高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一.函数的观卷两个无量小的比较设limf(x)0,limg(x)0 且 limf(x)lg(x)sinx~x , tanx~x , arcsinx~x , arccosx ~x,f(x)~g(x)〔1〕l=0 ,称f(x)是比g(x)高阶的无量小，站以叼x)=0[彳g(x)],称g(x)是比f(x)低阶1?cosx~xA2/2 ) ex?1~x, ln(1x)~x, (1 x) 1~ x买极限/的万法11V可代有界然烈极限必定存在么2.〔夹遍定浚g(x)^f(x)wh(x)假定limg(x) A,limh(x)A ,那么 limf(x)A2.两个重要公式二公式 1 limsinxx0 xlim(公式 2 1 x)1/x e，x05.洛必达法那么富啰柳曦襄成斓£滩蛹辘幡小更深层次〔1〕limf(x)0 , limF(x) 0;-0；〔2〕f(x)与F(x)在x0的某一去心邻域内可与，且F(x厂f(x)〔3」limXx ；0F(x)这个定理说明:lim m(X)为无量大时,-存在〔或为无量大〕，那乞^^)= (jmf(x)Xx0F(x) XX0F(x)当lim'(x)存在时，lim *x)也存在且等于lim T—>xx0F(x)xx0F(x)limf(x)也是无量大.f(x)T 当xx0F(x)xxoRx)这类在必定条件下经过分子分母分别求导再求极限来确立不决式的极限值的方法称为洛必达〔LHospital〕法那么. 型不决式定理2"设函数f(x)、F(x)知足以下条件：〔1〕lim f(x) , limF(x) ；XX 0- -XX 0--〔2〕f(X)^ F(X)在X0的营一去心邻域内可与，且〔3〕limf(X)存在〔或为无量大〕，那么limF(x)厘 0;f(x) lim f(x)xx0F(x)' ^x0F(x)-x^0F(x)注：上述对于xxo时不决式8型的洛必达法那么，对于X于 时不决式国型相同适用.使用洛必达法那么时一定注意以下几点：〔1〕洛必达法那么只好合用于“ 0〃和“宝〃型的不决式，其余的不决式须先化简0士〃型才能运用该法那么;力7群撼MSQ假落诏嬖么所以，在该法那么无效时其实不可以判定原极限不存根本公式lim f(x0x07.利用定积分定义求极限根本格式lim1 n f()n n k1Tnx) f(X0)f(X0)(假如存在〕X1+△ f(x)dx〔假如存在〕o.三.函数的中断点的分类函数的中断点分为两类：〔1〕第一纠加与、一』设x0是函数y=f(x)的中断点。
假如f(x)在中断点X0处的左、右极限都存在，那么称 X0是 f(x)的第一类中断点左右极限存在且相同但不等于该点的函数值为可去中断点左右极限不存在 为跳跃中断点第一类中断点包含可去中断点和跳跃中断点〔2〕第二类中断点第一类中断点之外的其余中断点统称为第二类中断点常有的第二类中断点有无量中断点和振荡中断点四．闭区间上连续函数的性质在闭区间 ［a,b］ 上连续的函数f(x) ，有以下几个根天性质这些性质此后都要用到定理1.〔有界定理〕假如函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，那么f(x)必在［a,b］上有界 定理2.〔最大值和最小值定理〕假如函数 f(x)在闭区间［a,b］上连续，那么在这个区间上必 定存在最大值M 和最小值 m 定理3.〔介值定理〕假如函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，且其最大值和最小值分别为M和m,那么对于介于 m和M之间的任何实数c,在［a,b］上起码存在一个 工)使得f(七)=c推论：假如函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，且f(a)与f(b)异号，那么在(a,b)内起码存在 一个点2 ,使得f( 2 )=0这个推论也称为零点定理第二章导数与微分一.根本观点L司岁串斓，，都能够推出，可是不可以推出可微和可'(t产 0, dy 1(t)dx '(t)S♦赢麻1|函数的运算法x=(t),y=⑴确立函数y=y(x),此中 ‘(t),'(t)存在，且反函数求法一y=f(x)的皮函数x=g(y),二者皆可，且f' (x)w011g1(y)f1(x)f'(g(y))sin(x〔ysinx,⑻12〕ycosx,y(n)(f'(x)0)cos(x而后写出2n ) 2(5)ylnx,y⑺ (1)n1(n 1)!x n•.罗尔定理I?'的表达式〔允出y量〕第三章微分中值定理与导数应用71幅y函数的n数公志设函数f(x)知足〔1〕在闭区间［a,b］上连续；〔2〕在开区间(a,b)内可与；〔3〕f(a)=f(b)那么存在工€ (a,b),使得f'(2)=0二.