第五章 大数定理与中心极限定理■考试内容切比雪夫(Chebyshev)不等式 切比雪夫大数定律 伯努利(Bernoulli)大数定律 辛钦(Khinchine)大数定律 棣莫弗一拉普拉斯(De Moivre—Laplace)定理 列维一林德伯格(Levy 一Lindberg )定理■考试要求1．了解切比雪夫不等式2．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机变量序列的大数 定律)3． 了解棣莫弗一拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为极限分布)和列维一林德伯格定理(独 立同分布随机变量序列的中心极限定理)本章导读| 3大均2中和1不等(3个大数定理、2个中心极限定理和一个不等式)一、切贝雪夫不等式1.1 切贝雪夫不等式及其应用范围如果不知道X属于何种分布，只要E(X)和D(X)存在，就可以估算出以E(X)为中心的对称区间上取值的概率即：则任给£> 0,有P{X — E(X) >8} <8 2P{X — E(X)|<8} > 1 — DX1•证 明：由积分比较定理可知：D(X)=「［x — E(X)Ff (x)dx> J*—gx—E (X) >8=82 J f (x)dx = 8 2 P ^X — E(X)| >8}[c 一 E (X) >8n P {|X — E(X )| >8}<8 2丛n P忖8 2n 1 — P *X — E (X ) J 8 2 f (x)dx|r - E (X) >81 D(X )1 — 8 21.2 依概率收敛的定义设a是一个常数，X为一随机变量序列，V8> 0, 3 P{X — a <8} = 1或P{X -a| >8 } = 0 ,n n n则称｛X ｝依概率收敛于a ,nlim X — a(P)nnf+m 二、大数定理lim X - EX 二 0(P)•大数定理的应用范围：①X ,X，…,X （n > 45）相互独立且同分布；②1 2 n•大数定理的特征：I体现一个“均”字I大数中的随机变量、数学期望、方差（标准差）均是对“均”而言。
如X和卩2.1 切比雪夫大数定理设随机变量X ,X ,…,X相互独立，服从同一分布（任意分布），且具有相同的数学期望和方1 2 n差 E(X )二卩，D(X ) = ◎ 2； X 二-工 X 则 V8 > 0,有k k n kk=1lim P "\X -卩vJ= lim P{1 工X -pn kk=i< e} = 1评屈 在大量的测量值中，算术平均值1工x具有稳定性，即n个随机变量的算术平均值，当n n kk=1无限增加时，将几乎变成一个常数，即接近数学期望E（X ）=卩，这种接近是概率意义上的接近, k也就是X依概率收敛卩，记为X— 卩，这也是为什么在实际应用中，常用算术平均来描述事件发生的加权平均（即数学期望）的原因2.2 辛钦大数定理设随机变量X ,X ,…,X相互独立，服从同一分布（任意分布），且具有相同的数学期望 1 2 nE（X ）=卩（k = 1,2,L , n）; X =-工X，则Ve > 0,有（不要求方差存在）k n kk=1lim P{nfmi y一匚x -p n kk=i< e} = 1评 注|在大量的测量值中，算术平均值具有稳定性，即n个随机变量的算术平均值，当n无限增 加时将几乎变成一个常数。
显然，伯努利大数定理是辛钦大数定理的特例2.3 伯努利大数定理设Y是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则AVs > 0，有或评 注| 1. Y = X + X +... + X , X , X，…,X 服从同一（0 — 1）分布;A 1 2 n 1 2 n2.当n很大(一般要求大于45)时，事件发生的频率YA具有稳定性，且逼近于其概率, n这也是为什么在实际应用中，常用频率来代替事件发生概率的原因3.它本质上是离散情形下的辛钦大数定理陈氏第8技| 3个大数定理的应用选择方法大数定理提供了算术平均代替加权平均的理论根据，适应于事件发生的平均值依概率收敛 情形如果能已知EX，DX都存在，则使用切比雪夫大数定理；如果仅知道EX存在，而未知 DX 是否存在，则使用辛钦大数定理； 如果是伯努利试验，则使用伯努利大数定理 三、中心极限定理•中心极限的应用范围：(1)X , X，…,X (n > 45)独立同分布；(2)EX 和 DX 都存在，且D(X )丰 0 (n = 1, 2, L )12 n n n n•中心极限的特征：体现一个“和”字中心极限中的随机变量、数学期望、方差(标准差)均是对“和”而言。
