知识点复习知识点梳理 （一）正弦定理：（其中R表达三角形的外接圆半径）合用情况：（1）已知两角和一边，求其他边或其他角； （2）已知两边和对角，求其他边或其他角 变形：① ，， ②，， ③ =④（二）余弦定理：=（求边），cosB=（求角）合用情况：（1）已知三边，求角；（2）已知两边和一角，求其他边或其他角三）三角形的面积：①；②；③； ④；⑤；⑥（其中，r为内切圆半径）（四）三角形内切圆的半径：，特别地，（五）△ABC射影定理：，…（六）三角边角关系：（1）在中，；； ； （2）边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b；（3）大边对大角：考点剖析（一）考察正弦定理与余弦定理的混合使用例1、在△ABC中，已知Ａ＞Ｂ＞Ｃ,且Ａ=2Ｃ, ,求的长.例1、解：由正弦定理，得 ∵Ａ＝２Ｃ ∴∴ 又 ∴ ①由余弦定理，得 ②入②，得 ∴例2、如图所示，在等边三角形中，为三角形的中心，过的直线交于，交于，求的最大值和最小值．例2、【解】由于为正三角形的中心，∴，，设，则，在中，由正弦定理得：，∴，在中，由正弦定理得：，∴，∵，∴，故当时取得最大值，所以，当时，此时取得最小值．变式1、在△ABC中，角A、B、C对边分别为，已知，（１）求∠Ａ的大小；（２）求的值变式1、解（１）∵∴在△ABC中，由余弦定理得 ∴∠Ａ＝（２）在△ABC中，由正弦定理得∵ ∴变式2、在中，为锐角，角所对的边分别为，且（I）求的值； （II）若，求的值。
变式2、解（I）∵为锐角， ∴ ∵ ∴ （II）由（I）知，∴ 由得，即又∵ ∴ ∴ ∴ （二）考察正弦定理与余弦定理在向量与面积上的运用例3、如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？例3、解：设，在△AOB中，由余弦定理得： 于是，四边形OACB的面积为 S=S△AOB+ S△ABC 由于，所以当，，即时，四边形OACB面积最大．例4、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，．（1）求角C的大小； （2）求△ABC的面积．例4、解：（1）由 ∴ 4cos2C－4cosC＋１＝０解得 ∵0°＜C＜180°,∴C=60° ∴ C＝60°（2）由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C 即 7＝a2＋b2－ab ①又a＋b＝5 ∴a2＋b2＋2ab＝25 ②由①②得ab＝6∴ S△ABC＝ 变式3、已知向量，，且，其中是△ABC的内角，分别是角的对边.(1) 求角的大小；（2）求的取值范围.变式3、解：（1）由得由余弦定理得∵ ∴(2)∵ ∴∴=∵ ∴∴ ∴即.（三）考察三角形形状的判断例5、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c, b=acosC,且△ABC的最大边长为12，最小角的正弦值为。
1） 判断△ABC的形状；（2） 求△ABC的面积例5、解：（1） b=acosC，由正弦定理，得sinB=sinAcosC, （#）B=, sinB=sin(A+C),从而（#）式变为sin(A+C)= sinAcosC，cosAsinC=0,又A，CcosA=0，A=，△ABC是直角三角形2）△ABC的最大边长为12，由（1）知斜边=12，又△ABC最小角的正弦值为，Rt△ABC的最短直角边为12=4，另一条直角边为S△ABC==16变式4、在△ABC中，若.(1)判断△ABC的形状； (2)在上述△ABC中，若角C的对边，求该三角形内切圆半径的取值范围变式4、解：（1）由 可得 即C＝90° △ABC是以C为直角顶点得直角三角形 （2）内切圆半径 内切圆半径的取值范围是例7、在△ABC中，已知，，试判断△ABC的形状所以，△ABC为等边三角形变式8、在△ABC中，cos2＝，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为 A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形∴＝，∴a2＋c2－b2＝2a2，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．答案：B变式9、△ABC中，若sinA=2sinBcosC，sin2A=sin2B+sin2C，试判断△ABC的形状。
