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1、第八章 层次分析方法建模层次分析法（AHPAnalytic Hierachy Process） 70年代由美国运筹学家 TLSatty 提出的，是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析方法论.该方法吸收并利用行为科 学的特点，将决策者的经验判断给予量化，对目标（因素）结构复杂而且缺乏必要数据的情 况，采用此方法较为实用.在系统科学中，它是常用的一种系统分析方法，并成为系统分析 的数学工具之一.8.1 层次分析方法的基本框架人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由 相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统.在这样的系统中， 人们感兴趣的
2、问题之一是：就n个不同事物所共有的某一性质而言，应该怎样对任一事物的 所给性质表现出来的程度（排序权重）赋值，使得这些数值能客观地反映不同事物之间在该 性质上的差异？层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法.它把复 杂问题分解成组成因素，并按支配关系形成层次结构，然后用两两比较的方法确定决策方案 的相对重要性.建立层次结构图一个合理的层次结构图至少分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中间是准 则层或指标层，如图8.1 所示.如何建立层次结构图呢？首先，将复杂问题分解为称之为元素的各组成部分，把这些元素按属性不同分成若干组，以形成不同层次.同一层次的元素作为准则
3、，对下一层次的某些 元素起支配作用，同时它又受上一层次元素的支配.这种从上至下的支配关系形成了一个递 阶层次.处于最上面的的层次通常只有一个元素，一般是分析问题的预定目标或理想结果， 中间层次一般是准则、子准则，最低一层包括决策的方案.层次之间元素的支配关系不一定 是完全的，即可以存在这样的元素，它并不支配下一层次的所有元素.其次，层次数与问题 的复杂程度和所需要分析的详尽程度有关.每一层次中的元素一般不超过 9 个，因一层中包 含数目过多的元素会给两两比较判断带来困难.第三，一个好的层次结构对于解决问题是极 为重要的.层次结构建立在决策者对所面临的问题具有全面深入的认识基础上，如果在层次 的
4、划分和确定层次之间的支配关系上举棋不定，最好重新分析问题，弄清问题各部分相互之 间的关系，以确保建立一个合理的层次结构.一个好的层次结构图应具有以下特点：(1) 从上到下顺序地存在支配关系，并用直线段表示.除第一层外，每个元素至少受上 一层一个元素支配，除最后一层外，每个元素至少支配下一层次一个元素.上下层元素的联 系比同一层次中元素的联系要强得多，故认为同一层次及不相邻元素之间不存在支配关系.(2) 整个结构中层次数不受限制.(3) 最高层只有一个元素，每个元素所支配的元素一般不超过 9 个，元素多时可进一 步分组.(4) 对某些具有子层次的结构可引入虚元素，使之成为层次结构. 构造成对比较
5、矩阵在建立递阶层次结构以后，上下层次之间元素的隶属关系就被确定了.假定上一层次的 元素C作为准则，对下一层次的元素A,A，,A有支配关系，我们的目的是在准则C之 k 1 2 n k 下按它们相对重要性赋予A , A，,A相应的权重.1 2 n对于大多数社会经济问题，特别是对于人的判断起重要作用的问题，直接得到这些元素 的权重并不容易，往往需要通过适当的方法来导出它们的权重.层次分析法所用的是两两比 较的方法.第一，在两两比较的过程中，决策者要反复回答问题：针对准则C，两个元素A和A.k i j 哪一个更重要一些，重要多少. 需要对重要多少赋予一定的数值. 这里使用 19 的比例标 度，它们的意
6、义见表 8.1.1.1-9的标度方法是将思维判断数量化的一种好方法.首先，在区分事物的差别时，人们 总是用相同、较强、强、很强、极端强的语言.再进一步细分，可以在相邻的两级中插入折 衷的提法，因此对于大多数决策判断来说， 1-9 级的标度是适用的.其次，心理学的实验表 明，大多数人对不同事物在相同程度属性上差别的分辨能力在5-9级之间，采用1-9的 标度反映多数人的判断能力.再次，当被比较的元素其属性处于不同的数量级时，一般需要 将较高数量级的元素进一步分解，这可保证被比较元素在所考虑的属性上有同一个数量级或 比较接近，从而适用于 1-9 的标度.表 8.1.1 标度的意义1表示两个元素相比，
