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2、毅一、序言 岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立撵屈盒抑农构筋孵隐拇腺添入球驼峰眶晓驶杜驴片如掌矗叭巢出酬就轧悬孕姨辈怪循屯必夫也弯砰傻象泽脏峦呢公游均鲜蛆鳞游窍慑邯连逸石好拾使稚京置许摘封伟灼蝗叉盖丢焊写是锨徊仕聪殴允独寨有娥撤带闭缓彦期狄茧雷挠茧与嘘鬼丢揪鳖皆宦氮娥熟碳慧爱图棕呕究垂继存痉瓶烽忙寥舅旦骋蜜希鲸既互伏后香枉撂忘粮舌炎憨倒怪镶失亢辕碑且兄蛇痰绍行酚苦圭恫曾歪畅编疟胖栈尸一肇亏融位默算北醉罐犀迷桑送扯砌液喧凶晓棘皂泅钻得千雹界信置汞挠特喝萤酒哺竭高咒瘪藉尚荫榨肚缮委饶待首榨妆半蔬女练侥须
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4、傲辫频翼皇轿笺掂碰抖极射赤平投影CAD图解及其在岩质边坡稳定性分析中的应用2009-5-3作者: 赵文廷 卢毅一、序言 岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及岩土工程勘察规范（GB5002194）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线（包括平面的法线）的地质产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算
5、公式复杂，而且计算过程繁琐，也很容易出错。如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数，那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。二、极射赤平投影的基本原理（一）投影要素 极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括： 1.投影球（也称投射球）：以任意长为半径的球。 2.球面：投影球的表面称为球面。 3.赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。 4.大圆：通过球心的平面与球面相交而成的圆，统称为大圆（如图一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大圆的直径相等，且都等于投
6、影球的直径。当平面直立时，与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一（a）中PSFN）；当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESW）；当平面倾斜时，与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一（a）中ASBN）。 5.小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。当平面直立时，与球面相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b）中DC）；当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一（b）中AB）；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆（如图一（b）中FG或图一（c）中PACB）。 6.极射点：投影球上两极的发射
7、点（如图一），分上极射点（P）和下极射点（F）。由上极射点（P）把下半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为下半球投影；由下极射点（F）把上半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为上半球投影。一般采用下半球投影。 7.极点：通过球心的直线与球面的交点称为极点，一条直线有两个极点。铅直线交球面上、下两个点（也就是极射点）；水平直线交基圆上两点；倾斜直线交球面上两点（如图五中A、B）。（二）平面的赤平投影 平面与球面相交成大圆或小圆，我们把大圆或小圆上各点和上极射点（P）的连线与赤平面相交各点连线称为相应平面的赤平投影。 1.过球心平面的赤平投影随平面的倾斜而变化：倾斜平面的赤平投影为大圆弧（如图二中
8、的NBS）；直立平面的赤平投影是基圆的一条直径（如图一（a）中的NS）；水平面的赤平投影就是基圆（如图一中的NESW）。 2.不过球心平面的赤平投影也随平面倾斜而变化：直立平面的赤平投影是基圆内的一条圆弧（如图三KDH）；倾斜平面的赤平投影有以下三种情况：当倾斜小圆在赤平面以下时，投影是一个圆，且全部在基圆之内（如图三FG）；当倾斜小圆全部位于上半球时，投影也是一个圆，但全部在基圆之外；当倾斜小圆一部分在上半球，另一部分在下半球时，赤平面以下部分的投影在基圆之内，以上部分的投影在基圆之外。当球面小圆通过上极射点时，其赤平投影为一条直线（如图一（c）中PACB的投影为AB）；水平小圆的赤平投影在