变式9、解:等腰直角三角形;数列知识点一：通项与前n项和的关系 任意数列的前n项和； 注意：由前n项和求数列通项时，要分三步进行： （1）求， （2）求出当n≥2时的， （3）假如令n≥2时得出的中的n=1时有成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式.知识点二：常见的由递推关系求数列通项的方法1.迭加累加法： ， 则，，…， 2.迭乘累乘法： ， 则，，…， 知识点三：数列应用问题 1.数列应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需运用数列知识建立数学模型. 2.建立数学模型的一般方法环节. ①认真审题，准确理解题意，达成如下规定： ⑴明确问题属于哪类应用问题； ⑵弄清题目中的重要已知事项； ⑶明确所求的结论是什么. ②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达. ③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式）.规律方法指导 1.由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想； 2.数列是一种特殊的函数，学习时要善于运用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等. 3.加强数列知识与函数、不等式、方程、对数、立体几何、三角等内容的综合.解决这些问题要注意： （1）通过知识间的互相转化，更好地掌握数学中的转化思想； （2）通过解数列与其他知识的综合问题，培养分析问题和解决问题的综合能力.经典例题精析类型一：迭加法求数列通项公式1．在数列中，，，求.总结升华： 1. 在数列中，，若为常数，则数列是等差数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等差数列. 2.当数列的递推公式是形如的解析式，而的和是可求的，则可用多式累（迭）加法得.举一反三： 【变式1】已知数列，，，求. 【变式2】数列中，，求通项公式.类型二：迭乘法求数列通项公式2．设是首项为1的正项数列，且，求它的通项公式.总结升华： 1. 在数列中，，若为常数且，则数列是等比数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等比数列. 2．若数列有形如的解析关系，而的积是可求的，则可用多式累（迭）乘法求得.举一反三： 【变式1】在数列中，，，求.【变式2】已知数列中，，，求通项公式.类型三：倒数法求通项公式 3．数列中，,，求.总结升华： 1．两边同时除以可使等式左边出现关于和的相同代数式的差，右边为一常数，这样把数列的每一项都取倒数，这又构成一个新的数列，而恰是等差数列.其通项易求，先求的通项，再求的通项. 2．若数列有形如的关系，则可在等式两边同乘以，先求出，再求得.举一反三： 【变式1】数列中，，，求. 【变式2】数列中，,，求.类型四：待定系数法求通项公式4．已知数列中，，，求.总结升华： 1．一般地，对已知数列的项满足，（为常数，）,则可设得，运用已知得即，从而将数列转化为求等比数列的通项.第二种方法运用了递推关系式作差，构造新的等比数列.这两种方法均是常用的方法. 2．若数列有形如（k、b为常数）的线性递推关系，则可用待定系数法求得.举一反三： 【变式1】已知数列中，，求 【变式2】已知数列满足,并且，求这个数列的通项公式.类型五：和的递推关系的应用 5．已知数列中，是它的前n项和，并且, . (1)设,求证：数列是等比数列； (2)设，求证：数列是等差数列； (3)求数列的通项公式及前n项和.总结升华：该题是着眼于数列间的互相关系的问题，解题时，要注意运用题设的已知条件，通过合理转换，将非等差、等比数列转化为等差、等比数列，求得问题的解决运用等差（比）数列的概念，将已知关系式进行变形，变形成能做出判断的等差或等比数列，这是数列问题中的常见策略.举一反三： 【变式1】设数列首项为1，前n项和满足. （1）求证：数列是等比数列； （2）设数列的公比为，作数列，使，，求的通项公式. 【变式2】若, ()，求. 【变式3】等差数列中，前n项和，若.求数列的前n项和.类型六：数列的应用题 6.在一直线上共插13面小旗，相邻两面间距离为10m，在第一面小旗处有某人把小旗所有集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？总结升华：本题属等差数列应用问题，应用等差数列前项和公式，在求和后，运用二次函数求最短路程.举一反三： 【变式1】某公司2023年12月份的产值是这年1月份产值的倍，则该公司2023年年度产值的月平均增长率为（ ） A． B． C． D． 【变式2】某人2023年1月31日存入若干万元人民币，年利率为，到2023年1月31日取款时被银行扣除利息税（税率为）共计元，则该人存款的本金为（ ） A．1.5万元 B．2万元 C．3万元 D．2.5万元【变式3】根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的个月内累积的需求量（万件）近似地满足.按比例预测，在本年度内，需求量超过万件的月份是( ) A．5月、6月 B．6月、7月 C．7月、8月 D．9月、10月 【变式4】某种汽车购买时的费用为10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，次年4千元，第三年6千元，依次成等差数列递增，问这种汽车使用多少年后报废最合算？（即年平均费用最少）【变式5】某市2023年终有住房面积1200万平方米，计划从2023年起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年终住房面积的5%. （1）分别求2023年终和2023年终的住房面积； （2）。