa–b³1 Ba–b>1 Ca–b£1 Da=b+19如图是对数函数y=logax的图象，已知a取值,4/3,3/5,1/10,则相应于①, ②, ③, ④的a值依次是 10已知y=loga(2–ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范畴是 11已知函数，且正数C为常数对于任意的，存在一种，使，则称函数在D上的均值为C 试根据上述定义，写出一种均值为９的函数的例子：_____12设函数f(x)=lg,其中aÎR,如果当xÎ(–∞,1)时，f(x)故意义，求a的取值范畴13 a为什么值时，有关x的方程2lgx–lg(x–1)=lga无解？有一解？有两解？14 绿缘商店每月向工厂按出厂价每瓶3元购进一种饮料根据此前的记录数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每减少005元，则可多销售40瓶请你给该商店设计一种方案：每月的进货量当月销售完，销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？15已知定义域为[0，1]的函数f(x)同步满足：（1）对于任意x∈[0，1]，总有f(x)≥0；（2）f(1)=1（3）若，，，则有（Ⅰ）试求f(0)的值；（Ⅱ）试求函数f(x)的最大值；（Ⅲ）试证明：满足上述条件的函数f(x)对一切实数x，均有f(x)≤2x16 设、为常数，：把平面上任意一点（，）映射为函数（1）证明：不存在两个不同点相应于同一种函数； （2）证明：当时，，这里t为常数； （3）对于属于M的一种固定值，得，在映射F的作用下，M1作为象，求其原象，并阐明它是什么图象？参照答案：１D２D３C４A５D6B 7D 8A9 ,4/3,3/5,1/10, 10 (1,2)11，， （）12 a³–3/413 04时，方程有两解14450 15（I）令，依条件（3）可得f(0+0) ≥f(0)+f(0)，即f(0) ≤0又由条件（1）得f(0) ≥0，则f(0)=0（Ⅱ）任取，可知,则,即，故于是当0≤x≤1时，有f(x)≤f(1)=1因此，当x=1时，f(x)有最大值为1，（Ⅲ）证明：研究①当时，f(x) ≤1<2x②当时，一方面，f(2x) ≥f(x)+f(x)=2f(x)，∴显然，当时，成立假设当时，有成立，其中k＝1，2，…那么当时，可知对于，总有，其中n=1，2，…而对于任意，存在正整数n，使得，此时,③当x=0时，f(0)=0≤2x综上可知，满足条件的函数f(x)，对x∈[0，1]，总有f(x) ≤2x成立16 (1)假设有两个不同的点（，），（，）相应同一函数，即与相似，即 对一切实数x均成立特别令x=0，得a=c；令，得b=d这与（a，b），（c，d）是两个不同点矛盾，假设不成立故不存在两个不同点相应同函数（2）当时，可得常数a0，b0，使由于为常数，设是常数从而（3）设，由此得（，）在映射F下，的原象是（m，n），则M1的原象是消去t得，即在映射F下，M1的原象是以原点为圆心，为半径的圆。