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1、 第四章 不定积分教学目的：1、 理解原函数概念、不定积分的概念。2、 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）与分部积分法。3、 会求有理函数、三角函数有理式和简朴无理函数的积分。教学重点：1、 不定积分的概念；2、 不定积分的性质及基本公式；3、 换元积分法与分部积分法。教学难点：1、 换元积分法；2、 分部积分法；3、 三角函数有理式的积分。4. 1 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 定义1 如果在区间I上, 可导函数F(x)的导函数为f(x), 即对任一xI, 均有F (x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx, 那么函数F(x)就称为f
2、(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数. 例如 由于(sin x)=cos x , 因此sin x 是cos x 的原函数. 又如当x (1, +)时, 由于, 因此是的原函数. 提问: cos x和尚有其他原函数吗？ 原函数存在定理 如果函数f(x)在区间I上持续, 那么在区间I上存在可导函数F(x), 使对任一x I 均有F (x)=f(x). 简朴地说就是: 持续函数一定有原函数. 两点阐明: 第一, 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x), 那么f(x)就有无限多种原函数, F(x)+C都是f(x)的原函数, 其中C是任意常数. 第二, f(x)的任意两个原函数之间只差一种常数
3、, 即如果F(x)和F(x)都是f(x)的原函数, 则F(x)-F(x)=C (C为某个常数). 定义2 在区间I上, 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分, 记作 . 其中记号称为积分号, f(x)称为被积函数, f(x)dx称为被积体现式, x 称为积分变量. 根据定义, 如果F(x)是f(x)在区间I上的一种原函数, 那么F(x)+C就是f(x)的不定积分, 即. 因而不定积分可以表达f(x)的任意一种原函数. 例1. 由于sin x 是cos x 的原函数, 因此 . 由于是的原函数, 因此 . 例2. 求函数的不定积分. 解：当x0
4、时, (ln x), (x0); 当x0时, ln(-x), (x0时, . 即 . 例9. . 即 . 例10. . 例11. . 含三角函数的积分: 例12. . 例13. . 例14. . 例15. . 例16. . 例17. =ln |csc x -cot x |+C . 即 =ln |csc x -cot x |+C . 例18. =ln |sec x + tan x | + C. 即 =ln |sec x + tan x | + C. 二、第二类换元法 定理2 设x =j(t)是单调的、可导的函数, 并且j(t)0. 又设f j(t)j(t)具有原函数F(t), 则有换元公式.其中
5、t=j-1(x)是x=j(t)的反函数. 这是由于 . 例19. 求(a0). 解: 设x=a sin t , , 那么, dx =a cos t d t , 于是 . 由于, , 因此. 解: 设x=a sin t , , 那么 . 提示:, dx=acos tdt .提示: , . 例20. 求(a0). 解法一: 设x=a tan t, , 那么=a sec t , dx=a sec 2t d t , 于是= ln |sec t + tan t |+C . 由于, , 因此= ln |sec t + tan t |+C, 其中C 1=C-ln a . 解法一: 设x=a tan t, ,
6、 那么 =ln|sect+tant|+C , 其中C 1=C-ln a . 提示:=asect , dx=a sec 2t dt , 提示:, . 解法二: 设x=a sh t , 那么 ,其中C 1=C-ln a . 提示: =a ch t , dx =a ch t d t . 例23. 求(a0). 解: 当xa 时, 设x=a sec t (), 那么=a tan t , 于是= ln |sec t + tan t |+C . 由于, , 因此= ln |sec t + tan t |+C , 其中C 1=C-ln a . 当xa, 于是 , 其中C 1=C-2ln a . 综合起来有. 解: 当xa 时, 设x=a sec t (), 那么 ,其中C 1=C-ln a . 当xa, 于是 , 其中C 1=C-2ln a . 提示:=atant .提示:, . 综合起来有 . 补充公式: (16),(17),(18),(19),(20),(21),(22),(23), (24). 4. 3 分部积分法 设函数u=u(x)及v=v(x)具有持续导数. 那么, 两
