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1、补充复数的基本知识1、虚数单位由于在实数集R内负数不能开平方，所以在实数集内方程x 2 + 1 = 0无 解。引入虚数，虚数单位符号为 j ，并规定(1) 它的平方等于-1，即j2 = -1 ；(2) j 可以和实数一起进行四则运算，原有的加、减运算规律仍然成性质：般地，对于任意整数n，有:j4n = 1 ；j4n+i = j ；j4n+2 = _i ；j4n+3 _2、复数集定义：形如a + bj(a,b g R)的数称为复数。通常用大写拉丁字母Z表示一个复数，即Z _ a + bj(a,b g R)其中a称为复数Z的实部，Re(Z) _ a ；b称为复数Z的虚部，Im(Z) _ b ；举例
2、：2 + 3 j，-1 + 5 j，3 j的实部、虚部?实数(b _ 0)复数a + bj 有理数无理数虚数(b丰0)纯虚数(a _ 0)非纯虚数(a丰0)3、复数的相等及共轭复数定义：如果两个复数的实部相等，虚部也相等，则称这两个复数相等，即a + bj _ c + dj o a _ c, b _ d定义：如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数。复数Z = a + bj的共轭复数记作Z二a - bj例：1 + j, 2 + 3j的共轭复数注：(a + bj)(a - bj) = a2 + b24、复数的几何表示(复平面)任何一个复数a + bj都可以由一对有序实数
3、(a,b)唯一确定；反之，任何一对有序实数(a,b)都能唯一确定一个复数a + bj ；因此，复数Z = a + bj与平面直角坐标系中的点Z(a,b)是对应关系。于是，可以在平面直角坐标系中用横坐标为a，纵坐标为b的点Z(a,b)表示复数Z = a + bj。虚轴a + bj丨-a实轴用来表示复数的直角坐标平面称为复平面。复数Z = a + bj与复平面上的点Z(a,b)是一一对应关系。即 复数Z = a + bj分点Z(a,b)矢量(或向量)：既有大小又有方向。矢量可以用带箭头的有向线段来 表示，箭头的方向表示矢量的方向，线段的长度表示矢量的大小。如下图 所示：虚轴a + bjI9 Ia实
4、轴相等矢量：大小相等且方向相同的矢量。(1) 矢量的大小称为矢量的模；矢量0Z的模r称为复数Z = a + bj的模，记作:|Z|或|a + bj即：r = Zl = |a + bj = fa2 + b2(2) 矢量的方向以实轴的正半轴为始便，矢量oz所在的射线为终边的角9，称为复数 Z = a + bj的辐角。非零复数的辐角有无穷多个值，他们彼此相差2.的整数倍。通常适合 于-KOK的辐角9称为主辐角，9值称为辐角的主值。规定：要用主辐角表示复数Z = a + bj的辐角。模和主辐角可以唯一确定一个非零复数。b=arctantanO = ar = a 2 + b 2Z = a + bj =
5、r (cosO + j sin 9)cos9sin95、复数的指数形式欧拉公式：e j9 = cos9 + j sin 9例如：.兀J 3 = cos.+ j sin33对于任何一个复数：Z = a + bj = r (cos0 + j sin0) = rej称为复数的指数形式 例：1+ 13 j = cos + j sin = ej 32 233325 53 + 5 j = 34(3X + j 帀)r34 e j arctan37、复数的四则运算(1) 复数代数形式(Z = a + bj)的加减法(a + bj) 土 (c + dj) = a 土 c + (b 土 d) j 复数的实部与实部
6、相加减，虚部与虚部相加减。(2) 复数代数形式的乘法(a + bj)(c + dj) = ac - bd + (ad + bc) j 按多项式的乘法运算法则进行，把所得结果中 j 2换成-1，并且把实部、 虚部分别合并。例： (2+3j)(1+ j)=-1+5j(4-3j)(2+3j)=17+6j(3) 复数代数形式的除法分子与分母同乘以分母的共轭复数，分母实数化后，所得结果要化简 c+dj (c+dj)(a-bj) ac+bd ad -bc= = + /a + bj (a + bj)(a - bj) a2 + b2 a2 + b2例：1+j = 2+丄 j3 + 2 j 1313(4) 复数
7、指数形式(z = rej)的乘除运算令 Z i = r1ej01 ； Z 2 = r 22则 Z1 Z 2 = 厂0右1 r 2 ej 2 = r】r 2 ej(1+。2)丕= 11 ej (01-0 2)Z 2 r 2 ej0 2r 2例：(1 + j)(3 + 4 j)二 5 叮2 ej(4+arctan3)gj = j + 4) = ej 2 = j（5）复数极坐标形式（Z = rZ0）的乘除运算设复数Z1 =厂上0 i， Z2 = r2Z0 2Z1 Z 2 = r1r 2 Z(01+0 2)Z2=己Z(e 1-0 2)8、方程根的求解元二次方程根的求解。一元二次方程有两个根，可以是两个实数根，也可以是复数根（共轭复根）。例： x1 2+7x+6=0x1 = -1， x1 = -6 ；补充题：1、计算下列各式，并作几何表示2ej令打ej ej =3 ej 6 = 2 込 ej 7 =、6 +je-j32e-j6.冗1 .冗.冗2 e -丿石e -丿彳=e -丿亍=-13、求出下列方程的解（1）x2 + 7 x + 5 = 0x1,2 一（2） x2 + 3x + 6 = 0x1,2-3 15 j2
