几何图形之半角模型主 题半角模型教学容教学目标1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系 2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2 3.正确运用正方形的性质解题 4.通过四边形的从属关系渗透集合思想 5.通过理解四种四边形在联系，培养学生辩证观点知识结构正方形的性质 因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形， 所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生 和老师一起总结） 正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等 正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全 小结： （1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图 （2）正方形的性质：①正方形对边平行②正方形四边相等③正方形四个角都是直角④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角典型例题精讲例1．如图，折叠正方形纸片，先折出折痕，再折叠使边与对角线重合，得折痕，使，求．[解析]：作GM⊥BD，垂足为M． 由题意可知∠ADG=GDM， 则△ADG≌△MDG．∴DM=DA=2． AC=GM 又易知：GM=BM． 而BM=BD-DM=2-2=2（-1），∴AG=BM=2（-1）．例2 ．如图，为正方形一点，，并且点到边的距离也等于，求正方形的面积？[解析]：过作于交于． 设，则，． 由． 可得：． 故．．例3. 如图，、分别为正方形的边、上的一点，，垂足为，，则有，为什么？[解析]：要说明EF=BE+DF，只需说明BE=EM，DF=FM即可，而连结AE、AF．只要能说明△ABE≌△AME，△ADF≌△AMF即可． 理由：连结AE、AF． 由AB=AM，AB⊥BC，AM⊥EF，AE公用，∴△ABE≌△AME．∴BE=ME． 同理可得，△ADF≌△AMF．∴DF=MF．∴EF=ME+MF=BE+DF．例4．如以下图、分别在正方形的边、上，且，试说明。
[解析]：将△ADF旋转到△ABC，则△ADF≌△ABG∴AF=AG，∠ADF=∠BAG，DF=BG∵∠EAF=45°且四边形是正方形，∴∠ADF﹢∠BAE=45°∴∠GAB﹢∠BAE=45°即∠GAE=45°∴△AEF≌△AEG（SAS）∴EF=EG=EB﹢BG=EB﹢DF例5. 如图，在正方形的、边上取、两点，使，于. 求证：[解析]：欲证 AG=AB，就图形直观来看，应证Rt△ABE与Rt△AGE全等，但条件不够. ∠EAF=45°怎么用呢？显然∠1＋∠2=45°，若把它们拼在一起，问题就解决了. [证明]：把 △AFD绕A点旋转90°至△AHB. ∵∠EAF=45°，∴∠1＋∠2=45°. ∵∠2=∠3，∴∠1＋∠3=45°. 又由旋转所得 AH=AF，AE=AE. ∴△AEF≌△AEH. 例6.(1) 如图1,在正方形中,点,分别在边,上,,交于点,.求证：.图2(2) 如图2,在正方形中,点,,,分别在边,,,上,,交于点,,.求的长.1. 已知点,,,分别在矩形的边,,,上，,交于点,,. 直接写出以下两题的答案：①如图3,矩形由个全等的正方形组成,求的长；②如图4,矩形由个全等的正方形组成,求的长(用的代数式表示).图4图3图1[解析](1) 证明：如图1，∵ 四边形ABCD为正方形，∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°， ∴∠EAB+∠AEB=90°.∵∠EOB=∠AOF＝90°,∴∠FBC+∠AEB=90°，∴∠EAB=∠FBC，图2O′NM∴△ABE≌△BCF ， ∴BE=CF．(2) 解：如图2,过点A作AM//GH交BC于M，过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O/，则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形， ∴EF=BN,GH=AM，∵∠FOH＝90°, AM//GH，EF//BN, ∴∠NO/A=90°,故由(1)得, △ABM≌△BCN，∴AM=BN，∴GH=EF=4．(3) ① 8．② 4n． 巩固训练[双基训练]1. 如图6，点段上，四边形与都是正方形，其边长分别为和，则的面积为________． (6) (7)2．你可以依次剪6正方形纸片，拼成如图7所示图形．如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，那么正方形⑤的面积为________．3.如图9，已知正方形的面积为35平方厘米，、分别为边、上的点．、相交于，并且的面积为14平方厘米，的面积为5平方厘米，那么四边形的面积是________．4.如图，、、三点在同一条直线上，。
