典型例题】类型一、平面向量的相关概念例1. 以下说法中正确的是 ① 非零向量与非零向量共线，向量与非零向量共线，那么向量与向量共线；② 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点；③ 向量与不共线，那么与所在直线的夹角为锐角；④ 零向量模为0，没有方向；⑤ 始点相同的两个非零向量不平行；⑥ 两个向量相等，它们的长度就相等；⑦ 假设非零向量与是共线向量，那么A、B、C、D四点共线答案】①⑥【解析】① 向量共线即方向相同或相反，故非零向量间的共线关系是可以传递的；②相等向量是共线的，故四点可能在同一直线上；③ 向量不共线，仅指其所在直线不平行或不重合，夹角可能是直角或锐角；④零向量不是没有方向, 它的方向是任意的；⑤ 向量是否共线与始点位置无关；⑥ 两个向量相等，它们的长度相等，方向相同；⑦共线向量即平行向量，非零向量与是共线向量，可能A、B、C、D四点共线，也可能AB、CD平行总结升华】从向量的定义可以看出，向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量可将代数问题与几何问题相互转化零向量是一特殊向量，它似乎很不起眼，但又处处存在因此，正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系值得我们重视。
对于平行向量或共线向量，它们可以在同一直线上，也可以所在直线互相平行，方向可以相同也可以相反；相等向量那么必须大小相等、方向相同举一反三：【变式1】判断以下各命题是否正确,并说明理由: (1) 假设,那么；(2) 单位向量都相等；(3) 两相等向量假设起点相同,那么终点也相同；(4) 假设，,那么； (5) 假设,那么； (6) 由于零向量方向不确定,故它不能与任意向量平行.【答案】(1) 错；模相等,方向未必相同；(2) 错；模相等,方向未必相同；(3) 正确；因两向量的模相等,方向相同,故当他们的起点相同时,那么终点必重合；(4) 正确；由定义知是对的；(5) 错；向量不能比拟大小；(6) 错；规定:零向量与任意向量平行.【变式2】在复平面中，点A〔2，1〕，B〔0，2〕，C〔－2，1〕，O〔0，0〕.给出下面的结论：①直线OC与直线BA平行；②；③；④.其中正确结论的个数是〔〕A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】，，∴OC∥AB，①正确；∵，∴②错误；∵，∴③正确；∵，，∴④正确. 应选C.类型二、平面向量的加减及其线性运算例2.如图，梯形中，，且，、分别是、的中点，设，，试以、为基底表示、、.【解析】连结，那么；∵∴，∴；又∴.【总结升华】①此题实质上是平面向量根本定理的应用，由于，是两个不共线的向量，那么平面内的所有向量都可以用它们表示出来.②此题的关键是充分利用几何图形中的线段的相等、平行关系，结合平行向量、相等向量的概念，向量的线性运算，变形求解.举一反三：【变式1】在△ABC中，D是AB边上一点，假设，，那么=________.【答案】【解析】由图知①，②且。
①+②×2得：，∴，∴.【变式2】△ABC中，点D在AB上，平分，假设，，，，那么〔 〕A. B. C. D. 【答案】【变式3】如图,为平行四边形边上一点,且,设，，假设，，求的值. 【解析】①又而，∴②由①②解得.【变式4】假设是不共线的任意三点，那么以下各式中成立的是〔 〕A． B． C． D．【答案】B【变式5】是所在平面内一点，为边中点，且，那么〔 〕Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．【答案】A【解析】因为为边中点，所以由平行四边形法那么可知：，又，所以.例3.设两个非零向量不共线，〔1〕假设求证：，，三点共线.〔2〕试确定实数，使和共线.【解析】〔1〕证明：；共线，又它们有公共点，，，三点共线.〔2〕和共线，存在实数，使，即，是不共线的两个非零向量，.【总结升华】①证明三点共线问题，可以用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线.②向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数与方程思想的运用.举一反三：【变式1】平面内有一点P及一个△ABC，假设，那么〔〕A．点P在△ABC外部 B．点P段AB上C．点P段BC上 D．点P段AC上【答案】D 【解析】∵，∴，即，∴，，∴点P段AC上.【变式2】假设、是两个不共线的向量,,，,A、C、D三点共线,求实数的值.【答案】【解析】，,A,C,D三点共线,共线,令,不为零, ∴,∴∴【变式3】向量、不共线，，如果∥，那么〔〕A．k=1且与同向 B．k=1且与反向C．k=―1且与同向 D．k=―1且与反向【答案】D 【解析】∵∥且、不共线，∴存在唯一实数使=，∴∴，∴，应选D.【高清课堂：平面向量的概念与线性运算401193例2】【变式4】向量，且那么一定共线的〔〕〔A〕Ａ、B、D 〔B〕 A、B、C 〔C〕 B、C、D 〔D〕A、C、D【答案】A 类型三、平面向量的根本定理、坐标表示及综合应用例4．设向量，，，假设，求使成立的实数和的值.【解析】由题知：，∵，∴，解得，∴，由 得，∴， 即.【总结升华】考查向量的坐标运算及平行垂直的坐标表示是考试命题的主要方式之一,准备掌握公式,灵活运用.举一反三：【变式1】，，假设,是共线向量,求实数的值;【解析】由有: ，，∵,∴,解得.【变式2】设向量a=〔1，2〕，b=〔2，3〕。
假设向量与向量c=〔―4，―7〕共线，那么λ=________.【答案】2【解析】，∵，∴. 故填2.【变式3】如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，那么________.【答案】【解析】建系如下图:令B〔xB，0〕，C〔xC，yC〕，D〔0，1〕，∴，，，∴，∴，，，那么.【变式4】假设平面向量、满足,平行于x轴，，那么=________.【答案】〔―1，1〕或〔―3，1〕【解析】设=〔x，y〕，那么=〔x+2，y―1〕，由题意得或.∴=〔―1，1〕或〔―3，1〕.【高清课堂：平面向量的概念与线性运算401193例3】【变式5】假设直线按向量平移后与圆相切，那么c的值为〔〕A．8或－2 B．6或－4 C．4或－6 D．2或－8【答案】A例5．A，B，C是不共线三点，点O是A，B，C确定平面内一点，假设取最小值时，O是△ABC的〔 〕A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心【答案】A【解析】设O〔x，y〕，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，C〔x3，y3〕那么那么当且时，，应选A.【总结升华】关注三角形的“心〞，包括三角形的重心、垂心、外心、内心和旁心.举一反三：【变式1】在中，点满足，那么点在的〔 〕上A.角平分线 B. 中线 C.中垂线 D. 高【答案】D；【解析】∵，∴，即，∴，∴，所以点在的高上.【变式2】平面△ABC及一点O满足，，那么点O是△ABC的〔 〕A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心【答案】选D.【解析】由得∴ 即∴，同理，应选D.【变式3】平面内及一点O满足，，那么点O是的〔 〕〔A〕重心 〔B〕垂心 〔C〕内心 〔D〕外心【答案】C【解析】对于的理解，其中，即为方向上的单位向量.【变式4】在中，点满足，那么点在的〔 〕上A.角平分线 B. 中线 C.中垂线 D. 高【答案】B；【解析】如图，以OB、OC为邻边作平行四边形，那么，那么点、、三点共线，而且在平行四边形中，点为的中点，所以为的中线8。