三棱锥外接球问题的一类通用解法摘要：三棱锥外接球问题是高中数学立体儿何模块中的一大难点，也是历年高 考的常考题型本文通过对比“补形法〃和"找心法〃两种常规解题思路，提出一种 通用性更高、可操作性更强的“大小圆法〃，将空间问题"降维〃为平面问题來解决, 突破三棱锥外接球问题的解题瓶颈关键字：高中数学，三棱锥，外接球，大小圆法三棱锥外接球问题是立体儿何教学中的一大难点，也是历年高考的常考题型, 其抽象性和综合性较强，是学生学习立体儿何的一大瓶颈其常见解法无外乎两 大类：一是利用垂直条件将三棱锥拓展为直棱柱或长方体，一般称之为"补形法〃; 二是利用“球心与小圆圆心的连线垂直于小圆面〃的性质或儿何体的对称性找到外 接球球心，一般称之为“找心法〃；乂或者是两者的结合显然这两类方法对学生 的空间想象和建构能力要求较高，且都有条件限制，对于一般三棱锥的外接球问 题，还需要寻求一个更为通用的解法例1三棱锥的四个顶点均在同一球面上，其中为等边三角形，平面，，则该 球的体积是 .解析：本题为典型的“一条侧棱垂直于底面"的情形，一般的做法是将三棱锥 拓展为直三棱柱，再根据三棱柱的对称性确定球心就是上下底外心连线的中点， 从而求出球心到顶点的距离即为所求外接球的半径（如图）。
事实上，根据“球心与小圆圆心的连线垂直于小圆面〃这一性质，我们知道， 故四点共面，以侧棱与底面的外接圆直径为两直角边的直角三角形内接于一个大 圆，于是即为大圆的直径，同时也是球的直径因此解决问题的关键落在了两个 互相垂直的圆面上，一个是底面三角形的外接圆（小圆），另一个是三角形的外 接圆（大圆）通过底面三角形求得外接小圆的直径为，再通过勾股定理求得大 圆即球的直径为，故可得外接球的体积为笔者将这种解法称为“大小圆法〃大小圆法绕开了“补形〃和"找心〃所需要的空 间建构过程，将立体图形转化为平面图形，实现空间问题到平面问题的“降维〃求 解，直观易懂，操作方便虽然题目条件有一定特殊性，但其解法仍具有一般性例2 （2016太原一模理）在三棱锥中，底面为边长为2的正三角形，顶点在 底面上的射影为的中心，若为的中点，且直线与底面所成角的正切值为，则三棱 锥外接球的表面积为 .本题为"正三棱锥〃模型，常规解法也是在高线上寻找球心，使其到距离相等; 或证明其为正四面体，再补全为正方体求解而用大小圆法求解，则十分简洁明 To解析：如图，小圆为底面正三角形的外接圆，直径长为；大圆为等腰三角形 的外接圆，易知，，故由正弦定理可求得大圆直径，从而球的表面积为.如果说上述两例均可用“补形法〃或"找心法〃求解，那么接下來这一例则更能 突显"大小圆法〃相对广泛的适用性。
例3己知三棱锥的高为，底面是腰长为1,底长为的等腰三角形，点均在半 径为的同一球面上，求长度的最小值.解析：如图，小圆为底面三角形的外接圆，易求得其直径长为2；大圆为平 面截球所得的圆面，记它与小圆的交线为(如图)，点到的距离即为三棱锥的高 (定值)，故底面可绕圆心旋转，当且仅当点与(或)重合时，取得最小值，可 计算得最小值为.该例由于顶点的位置不确定，且没有配图，常规方法较难求解"大小圆法〃 则是回避了根据文字条件建构空间图形的过程，从平面入手，两步解决问题当然，在一些特殊的条件下，“补形法〃和"找心法〃仍较简单快捷，比如存在 三条棱两两垂直的情形，补全为长方体仍是最简单的方法另外，对于一些缺少 垂直条件的三棱锥的外接球，无论用何种方法，分析和计算都会相当困难，不过 这样的题目在历年高考和各地模拟题中均未发现总体来说，针对三棱锥外接球问题的“大小圆法〃较常规方法而言具有更广的 适用范围和更强的可操作性，同时也体现了“将空间问题转化为平面问题求解"的 核心思想和化繁为简的数学思维参考文献：[1] 吴平生.例析三棱锥外接球半径的常见求法[J].高中数学教与学,2019(15): 47-48.[2] 周瑜芽.对一道三棱锥外接球高考题的解法探究[J].中学数学研究.2020(02): 57- 58.[3] 陈凌燕.用双圆模型求解三棱锥外接球的有关问题[J].高中数学教与学,2018(21): 牛6.[4] 李洪波.巧用小圆解决棱锥外接球问题[J].中学数学研究(华南师范大学版)， 2018(5): 43-45.。