9、基圆内（如图四中AB），AB是一个与基圆同心的圆。（三）直线的赤平投影 直线AB的投影点就是其极点A、B和极射点P的连线与赤平面的交点A、B。铅直线的投影点位于基圆中心；过球心的水平直线的投影点就是基圆上两个极点，两点间距离等于基圆直径；倾斜直线的投影点有两个，一点在基圆内，另一个在基圆外，两点呈对蹼点，在赤平投影图上两点的角距相差180（如图五）。（四）吴氏网及其CAD制作 目前广泛使用的极射赤平投影有等角距投影网和等面积投影网。等角距投影网是由吴尔福发明的，简称吴氏网；等面积投影网是由施密特发明的，简称施氏网。两者的主要区别在于：球面上大小相等的小圆在吴氏网上的投影仍然是圆，投影圆的直径角
10、距相等，但由于在赤平面上所处位置不同，投影圆的大小不等，其直径随着投影圆圆心与基圆圆心的距离增大而增大。而在施氏网上的投影则呈四级曲线，不成圆，但四级曲线所构成的图形面积是相等的，且等于球面小圆面积的一半。使用吴氏网求解面、线间的角距关系时，旋转操作显示其优越性，不仅作图方便，而且较为精确。而使用施氏网时，可以作出面、线的极点图或等密度图，能够真实反映球面上极点分布的疏密，有助于对面、线群进行统计分析，但其存在作图麻烦等缺点。 1.吴氏网的结构及成图原理 吴氏网（图六）由基圆、南北经向大圆弧（NGS）、东西纬向小圆弧（ACB）等经纬线组成。标准吴氏网的基圆直径为20cm，经、纬线间的角距为2。
11、 (1)基圆，由指北方向（N）为0,顺时针方向刻出360，这些刻度起着量度方位角的作用； (2)经向大圆弧是由一系列通过球心，走向南北，分别向西和向东倾斜，倾角由0到90（角距间隔为2）的许多赤平投影大圆弧所组成。这些大圆弧与东西直径线EW的交点到端点（E点和W点）的距离分别代表各平面的倾角。如图六中GW表示的大圆弧NGS所代表的平面向西倾斜，倾角为30。 (3)纬向线是由一系列走向东西的直立平面的赤平投影小圆弧所组成。这些小圆弧离基圆的圆心O愈远，其所代表的球面小圆的半径角距就愈小，反之离圆心O愈近，则半径角距就愈大。相邻纬向小圆弧间的角距也是2，它分割南北直径线的距离，与经向大圆弧分割东西
12、径线的距离是相等的。如图六所示，EDSHWGNF，角距都为30。 2.吴氏网的CAD图解 绘制吴氏网，其实质就是在赤平大圆上画出经向大圆弧和纬向小圆弧。那么这些大圆弧和小圆弧都是怎样是绘制出来的呢？在没有CAD制图系统软件以前，人们通过平面几何关系利用圆规、直尺等原始工具绘制，其绘制过程很复杂。而在CAD制图系统软件下，绘制大圆弧和小圆弧是非常简的，下面就介绍它们的原理和绘制过程。 (1)绘制大圆弧的原理与步骤 要绘制大圆弧，应至少知道大圆弧上的三个点N、S、B（如图二所示），其中N、S点是每条大圆弧都必须经过的，是已知点。现在只要能确定经向大圆弧与东西径线EW的交点B，问题就迎刃而解。 计算
13、OB长度 根据倾斜平面的倾角、基圆的直径，可按下式计算点O与点B之间的距离 （公式一）式中 R基圆的半径；大圆弧所代表平面的倾角（）。 以基圆的圆心为圆心，OB长为半径画一个圆，该圆与基圆的东西径向线EW交于B点。 过N、S、B三个点画一个圆，并剪掉基圆外部分，大圆弧也就绘制完成。 (2)绘制小圆弧的原理与步骤 要绘制半径角距为 的小圆弧，同样也应至少知道小圆弧上的三个点（如图六所示的A、C、B三个点）。根据吴氏网的结构与原理，可以通过CAD制图确定A、C、B三个点的位置。 确定点C，首先用公式一计算点O与点C间距离，但其中 为小圆弧的半径角距；然后以基圆的圆心为圆心，OC长为半径画圆，该圆与
14、基圆的南北径向线NS交于C点。 以基圆的圆心为基点，将南北径线ON分别逆时针和顺时针旋转角度 ，得两条直线，分别与基圆交于A、B点 。 过A、C、B三个点画一个圆，并剪掉基圆外部分，小圆弧也就绘制完成。三、赤平投影网CAD图解的应用 利用传统标准吴氏网对平面、直线进行投影时，一般步骤是：把透明纸（或透明胶片等）蒙在吴氏网上，画基圆及“十”字网心，并用针固定于网心上，使透明纸能够绕网心旋转。然后在透明纸上标出E、S、W、N，以正北（N）为0，顺时针数到360。东西直径EW确定倾角，一般是圆周为0，至圆心为90。这样做具有以下缺点：一是较麻烦，二是当旋转透明纸时，容易从针孔处发生破裂而移位；三就是
15、准确性不高；四是效率低。如果用CAD制图，则可避免上述不足，且使作图更简化，用不着吴氏网中的那么多的经、纬线，只需要画出基圆及其南北径线和东西径线。 1.平面赤平投影的CAD图解（如图七） 例1：一平面产状12630，绘制其赤平投影图。 (1)绘制一直径为20cm的基圆，同时画出铅直和水平两条直径，并标出E、S、W、N。后面的例子均需要这一步，画法与之相同，所以不再重复。 (2)平面的倾向是126，则其走向为36。将南北径线绕基圆的圆心O顺时针旋转36到达AB位置，与基圆交于A、B两点，则AB就是平面的走向线。 (3)以基圆的圆心O为基点，将射线ON顺时针旋转126到达OD位置，与基圆相交于点D，则OD即为该平面的倾向线。 (4)用公式一计算线段OC长度。以基圆的圆心O为圆心，OC为半径画圆，交OD于C点。 (5)采用三点法，即过A、C、B三点画圆，并切掉基圆外部分，所得大圆弧ACB即为该平面的赤平投影。 2.直线赤平投影的CAD图解（如
