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1、第6章曲线拟合的最小二乘法6.1拟合曲线通过观察或测量得到一组离散数据序列V、一用，当所得数据比较准确时，可构造插值函数二I逼近客观存在的函数一；雹|，构造的原则是要求插值函数通过这些数据点，即;_。此时，序列.与二：是相等的。女口果数据序列曲，含有不可避免的误差（或称噪音”），如图6.1所示；如果数据序列无法同时满足某特定函数，如图6.2所JiJ1示，那么，只能要求所做逼近函数.最优地靠近样点，即向量-111:与.I-:的误差或距离最小。按之间误差最小原则作为最优”标准构造的逼近函数，称为拟合函数。图6.1含有噪声”的数据图6.2一条直线公路与多个景点插值和拟合是构造逼近函数的两种方法。插值
2、的目标是要插值函数尽量靠近离散点；拟合的目标是要离散点尽量靠近拟合函数。向量/与T之间的误差或距离有各种不同的定义方法。例如：用各点误差绝对值的和表示：i_l用各点误差按模的最大值表示：&,max陋叫）-刃用各点误差的平方和表示：小站或叶（M（6.1）其中二称为均方误差，由于计算均方误差的最小值的方法容易实现而被广泛采用。按均方误差达到极小构造拟合曲线的方法称为最小二乘法。本章主要讲述用最小二乘法构造拟合曲线的方法。在运筹学、统计学、逼近论和控制论中，最小二乘法都是很重要的求解方法。例如，它是统计学中估计回归参数的最基本方法。关于最小二乘法的发明权，在数学史的研究中尚未定论。有材料表明高斯和勒
3、让德分别独立地提出这种方法。勒让德是在1805年第一次公开发表关于最小二乘法的论文，这时高斯指出，他早在1795年之前就使用了这种方法。但数学史研究者只找到了高斯约在1803年之前使用了这种方法的证据。在实际问题中，怎样由测量的数据设计和确定最贴近”的拟合曲线？关键在选择适当的拟合曲线类型，有时根据专业知识和工作经验即可确定拟合曲线类型；在对拟合曲线一无所知的情况下，不妨先绘制数据的粗略图形，或许从中观测出拟合曲线的类型；更一般地，对数据进行多种曲线类型的拟合，并计算均方误差，用数学实验的方法找出在最小二乘法意义下的误差最小的拟合函数。例如，某风景区要在已有的景点之间修一条规格较高的主干路，景
4、点与主干路之间由各具特色的支路联接。设景点的坐标为点列:n一-；设主干路为一条直线工一-二，即拟合函数是一条直线。通过计算均方误差二-:最小值而确定直线方程（见图6.2）。0（%）（再）-沙工（+琳3-12-16.2线性拟合和二次拟合函数线性拟合给定一组数据做拟合直线均方误差为(6.2)QOQ（；?（）+妞-Jj）3QW是二元函数，的极小值要满足dQ(a,b)4比fj-L笃;=2g(a+&j_巧)吞=Q整理得到拟合曲线满足的方程:ma+空k=D1-1J2-1(6.3)faJ-lbIJlziMLjlZL称式（6.3）为拟合曲线的法方程。用消元法或克莱姆法则解出方程:2-1i-Li-li-1例6.
5、1下表为P.Sale及R.Dybdall在某处作的鱼类抽样调查，表中：为鱼的数量，.为鱼的种类。请用线性函数拟合鱼的数量和种类的函数关系。1315162122232529303136y1110111212131312141617X4042556062647072100130y13142214212124172334解：设拟合直线；丄，并计算得下表:2编xyxyjxr219561fayr344195661逆b18913I将数据代入法方程组（6.3）中，得到:解方程得：“=8.2084,-：=0.1795拟合直线为：J；=8.2084+0.1795号113111431692151015022531
6、6111762564211225244152212264484-*-*21130344420169009563441891361640二次拟合函数给定数据序列，用二次多项式函数拟合这组数据2设二一j作出拟合函数与数据序列的均方误差：Q（砌厲角）=0（珂）-扇二丫（吗+气吗+的彳-片（6.4）由多元函数的极值原理,-的极小值满足整理得二次多项式函数拟合的法方程:2-1i-1f揪i-1.i-121=Z-1*2-1厲丿(6.5)解此方程得到在均方误差最小意义下的拟合函数，：;1。方程组（6.5）称为多项式拟合的法方程，法方程的系数矩阵是对称的。当拟保多项式阶-时，法方程的系数矩阵是病态的，在计算中要
7、用双精度或一些特殊算法以保护解的准确性。例6.2给定一组数据，如下表。用二次多项式函数拟合的这组数据-3-2-10123$)4230-1-2-5解：设由计算得下表:X*-34129362781-22-448-816将数据代入式（6.5），相应的法方程为:f7a0+0冏+23=1；%+28+Oa2=-392%0+0oj+196aa-7匸解方程得：66667=1.39286,=-0.13095=0.666671.39286；0.13095】拟合曲线的均方误差:工卄工9（召）-.订1-12-1=3.09524结果见图6.3图6.3拟合曲线与数据序18-CD1610FbPolynomialFitofB2030
