第五讲中值定理的证明技巧一、 考试要求1、 理解闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理，有界性定理，介值定 理)，并会应用这些性质2、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理(泰勒定理)，了解并会用柯西中 值定理掌握这三个定理的简单应用(经济)3、 了解定积分中值定理二、 内容提要1、 介值定理(根的存在性定理)(1) 介值定理 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值 m 之间 的任何值.(2) 零点定理设 f (x)在［a、b］连续，且 f (a) f (b) <0,则至少存在一点,ce (a、b),使得 f (c)=02、 罗尔定理 若函数/(兀)满足：(1)(2)加在嗣上连续 几力)在@上)内可导(3) f(a)= f(b)则一定存在弘(劝使得 m=o3、 拉格朗日中值定理 若函数于(力满足： (1) /⑴在［切上连续(2) /(X)在仗上)内可导则一定存在 §E,使得 f(b) - f(a) =a)4、 柯西中值定理 若函数/(x),g(x)满足：(1) 在［“］上连续(2) 在(°上)内可导(3) g©)H°则至少有一点歹 w(Q，b)使得 g(b)-gS) g'(§)5、泰勒公式如果函数/(X)在含有兀的某个开区间内具有直到 n + 1 阶导数，则当兀在 (G 上)内时，/(X)可以表示为兀-九的一个〃次多项式与一个余项 KO)之和，即t 2 n/ 3) = /(兀)+广(兀)3-兀)+寺厂(Xo)(X-X°)，+…+十严(兀。
)0-兀)” +恥) 恥)=:偌箸(x-xo)"+i其中 S+1)!&介于 X与兀之间).在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：1. 展开的基点；2. 展开的阶数；3. 余项的形式.其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公 式，在证 明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式.而基点和阶数，要根据具体的问题来确定.6、积分中值定理若 f(x)在［a、b］上连续，则至少存在一点 cC［a、b］,使得 「f (x) dx 二 f (c) (b~a)J a三、典型题型与例题题型一、与连续函数相关的问题(证明存在回使/(G = 0 或方程 f(x)=0 有根) 方法：大多用介值定理 思路：1)直接法f(x)满足：在［a, b］上连续；f(a)f(b)<0.2)间接法或辅助函数法例］、设/（X）在［a,b］上连续,a 0（i = 1,2,-- ,n）,证明 存在^E［a,b］,使得广（訂=仃/（“）+3（七）+ 5+6 +…+ c“+“m”）例 2、设 b> a>Q,f(x)在［a, b］上连续、单调递增，且/(x) > 0,证明存在 使得a2 f(b)+b2 f(a) = 2 鬥(§)例 3、设/(X)在［a, b］上连续且/(x) > 0,证明存在 G (a,b)使得例 4、设/(x),g(x)在［a, b］上连续,证明存在^e(a,b)使得 g@)打⑴dx =/@)J；g ⑴ dx例 5、设 f(x)在［0,1］上连续，且 f(x)
例 6、设实数"，…厲满足关系式仆分…+ (-旷語=0,证明方程 qcosx + 込 cos3x+…+ °c”os(2n-l)x = 0 ,在(0,兰)内至少有一实根例 7、(0234, 6 分)设函数 f (x),g(x)在［a, b］上连续，且 g(x)>0,利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点^e［a,b］使得『f (x)g(x)dx = f^)\bg(x)dxf f 题型二、验证满足某中值定理3-x2-------,x <1例 8、验证函数= { 2 ,在［0, 2］上满足拉格朗日中值定理，并丄， x>llx求满足定理的§题型三、证明存在囲，使匡⑥…) 方法：思路：例 9、设/(X)在［a,b］上可导且 f 使得广(§) =0；(a)f：(b)<0证明至少存在一个例 10、设 f(x)在［0,3］上连续，在(0,3)内可导，且/(0) + /(1) + /(2) = 3,/(3) = 1,证明存在一个 g e (0,3)使得广⑷=0例 11、设/(力在［0,2］上连续，在(0, 2)内具有二阶导数且lim丿竺 =0,2匸 f(x)dx = f(2) 证明存在兵(0,2)使得厂(§) =0 r_J.cosnx题型四、证明存在囤 使厂(劭刁 方法：思路：(1)用罗尔定理1)原函数法： 步骤：例 12、设 f(x),g(x)在［a,b］上连续，在(a, b)内可导，且 g'(x) H 0(x w (d,b)),求 证存在§w (a,b)使得=厶字g(§) — g(b) g(§)例 (0134)设仏)在［0,1］上连续,(0,1)内可导,且13、1/(I) = k xel~x f (x)dx, k > 1证明：在(0,1)内至少存在一点，使 广@) = (1-刖)几歹).