小学奥数基本教程(五年级)第1讲数字迷（一）第2讲 数字谜(二)第3讲 定义新运算(一)第4讲 定义新运算(二)第5讲 数的整除性(一)第6讲 数的整除性(二)第7讲 奇偶性（一）第8讲 奇偶性（二）第9讲 奇偶性（三）第10讲 质数与合数第11讲 分解质因数第12讲 最大公约数与最小公倍数（一）第13讲最大公约数与最小公倍数（二）第14讲 余数问题第15讲 孙子问题与逐渐约束法第16讲 巧算24第17讲 位置原则第18讲 最大最小第19讲 图形的分割与拼接第20讲 多边形的面积第21讲 用等量代换求面积第22 用割补法求面积第23讲 列方程解应用题第24讲 行程问题（一）第25讲 行程问题（二）第26讲 行程问题（三）第27讲 逻辑问题（一）第28讲 逻辑问题（二）第29讲 抽屉原理(一)第30讲 抽屉原理(二) 第1讲 数字谜（一） 数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同窗们已经掌握了不少措施例如用猜想、拼凑、排除、枚举等措施解题数字谜波及的知识多，思考性强，因此很能锻炼我们的思维 这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题 例1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。
分析与解：由于运算成果是整数，在四则运算中只有除法运算也许浮现分数，因此应一方面拟定“÷”的位置 当“÷”在第一种○内时，由于除数是13，要想得到整数，只有第二个括号内是13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意 （5÷13-7）×（17+9） 当“÷”在第二或第四个○内时，运算成果不也许是整数 当“÷”在第三个○内时，可得下面的填法：（5+13×7）÷（17-9）=12 例2 将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568 解：将5568质因数分解为5568=26×3×29由此容易懂得，将 5568分解为两个两位数的乘积有两种：58×96和64×87，分解为一种两位数与一种三位数的乘积有六种： 12×464， 16×348， 24×232， 29×192， 32×174， 48×116 显然，符合题意的只有下面一种填法：174×32=58×96=5568 例3 在443背面添上一种三位数，使得到的六位数能被573整除 分析与解：先用443000除以573，通过所得的余数，可以求出应添的三位数由 443000÷573=773……71 推知， 443000+（573-71）=443502一定能被573整除，因此应添502。
例4 已知六位数33□□44是89的倍数，求这个六位数 分析与解：由于未知的数码在中间，因此我们采用两边做除法的措施求解 先从右边做除法由被除数的个位是4，推知商的个位是6；由左下式知，十位相减后的差是1，因此商的十位是9这时，虽然89×96=8544，但不能觉得六位数中间的两个□内是85，由于还没有考虑前面两位数 再从左边做除法如右上式所示，a也许是6或7，因此b只也许是7或8 由左、右两边做除法的商，得到商是3796或3896由3796×89=337844， 3896×89=346744 知，商是3796，所求六位数是337844 例5 在左下方的加法竖式中，不同的字母代表不同的数字，相似的字母代表相似的数字，请你用合适的数字替代字母，使加法竖式成立 分析与解：先看竖式的个位由Y+N+N=Y或Y+ 10，推知N要么是0，要么是5如果N=5，那么要向上进位，由竖式的十位加法有T+E+E+1=T或T+10，等号两边的奇偶性不同，因此N≠5，N=0 此时，由竖式的十位加法T+E+E=T或T+10， E不是0就是5，但是N=0，因此E=5 竖式千位、万位的字母与加数的千位、万位上的字母不同，阐明百位、千位加法都要向上进位。
由于N=0，因此I≠0，推知I=1，O=9，阐明百位加法向千位进2 再看竖式的百位加法由于十位加法向百位进1，百位加法向千位进2，且X≠0或1，因此R+T+T+1≥22，再由R，T都不等于9知，T只能是7或8 若T=7，则R=8，X=3，这时只剩余数字2，4，6没有用过，而S只比F大1，S，F不也许是2，4，6中的数，矛盾 若T=8，则R只能取6或7R=6时，X=3，这时只剩余2，4，7，同上理由，浮现矛盾；R=7时，X=4，剩余数字2，3，6，可取F=2，S=3，Y=6 所求竖式见上页右式 解此类题目，往往要找准突破口，还要整体综合研究，不能想一步填一种数这个题目是美国数学月刊上刊登的趣题，竖式中从上到下的四个词分别是 40， 10， 10， 60，而 40+10+10正好是60，真是巧极了！ 例6 在左下方的减法算式中，每个字母代表一种数字，不同的字母代表不同的数字请你填上合适的数字，使竖式成立 分析与解：按减法竖式分析，看来比较难同窗们都懂得，加、减法互为逆运算，与否可以把减法变成加法来研究呢（见右上式）？不妨试试看 由于百位加法只能向千位进1，因此E=9，A=1，B=0。