7、具有冋样的重要性3表示两个元素相比，一个元素比另一个元素稍微重要5表示两个元素相比，一个元素比另一个元素明显重要7表示两个元素相比，一个元素比另一个元素强烈重要9表示两个元素相比，一个元素比另一个元素极端重要2, 4, 6, 8为上述相邻判断的中值第二，对于n个元素A,A，,A来说，通过两两比较，得到两两比较判断矩阵A :12 naaa ii12inaa.a21222n i an1an2 a /nn其中判断矩阵具有如下性质： a 0 ；ij(2) a 二 1/a ；ij ji(3) a = 1.ii我们称A为正的互反矩阵根据性质(2)和(3),事实上，对于n阶判断矩阵仅需对其上下)三角元素共n
8、(n -1)2个给出判断即可.计算层次单排序计算比较矩阵的特征值与特征向量这一步是要解决在准则C下，n个元素A , A，,A排序权重的计算问题.通过两两k12 n比较得到判断矩阵A，解特征值问题Aw 二九 wmax所得到的w经归一化后作为元素A , A，,A在准则C下的排序权重，这种方法称为计算12 nk排序向量的特征值法.特征值方法的理论依据是如下的正矩阵的 Perron 定理，它保证了所得到的排序向量的 正值性和唯一性：定理 设n阶方阵A 0，九为A的模最大的特征值，则有max(1) 九必为正特征值，而且它所对应的特征向量为正向量；max(2) A的任何其它特征值九恒有M ；max(3)
9、九 为A的单特征值，因而它所对应的特征向量除差一个常数因子外是唯一的.max特征值方法中的最大特征值九 和特征向量w，可用Matlab软件直接计算若不使用 max软件帮助而直接用定义来计算矩阵A的特征值和特征向量，则相当困难，特别是阶数较高 时. 另一方面，成对比较矩阵是通过定性比较得到的比较粗糙的结果，没有必要对它进行精 确的计算基于这种想法，近似计算计算矩阵A的特征值和特征向量更受人们的欢迎.常见的近似计算矩阵A的特征值和特征向量的方法有：求和法、求根法和幕法. 求和法的步骤如下：a）将A的每一列向量归一化得矩阵W = a / 工 a .ij ij iji=1b）对矩阵w按行求和得向量ij
10、w = (w ,w ，,w)T，1 2 n其中 w = w .i ijj=1c）归一化向量w =（ wi,叫，,讣得到向量w = (w , w，w)T，12 n其中=w / 工 w .ijj=1该向量即为所求的特征向量的近似.d）计算Aw得到向量q, a2，,讣1 n ae）计算九=乞1这就是要计算的最大特征值的近似.nwj =1 j求根法的步骤和求和法的基本相同，只是将步骤b）改为:bz ）对矩阵w按行求积并开n次方得向量ijw = (w ,w，,w )t ,12 n其中j=1ij其它步骤完全相同.幕法是用迭代格式求特征值与特征向量的，它的步骤如下a）任取一n维归一化的初始向量w（0）；b）
11、计算w（k+1） = Aw（k）, k = 0,1,2, C）归一化向量w（k +1）得到向量w（k+1）,即 w（ k+1） = w（ k+1） / 工 w（ k+1）.ii=1d）对于预先给定的精度e，当下式成立时I w（k+1） w（k） | n.而且九(A) - n越大，不一致程度越严重.令 max max九(A) nn -1将CI作为衡量比较矩阵A的不一致程度的标准，称CI为一致性指标.CI = max当判断矩阵A的最大特征值九(A)稍大于n时，称A具有满意的一致性用这种方法 max定义的一致性是不严格的，还必须给出度量指标.Saaty提出结合平均随机一致性指标RI来检验比较矩阵A是
12、否具有满意的一致性平均随机一致性指标是多次(500次以上)重复进 行随机判断矩阵特征根计算之后取算术平均得到的具体的，对于固定的n，随机地从1,n(n -1)2, ,9,1/2,1/3, ,1/9这17个数中选取个构造比较矩阵A.这样的A是不一致 的，取充分大的子样得到A的最大特征值的平均值九，则maxmaxn -11986年，龚木森、许树柏通过重复计算1000次判断矩阵后得出的115阶的平均随机一致性指标如下：CR 二CIRI表 8.1.2 平均随机一致性指标的值阶数12345678R.I.000.520.891.121.261.361.41阶数9101112131415R.I.1.461.491.521.541.561.581.59则称CR为随机一致性比率当CR 0.1时，认为比较矩阵具有满意的一致性；否则，必须 重新调整比较矩阵A，直到它达到满意的一致性为止.总之，比较矩阵 A 的一致性检验分为以下几步：1 ）计算一致性指标 CI ；2）查找平均随机一致性指标（见表8. 1 . 2）；3）计算随机一致性比率CR ；当CR 0.1时，一般认为判断矩阵的一致性是可以接 受的.否则应对判断矩阵作适当的修正.层次总排序及其一致性检验 计算同一层次所有因素对于总目标（最高层）相对重要性的排序权值，称为层次总排序.这一过
