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1、勾股定理的反证法教案【教学目标】1. 知识与技能（1）理解勾股定理的逆定理。（2）了解逆命题的概念，知道原命题为真命题，它的逆命题不一定为真命题。2. 过程与方法 经历“观察测量猜想论证”的定理探究的过程，体会“构造法”证明数学命题的基本思想。3. 情感态度和价值观 通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识。【教学重点】探索并证明勾股定理的逆定理。【教学难点】应用勾股定理及其逆定理解决实际问题。【教学方法】自学与小组合作学习相结合的方法。【课前准备】教学课件。【课时安排】1 课时【教学过程】一、情景导入 【过渡】我们大家都认识直角三角形吧。我们知道，直角三
2、角形是有一个角为直角的。根据直 角三角形的定义呢，我们能够简单的判断一个三角形是否为直角三角形。（学生回答如何判断） 【过渡】根据定义，主要就是看这个三角形有没有一个角满足90，有 90的角则为直角三角 形。但是如果遇到没办法准确判断角的大小的时候，我们又该通过什么样的方法来判断呢？能否结合 勾股定理的知识，从边长的角度入手呢？今天我们就来探究一下，如果将勾股定理反过来使用，是否 同样成立呢？二、新课教学1勾股定理的逆定理【过渡】 据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13 个结，然后 以 3 个结间距，4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个
3、角便是 直角。你认为结论正确吗？【过渡】由实际问题转化，这个问题就变为如果三角形的三边长为3、4、5，它们满足 32+42=52， 那么这个三角形就是直角三角形。那么这个结论到底正确不正确呢？我们来自己动手，画出三边长为 以下两组数据的三角形吧。2.5，6，6.5；6，8，10。【过渡】首先看这两组数据，大家思考一下，这两组数据都满足a2+b2=C2吗？（学生回答）【过渡】计算表明，这两组数据均是满足这样一个等式的。现在，大家就将其作为三角形的三边 成，来画一下三角形吧。（学生动手）【过渡】我看大家都已经画完了，大家用眼睛看过去，这两个三角形像是直角三角形吗？当然， 在数学上，我们需要保持严谨
4、的态度。大家再动手，用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数。【过渡】从动手结果上来看，这两个三角形同样是直角三角形。因此，我们就有如下一个猜想： 命题2：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形。【过渡】大家能够证明这个结论吗？课件展示证明过程。【过渡】通过刚刚的证明，我们知道这个结论是正确的，因此，我们把它称之为勾股定理的逆定 理。我们通常用这个定律作为直角三角形的判定定理。【练习】判断下列数据中能否作为直角三角形的三边长？A. 1、1、V2 ； B. 5、12、13； C. 3、5、7； D. 6、8、10在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的
5、大小关系，确定最大边后，再验证两条较小 边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断。【过渡】从刚刚的命题中，我们能够看出，这个命题与勾股定理是完全相反的，在数学中，我们 就称这样的两个命题为互逆命题。如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫做互逆命题。 如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。【过渡】那么我们怎样得到一个命题的逆命题？我们以勾股定理为例。不难发现，勾股定理的题 设是直角三角形，结论是a2+b2=c2，而其逆定理却刚好相反，它的题设是a2+b2=c2，结论则为直角三 角形。因此，我们可以得到这样一种方法：把一个命题的题设和结论交换一下，即可得到它的
6、逆命题。【练习】说出下列命题的逆命题。这些命题的逆命题是真命题吗？(1) 如果 ab,那么 a2b2；(2) 如果 a2=b2，那么 a=b；( 3 )等腰三角形的两底角相等两端点的距离相等。【过渡】勾股定理的逆定理主要用来判定是否为直角三角形，我们通过例题来感受一下吧。 课件展示课本例 1 、2.【典题精讲】1、已知:ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0 的两个实数根，第三边BC的长为5.(1) k为何值时，AABC是以BC为斜边的直角三角形？(2) k为何值时，AABC是等腰三角形？并求 ABC的周长解：(ABC是以BC为斜边的直角三角形
7、，BC=5,.AB2+AC2=25,TAB、AC的长是关于x的一元二次方程X2- (2k+3) x+k2+3k+2=0的两个实数根，.AB+AC=2k+3, AB AC=k2+3k+2，.AB2+AC2= (AB+AC) 2-2ABAC,即( 2k+3) 2-2( k2+3k+2) =25，解得 k=2 或-5(舍去负数)(2)VABC是等腰三角形；当 AB=AC 时，=b2-4ac=0,(2k+3) 2-4 (k2+3k+2) =0,解得k不存在；当 AB=BC 时，即 AB=5，. 5+AC=2k+3， 5AC=k2+3k+2，解得 k=3 或 4，. AC=4 或 6.ABC的周长为14
8、或16。2、若 ABC 三边长 a、b、c 满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判断 ABC 的形状。解：由 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，得：a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0即：(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0解得：a=5, b=12, c=13 52+122=132. a2+b2=c2Z C=90, ABC是直角三角形【知识巩固】1、有四个三角形，分别满足下列条件，其中直角三角形有（C ）（1）一个内角等于另外两个内角之差：（2）三个内角度数之比为 3：4：5；（3）三边长度之比为 5：12：13；
9、（4）三边长分别为 7、 24、 25A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2、如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直如果小明站在南京 路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ C ）Mt书店.八街4*0 Om300m站路300w/西安路A. 400m B. 525mC. 575mD . 625m3、如图，在 ABC中，AB=5, AC=3, D是BC的中点，AD=2，求 ABC的面积解：延长AD至E,使ED=AD=2，连接BE，如图所示:则 AE=4，VD是BC的中点，BD=CD,在BED和 ACD中，BD=CD；ZBDE=ZCDA； ED
10、=AD/.BEDACD (SAS),BE=AC=3,.AE=4, AB=5, BE=3,：AE2+BE2=AB2,ABE是直角三角形，ABC的面积=AABE的面积=1 /2 X3X4=6.【拓展提升】1、如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD）,经测量，在四边形 ABCD 中，AB=3m, BC=4m，CD=12m, DA=13m,ZB=90.（ACD是直角三角形吗？为什么？2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100 元，试问铺满这块空地共需花费多少元？解：（1）在 RtAABC 中，VAB=3m, BC=4m,ZB=90, AB2+CB2=AC2
11、AC=5cm，在厶ACD 中，AC=5cm CD=12m, DA=13m, AC2+CD2=AD2， ACD是直角三角形，ZACD=90；（2）VSABC=1 /2 X3X4=6, SACD=1 /2X5X12=30, S 四边形 ABCD=6+30=36，费用=36X100=3600 （元）.【板书设计】1 、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形。【教学反思】采用了体验探究的教学方式。在课堂教学中,我首先创设情境,提出问题；再让学生通过画图、 测量、判断、找规律，猜想出一般的结论；然后由学生想、画、剪、叠，去验证结论使学生自始 至终感悟、体验、尝试到了知识的生成过程,品尝到成功的乐趣。这不仅使学生学到获取知识的思想 和方法,同时也体会到在解决问题的过程中与他人合作的重要性,而且为学生今后获取知识以及探索、 发现和创造打下了良好的基础,更增强了学生敢于实践、勇于探索、不断创新和努力学习数学知识的 信心和勇气。