分别以、为边作正方形和正方形，连接， 求证：5.如图 ，是正方形．是上的一点，于 ，于． （1）求证：； ADEFCGB（2）求证：．[纵向应用]6. 在正方形中，．求证：7. 在正方形中，．,求证：8. 如图13，点为正方形对角线上一点, , AD 求证：BCF 13EG9.已知：点、分别正方形中和的中点，连接和相交于点,于点.一、 求证： ；二、 如果,求的长；三、 求证：[练习题答案]1．6cm2． 2．36．3．4cm2（面积法）．4.证明：FN=EC证明：在正方形ABEF和正方形BCMN中，AB=BE=EF，BC=BN，∠FEN=∠EBC=90°∵AB=2BC∴EN=BC ∴△FEN≌△EBC ∴FN=EC 5.略6.提示：注意到基本图形中的AE=AF.一. 两次应用角平分线定理和CE=CF可证二. 过点O作OG‖DE和CO=CG,CF=CE可证. 3， 过点O作OH‖BE, OF= OH=7.提示：一条线段的一半或2倍这两者的位置关系有哪两种8.提示：延长AE交GF于点M，DC,使CH=DG,连接HF,证四边形对角互补,法2：延长FE，AE证全等三角形9.（1)略（2）（3）作CM⊥DG,证DM=AG=0.5DG专题（1）定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2）特征：边：两组对边分别平行；四条边都相等； 角：四个角都是90°； 对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角3）主要识别方法： 1：对角线相等的菱形是正方形 2：对角线互相垂直的矩形是正方形 3：四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形 4：一组邻边相等的平行四边形是正方形 5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形正方形的中点四边形是正方形典例精讲例1. 已知：如图，是正方形点，． 求证：是正三角形．APCDB[证明]：如以下图做△DGC使与△ADP全等，可得△PDG为等边△，从而可得△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150所以∠DCP=300 ，从而得出△PBC是正三角形PCGFBQADE例2. 如图，分别以的和为一边，在的外侧作正方形和正方形，点是的中点．求证：点到边的距离等于的一半．[证明]：过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG，CI，FH。
可得PQ=由△EGA≌△AIC，可得EG=AI，由△BFH≌△CBI，可得FH=BI从而可得PQ==，从而得证例4. 如图，四边形为正方形，，，与相交于．求证：．[证明]：顺时针旋转△ADE，到△ABG，连接CG. 由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350 从而可得B，G，D在一条直线上，可得△AGB≌△CGB 推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC为等边三角形∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠A EC=750 又∠EFC=∠DFA=450+300=750.AFDECB 可证：CE=CF例6. 设是正方形一边上的任一点，，平分．求证：．[证明]：作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC为正方形 令AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X tan∠BAP=tan∠EPF==，可得YZ=XY-X2+XZ， 即Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得X=Z ，得出△ABP≌△PEF ， 得到PA＝PF ，得证 DFEPCBADACBPD例7. 已知：是边长为1的正方形的一点，求的最小值．[证明]：顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，即如以下图：可得最小PA+PB+PC=AF既得AF= = = = = = 例8. 为正方形的一点，并且，，，求正方形的边长．[证明]顺时针旋转△ABP 900 ，可得如以下图： 既得正方形边长L = = ACBPD[双基训练]1.如图，四边形是正方形，对角线、相交于，四边形是菱形，若正方形的边长为6，则菱形的面积为________．2.如图，是正方形，为上一点，四边形恰是一个菱形，则=________．[纵向应用]3.如图，四边形是边长为的正方形，点，分别是边，的中点，，且交正方形外角的平分线于点． （1）证明：；（2）证明：；（3）求的面积．[横向拓展]4.如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、.⑴ 求证：；⑵①当点在何处时，的值最小；②当点在何处时，的值最。