如工X和阳及屆 k g 3.1列维一林德伯格中心极限定理(又称独立同分布的中心极限定理)设X ,X，…,X…相互独立，服从同一分布 (任意分布)，且具有数学期望和方差1 2 nD(X )二◎ 2丰0(k = 1,…,n)，则随机变量工X的标准化量Yk k nn-k=1X — E （工Xk I kk=1 —i=1工 X — np的分布函数 F (x) 满足nk-k=i_= nclim F (x) = lim P
③ 一般来说，x n 3 n ①(x )q 1;~x < —3 n ①(x )q 0陈氏第9技| 2个中心极限定理的应用选择方法中心极限定理提供了任何备选事件发生的标准化量依概率收敛于N（0,1）的理论根据当EX，DX都存在，且DX主0时，如果是伯努利试验（离散型），则使用莫佛一拉普拉斯中心 极限定理；一般型使用列维一林德伯格中心极限定理四、先进题型与求解秘诀■题型1切贝雪夫不等式题型题法【例1】已知随机变量X, Y的数学期望分别为—2和2，方差分别为1和4,相关系数为—0.5，D( X)试估计P勺X + Y| > 6）解：由于未知X, Y的具体分布，故使用切贝雪夫不等式P{X — E（X）| >8} s} 6}< 6L = 1 n P{X + Y| > 6}< 右例 2 】随机掷 6 颗骰子，利用切比雪夫不等式估计 6 颗骰子点数之和大于 14 小于 28 的概率至少为多少？解：设X =｛第i颗骰子出现的点数｝iX~i6、1 n X6丿ii=1EXi1 ^7-(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 )=-6 2EXi2=6(12 +22 +32 +42 +52 +62 )=91~6DX =EX2-(EX )2i i i91 ( - ¥6 12丿3512EX = E ① X ]=艺 EX = 6 x - = 21I i=1 J i=1 ' 2DX = D (为 X ]=》DX = 6 x 35 = 35I i) i 12 2i=1 i=135P{14 < X < 28}= P{-7 < X -21 <-}= P{|X -21| <-}> 1-2 = 2_1 1 72 14【例3】假设某一年龄段女孩平均身高130cm,标准差是8厘米，现在从该年龄段女孩中随机抽 取5名女孩，测其身高，估计她们的平均身高X在120cm-140cm之间的概率。
解：不知分布估计概率使用切贝雪夫不等式设X为第i名被测女孩的身高，显然X，…X相互独立同分布i 1 5E(X ) = 130; D(X ) =b 2 = 82 = 64;i i 5 ii=1E (X) =1 工 E (X )=5ii=11D(X) = DQX )=25 i5x5x130=130—x 5 x 64 = 6425 5=12.8— 一 12 8 应用切贝雪夫不等式，有P{120 < X <140}=冲-130 <10} >1 -而=°.872例 4】设 X 为连续型随机变量，则是对任意常数 C ，必有(A) P(| X - C| >8) = EX - C(B) P(| X - C >8) > EX - C(C) P(| X - C >8) < EX - C(d) p(|x-C>8)8 )=[f (X)dX 8f (x)dx-g 8=_L J+g|x -Cf (x)dx =8 -gEX - C应选（C）■题型2大数定理题型题法I【例5】X〜E（2），｛X ｝独立同,ii求 lim 1 £ X 2ninT+gi=1解：注意随机变量的极限是指依概率收敛情形。
本题知道了具体分布，求随机变量 平均值的极限，故使用大数定理，又能够确定EX, DX，故使用切比雪夫大数定理1工X-p <8} = 1 n limP{1 工X2 -EX2ni=1 'nTg n ' 11=1<8 } = 1EX2 = DX +(EX)2 = 1 + 1 = 2 = 1 iilim P{nTg+ =i 九2 九2 九2 2-工 X 2 = -(P ). n i 2i=1n lim P{1 工 X 2 -1 < 8} = 1 n limn i 2i=1nsnT+g1x【例6】设｛X ｝独立同分布，F（X） = a + arctg -（b丰0），问辛钦大数定理可否适应 n 兀 b解：|b|f (X)= F '(X)= K (b2 + x2)EX =J+g xf (x )dx =咄 J+g X dx =也m(b2 + X 2)-g 兀 0 b 2 + x 2 兀+g0 b2 + x 2数学期望不存在，故不可适用辛钦大数定理1）设｛X ｝独立同分布，且EX = 0，n = 1,2,Lnn解：根据辛钦大数定理lim P {X - p < 8 }= 1 n lim P。