拉格朗日中值定理设函数f(x)知足〔1〕在闭区间［a,b］上连续；〔2〕在开区间(a,b)内可与；那么存在 E C(a,b),使得 f(b) f(a)f'()谓叫1击极端"购,g(xa般曲,b)曷理1f _做了0，(康自'即华(楼蚣瑞超脐仇f(x)=g(x)+c ,此中c为一个常 设需限用枭踪撰足：〔1〕在闭区的⑶厉上皆连续；〔2〕在开区间(a,b)内皆可导；且g' (x)w0那么存在七W(a,b)使得f(b)f(a)g(b) g(a)［廷护柯队中值定理为拉格朗日中值定理的推行，特别情况f'() (ab)g'()g(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中〔麦克劳林〕〕0x质据%bn脐n+孑和数，在［a而上有n阶连反导数，那么对xW [a,b],有公式称为拉格朗日余项上边睁开式称为以0(x)为中心的n阶泰勒公式。
当x0=0时, 常用公式(前8个)五.导数的应用丁・根本知识设函数,f(x)奄太；］心口 £丹瑞L xo等”蠡/叫rL 源国时,％ 花—井里处可 阻叼% f(x)的一小极伍点，而么划也称为n阶麦克劳林公式O(XfO1O我们称X知足f,(X0)0的X0称为f(x)的驻点，可与函数的极值点必定是驻点，反之不 驻点或不行导点，讲以只需从这两种点中进一步去判断X0 时,f (X) 0,当f(x)在X0的邻域内可由 且f(X0)0,那么①假定当XX X0 时，f(X) 0,当 XX0X0的双f<(X)不变号；那会X0不是极< * W »0,那么0,那么①假定f(X0)X0XX0时，f(X)0,那么X0为极大值点；②假定当0,那么X0为极小值点；③假定在时，f(X) 侧’二f(X)在 X0处二阶可与，且 f (X0)0, f(X0),那么X0为极小值为极大值点；②假定f(X0)0 一点.嬲浦黜M曲皴比曲给对海翻福皿刖点12x,x,恒有fB么称f(X)在I上是凸〔凹〕的 在几何上，曲线y=f(X)上随意两点的割线在曲线下〔上〕面，那么 y=f(X)是凸F凹〕的假如曲线y=f(X)有切线的话，每一点的切线都在曲线之上〔下〕那么 y=f(X) 是凸〔凹〕 的。
2 .拐点的定义曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点3 .凹凸性的鉴别和拐点的求法设函数f(X)在(a,b)内拥有二阶与数f'(X),，恒有f''(X)?那么曲线在 内是凹的；假如在(a,b)内的每一点X>0y=f(X) (a,b)f''(X)?那么曲线假如在(a,b)内的每一点X,恒有<0y=f(X)在(a,b)内是凸的求曲线y=f(X)的拐点的方法步骤是： 第一步：求出二阶与数f'(X)；第二步：求出使二阶导数等于零或二阶与数不存在的点Xi,X2，…Xk；第三步：对于以上的连续点，查验各点两边二阶与数的符号，假如符号不一样，该点就是拐点的 横坐标；第四步：求出拐点的纵坐标三.渐近线的求法四.繁嵋不定积分一.根本积分表:换元积分法和分部积分法换元积分法〔1〕第一类换元法〔凑微分〕：f[(x)] (x)dx〔2〕第二类换元法〔变量代换〕：分部积分法使用分部积分法时被积函数中谁看作f(u)du[① (X ( H 'jj(X(X& 1(X)f(x)dx f[ (t)] (t)dtu(x)|谁看作v'(x)4必定规律V~ _记着口诀，反对曷指三为 u(x),靠前就为u(x),比如exarcsinxdx ,应当是arcsinx为 u(x),由于反三角函数排在指数函数以前，同理能够推出其余。
三.有理函数积分P(x)有理函数： f(x),此中P(x)和Q(x)是多项式Q(x) 简单有理函数： P(x) ⑵ f(x)(xa)(x_ b)P(x)(3)f(x) (x a)2b1、“拆〃；2、变量代换〔三角代换、倒代换、根式代换等〕^mMhdlL"h Mnil第五章定积分一.观点与性质定义:bf(x)dxnlimof(1、ii1(x)f(t)dt f[a(x)](x)f[(x)] f(x"ii行:dx(x)(x)bf(x)dx F(b) F(a)aN —L公式：假定F(x)为f(x)M」个原函数，那么4.定积分的换元积分法和分部积分法二.定积分的特别性质 第六章定积分的应用 一.平面图形的面积1.直角坐标：A a[f2(x)fi (x)]dx2.极坐标:22()2()]d体积1 .旋转体体积:a)曲边梯形yf(x),xb— ia,xb,x轴，绕x轴旋转而成的旋转体的平 日 6体积：Vxf 2(x)dxa积:Vb2xf(x)dx〔柱壳法〕 ab)曲边梯形y = f(x),xa,xhx轴，绕y轴旋转而成的旋转体的体二.弧长1.2. s3. 直角坐标：4.5. s6. 参数方程：[p 0 ]()2fp * a I()2d第七章微分方程一.观点微分方程：表示未知函数。