位值原理二、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制比如二进制，八进制，十六进制等二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”因此，二进制中只用两个数字0和1二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一注意：对于任意自然数n,我们有n0=1n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的进制间的转换：如右图所示例题精讲模块一、位置原理【例 1】 某三位数和它的反序数的差被99除，商等于______与______的差；【解析】 本题属于基础型题型我们不妨设a＞b＞c÷99=[(100a+10b+c)-(100c+10b+a)]÷99=(99a-99c)÷99=a-c；【例 2】 (美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？【解析】 设原来的两位数为，交换后的新的两位数为，根据题意，，，原两位数最大时，十位数字至多为9，即，，原来的两位数中最大的是94．【例 3】 (第五届希望杯培训试题)有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是多少？【解析】 设这六个不同的三位数为，因为，，……，它们的和是：，所以，由于这三个数字互不相同且均不为0，所以这三个数中较小的两个数至少为1，2，而，所以最大的数最大为4；又，所以最大的数大于，所以最大的数为4，其他两数分别是1，2．【巩固】 (迎春杯决赛)有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数．【解析】 设三个数字分别为a、b、c，那么6个不同的三位数的和为： 所以，最小的三位数的百位数应为1，十位数应尽可能地小，由于十位数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为9，此时十位数为，所以所有这样的6个三位数中最小的三位数为．【例 4】 在两位自然数的十位与个位中间插入0～9中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的9倍。
求出所有这样的三位数解析】 因为原两位数与得到的三位数之和是原两位数的10倍，所以原两位数的个位数只能是0或5如果个位数是0，那么无论插入什么数，得到的三位数至少是原两位数的10倍，所以个位数是5设原两位数是，则b=5，变成的三位数为ab5，由题意有100a＋10b＋5＝（10a＋5）×9，化简得a＋b＝4变成的三位数只能是405，315，225，135巩固】 一辆汽车进入高速公路时，入口处里程碑上是一个两位数，汽车匀速行使，一小时后看到里程碑上的数是原来两位数字交换后的数又经一小时后看到里程碑上的数是入口处两个数字中间多一个0的三位数，请问：再行多少小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数解析】 设第一个2位数为10a+b；第二个为10b+a ；第三个为100a+b ；由题意：(100a+b)-（10b+a）=( 10b+a)-（10a+b) ；化简可以推得b=6a，0≤a,b≤9，得a=1，b=6；即每小时走61-16=45 ；（601-106)÷45=11；再行11小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数巩固】 将四位数的数字顺序重新排列后，可以得到一些新的四位数．现有一个四位数码互不相同，且没有0的四位数，它比新数中最大的小3834，比新数中最小的大4338．求这个四位数．【解析】 设组成这个四位数的四个数码为，，， ()，则有，可得，则，，，，，且M的四位数字分别为1、、、9，由于的个位数字为7，所以，中有一个为7，但，所以不能为7，故，，．【例 5】 已知.【解析】 原式：1111a＋111b＋11c＋d＝1370，所以a＝1， 则111b＋11c＋d＝1370－1111＝259，推知b＝2；进而推知c＝3，d=4所以=1234。
巩固】 (2008年清华附中考题)已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2008，则所有这样的四位数之和为多少．【解析】 设这样的四位数为，则，即，则或2．⑴若，则，得，，；⑵若，则，由于，所以，所以，故为9，，则为偶数，且，故，由为偶数知，，；所以，这样的四位数有2003和1985两个，其和为：．【例 6】 有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把数码3加写在它的后面，则可得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码3，则可得到一个四位数．将这两个三位数和一个四位数相加等于．求原来的两位数．【解析】 设原来的两位数是，则得到的两个三位数分别为和，四位数为，由题知，即，，故．【巩固】 如果把数码5加写在某自然数的右端，则该数增加，这里A表示一个看不清的数码，求这个数和A解析】 设这个数为x，则10x+5-x=，化简得9x=，等号右边是9的倍数，试验可得A=1，x=1234巩固】 某八位数形如，它与3的乘积形如，则七位数应是多少？【解析】 设，则，，根据题意，有，得，所以．模块二、数的进制【例 7】 ① ________；② ；③ ；④ ________；⑤ 若，则________．【解析】 ① 对于这种进位制计算，一般先将其转化成我们熟悉的十进制，再将结果转化成相应的进制： ；② 可转化成十进制来计算：；如果对进制的知识较熟悉，可直接在二进制下对进行除法计算，只是每次借位都是2，可得；③ 本题涉及到3个不同的进位制，应统一到一个进制下．统一到十进制比较适宜：；④ 十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为“互补数”，凑出“互补数”的这种方法叫“凑整法”，在进制中也有“凑整法”，要凑的就是整．原式；⑤若，则，经试验可得．【巩固】 ①；②在八进制中，________；③在九进制中，________．【解析】 ①本题是进制的直接转化：；②原式；③原式．【例 8】 在几进制中有？【解析】 利用尾数分析来解决这个问题：由于，由于式中为100，尾数为0，也就是说已经将12全部进到上一位．所以说进位制为12的约数，也就是12，6，4，3，2中的一个．但是式子中出现了4，所以要比4大，不可能是4，3，2进制．另外，由于，因为，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是知道，那么不能是12．所以，只能是6．【巩固】 在几进制中有？【解析】 注意，因为，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，所以．再注意尾数分析，，而16324的末位为4，于是进到上一位．所以说进位制为21的约数，又小于10，也就是可能为7或3．因为出现了6，所以只能是7．分解质因数本讲中的知识点在小学课本内已经有所涉及，并且多以判断题考察。
质数合数的出现是对自然数的另一种分类方式，但是相对于奇数偶数的划分要复杂许多质数本身的无规律性也是一个研究质数结构的难点在奥数数论知识体系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识，在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用分解质因数法是一个数论重点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用知识点拨1． 质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.2． 质因数与分解质因数质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：.其中2、3、5叫做30的质因数.又如，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.3． 唯一分解定理任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即：其中为质数，为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n的质因子分解式.例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.4. 部分特殊数的分解；；；；；；；；.5. 判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p就为质数.例如：149很接近，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.例题精讲模块一、质数合数的基本概念的应用【例 1】 下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1—56号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．【解析】 按要求编号排序，并画出质数号码：美 少 年 华 朋 会 友，幼 长 相 亲 同 切 磋；1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 杯 赛 联 谊 欢 声 响，念 一 笑 慰 来 者 多； 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 九 天 九 霄 志 凌 云，九 七 共 庆 手 相 握； 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 聚 起 华 夏 中 兴 力，同 唱 移 山 壮 丽 歌． 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56。