例设 f(x)在［a,b］上连续,在(a, b)内可导,且f (a) f (b) >0, f (a) •/(— y—) <0, g (x)在［a, b］上连续，试证对 使得 T@)=g(少例 15、设 f(x)在［0, 1］上连续，在(0, 1)内一阶可导，且 £ f(x)dx = 0, ［ xf(x)dx = 0.试证：3^G(0,1),使得广(§) =(1 +劝.［证］令 F(x)= ［XJof(t)dt，贝 ijF(0)=F(l)=0.又f xf{x)dx = J1 xdF(x) = xF(x) 1 - f F(x)dx = 一 f F(x)dx = 0 => 3c, F(c) = 0. 于是3<1G(0,C),^G(C,1),使 F©) = F©) = 0,即他)=悠)=0. 设 仪 x)=丄 e-xf(x),贝 IJ畑=0©) = 0 n 北 w ,$) u (0,1),使得x0©=0,即 广@)=(1+K§).2)常微分方程法：适用：步骤:'例 16、设/"(x)在［a, b］上连续，在(a, b)内可导，K f(a) = f(b) = A ,证明存在 ggb)使得 + = A例 17、设 f(x)在［0,1］上连续,在(0,1)内可导，且 f(0)=0, 证明：对任意实数入必存在 gw (0, 1),使得|厂©-2［/(勺一幻=1f(l)=l,(2)直接用拉格朗日或柯西中值定理例 18、 设八兀)在仪上］上连续，在仗上)内可导，求证存在 花(“)，使得设八兀)在仪上］上连续，在仗上)内可导，求证存在 花(“)，使得1kg) f(b)b" an=严［"(§) +彳仙心例 20、设 f(x)在［“上］上连续，在(a,b)内可导(Ovavb),求证存在 g例 19、w(a,b) 使得 f(b)-f(a) = ^hi-fr^)a例 21py、设f(x)⑷在［«,/>］±连续，在(a,b)内可导(00)±具有二阶连续导数，f(0)=0 (1) 写出 f(x)的带拉氏余项的一阶麦克劳林公式。
2) 证明在［-a,a］ ±至少存在一个〃使得川厂(") =3匸/(x)dx例 24、设 f(x)在［一 1, 1］上具有三阶连续导数，且 f(-l)=O, f(l)=l, f (0)=0, 证 明：在(-1, 1)内存在一点，使得|厂" = 3.2 x 9 例 25、设 f (x)在［―a, a］上具有三阶连续导数，且满足 f\x) = x+ ［, JOf (0)=0,证明：在［-a, a］内存在一点,使得 a7w(^) = 12£|/(x)|dx.［证］由 /'(X)= + £ tf(- 0^= +£~ u)f(u)du=x2+x£ f(ii)du - £ uf (ii)du ,知广(0) = 0 , f\x) = 2x+\根据泰勒公式，有xf(t)dt,f\Q) = o.JO=/(o)+『⑼ x+1/w2+為伽‘=:m 疋2! 3! o其中〃介于 o 与 X 之间，卜巳—于是 詈* ［”(x )|dx = (卿朴 < 答’其中 M、m 为|O| (由题设可推知厂⑴|在［-a, a］上连续)在［-a, a］上的最大 值、最小值.进一步有 m <\f(x)\dx < M故存在^e[-aa],使得 厂(歹)=，即 a4fm^) = 12^\f(x)\dx.题型六、双介值问题|尸@,〃, ) = 0 方法：例 26、设/(X)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，Ovavb,求证存在 使得 W)普切)例 27、(051, 12 分)己知函数/(兀)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且 /(0) = 0,/(1) = 1 证明：(1)存在兵(0,1),使得 y«) = i-4:(2)存在两个不同的点“,gw(O,l)使得/'(〃)广(§) =1题型七、综合题例 28、(011, 7 分)设函数几初在(-1,1)内具有二阶连续导数，且厂(兀)工 0,试证 (1) 对于(-1,1)内的任意心 0,存在唯一的&⑴G (0,1)使得f(x)(2) liin&(x)=—= /(0) +xf\0(x)x)成立、TO2,例 29、试证明若/(x)在［a,b］上存在二阶导数，且广@)=广@) = 0,则存在 g e (“) 使得|厂(钊 >例 30、设 e F'© = 0 x e~x In .v为证唯一性，再证 F"(x)>0be~a — ae~bF。