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1、简答】图中有角含半角模型，OFr,贝y OH=y定角夹定高（探照灯模型）什么叫定角定高，如右图，直线BC外一点A, A到直线BC距离为定值A（定高），ZBAC为定角。则AD有最小值。又因为，像探照灯一样所以也叫探照灯模型。我们可以先看一下下面这张动图，在三角形ABC当中，ZBAC是一个定 角，过A点作BC边的高线，交BC边与D点，高AD为定值。从动态图中（如图定角定高l.gsp）我们可以看到，如果顶角和高，都为 定值，那么三角形ABC的外接圆的大小，也就是半径，是会随着A点的运动 而发生变化的。从而弦BC的长也会发生变化，它会有一个最小值，由于它的高AD是定值，因此三角形 ABC 的面积就有一
2、个最小值。我们可以先猜想一下，AD过圆心的时候，这个外接圆是最小的，也就是，BC的长是最小的，从而三 角形 ABC 的面积也是最小的。定角定高l.gsp定角定高.html（定长可用圆处理，特别，定长作为高可用两条平行线处理）那么该如何证明呢？首先我们连接OA,OB,OC。过O点作OH丄BC于H点.（如图1）显然OA+OHAD，当且仅当A,O,D三点共线时取“=”。由于ZBAC的大小 是一个定值，而且它是圆o的圆周角，因此它所对的圆心角ZAOB的度数，也是 一个定值。因此OH和圆O的半径，有一个固定关系，所以，OA+OH也和0 0的半径，有一个固定的等量关系。再根据我们刚才说的，OA+OHAD，
3、就可以求得圆O半径的最小值。 简证：OA+OHADOEDH 为矩形，OH=ED,在 RtDAOE 中，AOAE,：AO+OH=AO+EDAE+ED=AD下面我们根据一道例题来说明它的应用。例：如图，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=4，ADBC,ZB=60。，点E、F分别为边BC、CD上 的两个动点，且ZEAF=60，则AAEF的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说 明理由。将AADF绕A点顺时针旋转120，得 ABF , =60。，易证厶AEFAAEF,作厶AEF的外扌 OH丄BC于点H, AG丄BC于点G,则ZFZOH=60, AG=2 AB = 2V3，设 OO
4、的半径为2r=2 - OA + OH AG, /. r + - 2V3, r 43/FAE=ZFAE=1ZFOE=60223.FE=V3r1-S = S . =- EF - AGLAEFL.AEF 21=X V3r - 2V3 4V3AEF的面积最小值为43以下是两到相关的针对练习题，大家学习完以后可以去自主的完成一项，后面也有详细的解答过程，做完 以后大家可以对照一下答案，学会了这种类型题的解法。解题步骤：1作定角定高三角形外接圆，并设外接圆半径为r,用r表示圆心到底边距离及底边长；2.根据“半径+弦心距定高”求r的取值范围；3用r表示定角定高三角形面积，用r取值范围求面积最小值。【针对练习
5、】1. (1)如图1,在AABC中，ZACB=60, CD为AB边上的高，若CD=4，试判断厶ABC的面积是否 存在最小值？若存在，请求出面积最小值；若不存在，请说明理由.(2)如图2,某园林单位要设计把四边形花圃划分为几个区域种植不同花草。在四边形ABCD中，Z BAD=45，ZB=ZD=90，CB=CD=6V2，点E、F分别为边AB、AD上的点，若保持CE丄CF，那么 四边形AECF的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由。(1)解：如图1-1作厶ABC的外接圆0 0,连OA、OB、OC，作OH丄AB于H 设0 0半径为 r,则 OHO乙=片，AB=2AH=2
6、X 3OA = 43r2 2 28 CO+HOCD 即 r+丄 r 4 得 r 32 3 口皿=1DD -DD = 2 xV3D x 4 = 2V3D 273 x | = 16 V3(2)分析：此处求面积最大值，而定角定高一般求面积最小值。 由于：S= 四边形AECF 四边形ABCD aDDDaDDD=72 V2 + 72 - ( 口価口 + 口価口)因此，只要口口 + 1 口最小，口四边形aECF面积最大解：如图1-2所示在AB上找一点H,使AH=HC。延长AB至G,使BG=FD,连CG,作DCEG的外接圆O 证AC为DBAD平分线 求口面积。CHB=45。，AH=CH=V2DD = 12四
7、边形ABCDHB=BC=6V2 AB=12+6V2= 2DAnnn = 2 x- DD = 口 - 口四边形ABCDaDDD2=(12 + 6V2) x 62 = 72V2 + 72 CDFDCBG,则比口 求A.nnn + 1帀口 = 1帀口最小面积_ZECG=135-90=45定角，CB=6”2定高1-2I 设O 的半径为 r,则 EK=OK=B = 口 EG=2EK=2II ,CO+OK CB 即 r+缨-62 r- 12V2 - 12 m.SACEG = 2DD -DD = 1 x 6V2 xV2口 = 6口 - 72V2 - 72求口四边形AECF的最大值。S四边形AECF四边形AB
8、CD=72V2 + 72 _(从血 + Annn)=72V2 + 72 - 皿-72V2 + 72 -(72V2 - 72)= 1442已知等边口ABC,点P是其内部一个动点，且AP=10, M、N分别是AB、AC边上的两个动点，求 PMN周长最小时，四边形AMPN面积的最大值. 分析：APMN最小值即将军饮马问题。如图2-1。円”叨厂图2-1四边形AMPN面积该如何表示？如图2-2AP=10,则P在以A为圆心10为半径的圆上由轴对称性可知，1皿口 = Annn，口価2口 = Annn吻2 =严-嘤2 = 2 (2巴=血口2 = 25734 四边形 ampn = 1口口口 + 1口口口 =匕口
9、也 口 + 1口口2尸1口口1口2 匕口口口只要皿最小，则四边形I.最大aAnnn 00,即口 + 二 5， r23111比口1 x 5 x V3D = 5V3D 2573 口= 0 n 口 = 2573 0 2573 73 = 73四边形nnnnaDDiu2aDDDaDDD33四边形AMPN面积最大值为甞733这就是我们所说的定价定高类隐形圆的处理方法。相对来说难度还是比较大的，这类题通常会作为中考压轴题出现，如果没有学习过解题方法的话，自己是很难想出来它的做法，希望同学们下去以后多加练习。只要方法掌握了以后，其实也是很容易拿到满分的。【同类配题】_1如图3,四边形ABCD中，AB=AD=4场,B=45。，口。=135。，点E, F分别是射线CB、CD上的动 点，并且ZEAF=DC=60。，求DAEF的面积的最小值.
