断开式转向梯形数学模型推导理想的左右转向轮转角关系图1汽车转向示意图图1为汽车前轮转向示意图为了避免在汽车转向时产生的路面对汽车行驶的附加阻力和轮胎磨损过快，要求转向系统即可能保证在汽车转向时，所有的车轮均作纯滚动显然，这只有在所有车轮的轴线都相交于一点时方能实现此交点被称为转向中心如图所示，汽车左转弯时，内侧转向轮转角a应大于外侧车轮的转角伎当车轮被视为绝对刚体的假设条件下，左右转向轮转角a和B应满足Ackermann转向几何学要求，如式（1）所示住Bcot:=cot：-一（1）L其中：a—内侧转向轮转角；3—外侧转向轮转角；B—两侧主销轴线与地面相交点之间的距离；L—汽车前后轴距；R-转弯半径根据式（1）可得理想的右轮转角，如式（2）2)3）所示3)tarot=arctanB1v:tanL同理，当汽车右转向时，Ackermann转角关系如式cot二cot［旦L根据式（3）可得理想的右轮转角，如式4所示'0=arctan(4)B1tan■■L实际的左右转向轮转角关系图2是一种含有驱动滑块的常用断开式转向梯形机构轮齿条转向机构将方向盘的旋转运动转化成齿条（滑块）的直线运动，继而驱动转向梯形机构实现左右前轮转向。
IV图2由齿轮齿条转向机驱动的断开式转向梯形机构图中：Li—转向机齿条左右球铰中心的距离；L2—左右横拉杆的长度；L3—左右转向节臂的长度；Lw—车轮中心至转向主销的距离；&—转向齿条从中心位置向左的位移量；S2—转向齿条从中心位置向左的位移量；y—转向齿条左右球铰中心连线与左右转向主销中心连线之偏距，图示位置取正值，反之取负值;So—直线行驶时，转向齿条左球铰中心和左转向主销的水平距离；：-0—转向节臂与汽车纵轴线的夹角运用余弦定理和三角函数变换公式，经推导可得:—222—Cy-S、AB-Ccos:=cos(/AOB亠.BOY)22L3(SA点的坐标值为:Cxs—yHJa2+B2_C2BXa-2(y■S)2CyS•.A2园B2-C22丄一22(y-S)其中:A—2L3S,22B=-2L3y,C=L2-L3-yS—表示转向齿条左球铰中心和左转向主销中心的实际距离，对于直线行驶时，S=So；转向时，对于左转向轮：S=S0-S右转向轮：S=S0•S由此得到左转向轮转角随齿条运动的方程，如式(5)所示；右转向轮如式(6)所示当A点位于O点的左侧一一即Xa>B时：26Xy+S工Ja；+B；_C；/「、:-二二■arccos；°(5a)222L3(y-S)B当A点位于O点的右侧——即Xa>—时：2CiXy+SX:-={二-arccos-22亠Bi..C12}-ao2L3(y-S)当A点位于0点的左侧一一即Xa>B时:2—I222_c2汇y+s江、/a2+b2—c2-=：o-{--arccos-2.2T2L3(y-S)B当A点位于0点的右侧——即Xa>—时:2■-_222C?龙y+(s°+S)疋Ja?+B?—C?222L3[y-(So-S)]1. 0一{二-arccos22}(5b)(6a)(6b)优化目标函数和约束条件的确定优化目标函数的确定由于现有的转向梯形机构并不能够完全满足Ackermann转向几何学要求，实际上只能在一定的车轮转角范围内，使两侧车轮偏转角的关系大体上接近于理想关系。
同时，Matlab软件中提供了非线性规划的相关优化函数，因此，本着最大限度地逼近理想的阿克曼转角的原则，我们采用离散化方法，给出了优化设计目标函数为：nf八r-⑺2iz!其中：■-—右侧转向轮的实际转角；'-0—右侧转向轮的理想转角；n—取值次数当F取得最小值时，即车轮实际转角与理想值最为接近，优化结果最为理想优化约束条件的确定对于一般汽车，其方向盘最大行程大约为_540（约三圈），轿车的转向系统传动比大约为12~20,转向轮最大转角约为27~45依据该轿车设计要求，其转向轮最大转角设计为35左右，而齿条的行程为：70mm由于横拉杆和转向节臂之间主要是传递力的作用关系，因此，在传动过程中，两杆之间应该尽可能地保持小的压力角，以保证两杆间压力角在规定的范围内根据该轮边驱动电动车的布置尺寸和上述设计基本要求，确定各优化变量的取值范围为：S[250,330];L2=[300,390];L3=[100,130];y=[-60,0]原车转向梯形尺寸设为设计变量的初值：2. S0=280mm,L2=350mm,L3=120mm,y--50mm优化结果及验证优化结果分析利用非线性最小二乘法对该转向梯形进行优化，优化结果如下：S0=296.7;L2=333.3;L3=129.9;y~-52.7车辆优化前后的理想和实际的汽车内外车轮转角的关系曲线如图3所示。
从图中可以看出，对于原转向梯形机构，当左轮转角超出-10:10（负号表示右转弯）范围后，实际转角与理想值既已产生偏差，左侧车轮转角为20时的偏差已达0.81，而在最大转角处的偏差为0.875，相对误差为2.84%；而优化后的转向梯形机构，当左侧车轮转角在_20:30范围内变化时，实际值与理想值能够很好地相吻合，只有在较大转角时，二者之间才产生了微小偏差，当左侧车轮转角达到最大时（约40°）,右侧车轮的实际转角与理想转角之间的差值为0.867，相对误差为2.8417%在转向轮转角范围内，选取30个点,计算优化目标函数值，对于原转向梯形机构，其函数值为0.0043，而优化后下降为0.0020010—宴薪畀角矢素——理漏舗美車1D152d253035«（a）（b）图3汽车内外侧车轮转角关系由于压力角影响着转向过程中的动力传递效率，优化后的转向梯形的转向节臂与转向横拉杆之间的压力角1的变化曲线如图4所示从图中可以看出，该压力角在车轮转角的大部分变化范围内都保持较小值，即较高的传动效率，只有当左侧（或右侧）车轮达到或者接近于左转（或右转）时的极限转角时，压力角才比较大，由于汽车进行极限转向的频率比较低，因此，优化结果可行。
图4i变化曲线图52变化曲线■as图6转向系传动比变化曲线MWF转向横拉杆与转向齿条之间的压力角2变化如图5所示从图中可以看出，在整个车轮转角范围内,该压力角都保持了很小的值，即很高的传动效率，因此，优化结果可行虚拟样机试验验证分析建立该车辆转向系统的虚拟样机模型，系统尺寸、位置参数采用优化后的参数，虚拟仿真试验结果如图3〜5中的虚拟样机试验虚拟样机试验验证了优化结果的有效性。