如果个位加法不向上进位，那么由十位加法1+F=10，得F=9，与E=9矛盾，因此个位加法向上进1，由1+F+1=10，得到F=8，这时C=7余下的数字有2，3，4，5，6，由个位加法知，G比D大2，因此G，D分别可取4，2或5，3或6，4 所求竖式是 解这道题启发我们，如果做题时遇到麻烦，不妨根据数学的有关概念、法则、定律把原题加以变换，将不熟悉的问题变为熟悉的问题此外，做题时要考虑解的状况，与否有多种解 练习1 1.在一种四位数的末尾添零后，把所得的数减去原有的四位数，差是621819，求本来的四位数 2.在下列竖式中，不同的字母代表不同的数字，相似的字母代表相似的数字请你用合适的数字替代字母，使竖式成立： 3.在下面的算式中填上括号，使得计算成果最大：1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9 4.在下面的算式中填上若干个（ ），使得等式成立：1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9=2.8 5.将1～9分别填入下式的□中，使等式成立：□□×□□=□□×□□□=3634 6.六位数391□□□是789的倍数，求这个六位数 7.已知六位数7□□888是83的倍数，求这个六位数。
第2讲 数字谜（二） 这一讲重要讲数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题 例1 在下面的算式中，不同的字母代表不同的数字，相似的字母代表相 分析与解：这道题可以从个位开始，比较等式两边的数，逐个拟定各个 （100000+x）×3=10x+1， 300000+3x=10x+1， 7x=299999， x=42857 这种代数措施干净利落，比用老式措施解简洁我们再看几种例子 例2 在□内填入合适的数字，使左下方的乘法竖式成立 求竖式 例3 左下方的除法竖式中只有一种8，请在□内填入合适的数字，使除法竖式成立 解：竖式中除数与8的积是三位数，而与商的百位和个位的积都是四位数，因此x=112，被除数为989×112=110768右上式为所求竖式 代数解法虽然简洁，但只合用于某些特殊状况，大多数状况还要用老式的措施 例4 在□内填入合适数字，使下页左上方的小数除法竖式成立 分析与解：先将小数除法竖式化为我们较熟悉的整数除法竖式（见下页右上方竖式）可以看出，除数与商的后三位数的乘积是1000=23×53的倍数，即除数和商的后三位数一种是23=8的倍数，另一种是53=125的奇数倍，由于除数是两位数，因此除数是8的倍数。
又由竖式特点知a=9，从而除数应是96 的两位数的约数，也许的取值有96，48，32，24和16由于，c=5，5与除数的乘积仍是两位数，因此除数只能是16，进而推知b=6由于商的后三位数是125的奇数倍，只能是125，375，625和875之一，经实验只能取375至此，已求出除数为16，商为6.375，故被除数为6.375×16=102右式即为所求竖式 求解此类小数除法竖式题，应先将其化为整数除法竖式，如果被除数的末尾浮现n个0，则在除数和商中，一种具有因子2n（不含因子5），另一种具有因子5n（不含因子2），以此为突破口即可求解 例5 一种五位数被一种一位数除得到下页的竖式（1），这个五位数被另一种一位数除得到下页的竖式（2），求这个五位数 分析与解：由竖式（1）可以看出被除数为10**0（见竖式（1）'），竖式（1）的除数为3或9在竖式（2）中，被除数的前两位数10不能被整数整除，故除数不是2或5，而被除数的后两位数*0能被除数整除，因此除数是4，6或8 当竖式（1）的除数为3时，由竖式（1）'知， a=1或2，因此被除数为100*0或101*0，再由竖式（2）中被除数的前三位数和后两位数分别能被除数整除，可得竖式（2）的除数为4，被除数为10020； 当竖式（1）的除数为9时，由能被9整除的数的特性，被除数的百位与十位数字之和应为8。
由于竖式（2）的除数只能是4，6，8，由竖式（2）知被除数的百位数为偶数，故被除数只有10080，10260，10440和10620四种也许，最后由竖式（2）中被除数的前三位数和后两位数分别能被除数整除，且十位数不能被除数整除，可得竖式（2）的除数为8，被除数为10440 因此这个五位数是10020或10440 练习2 1.下面各算式中，相似的字母代表相似的数字，不同的字母代表不同的 2.用代数措施求解下列竖式： 3.在□内填入合适的数字，使下列小数除法竖式成立： 第3讲 定义新运算（一） 我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同窗们熟知除此之外，还会有什么别的运算吗？这两讲我们就来研究这个问题这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及此后的学习都大有益处 例1 对于任意数a，b，定义运算“*”： a*b=a×b-a-b 求12*4的值 分析与解：根据题目定义的运算规定，直接代入后用四则运算即可12*4=12×4-12-4=48-12-4=32。
根据以上的规定，求10△6的值 3，x>=2，求x的值 分析与解：按照定义的运算， <1，2，3，x>=2， x=6 由上面三例看出，定义新运算一般是用某些特殊符号表达特定的运算意义新运算使用的符号应避免使用课本上明拟定义或已经商定俗成的符号，如+，-，×，÷，＜，＞等，以避免发生混淆，而表达新运算的运算意义部分，应使用一般的四则运算符号如例1中，a*b=a×b-a-b，新运算符号使用“*”，而等号右边新运算的意义则用四则运算来表达 分析与解：按新运算的定义，符号“⊙”表达求两个数的平均数 四则运算中的意义相似，即先进行小括号中的运算，再进行小括号外面的运算 按一般的。