《2023年初中数学竞赛辅导讲义及习题解答直线与圆》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年初中数学竞赛辅导讲义及习题解答直线与圆（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二十讲 直线与圆 直线与圆位置有相交、相切、相离三种情形，既可从直线与圆交点个数来鉴定，也可以从圆心到直线距离与圆半径大小比较来考察讨论直线与圆位置关系重点是直线与圆相切，直线与圆相切涉及切线性质和鉴定、切线长定理、弦切角概念和性质、切割线定理等丰富知识，这些丰富知识相应着如下基本图形、基本结论：注： 点与圆位置关系和直线与圆位置关系拟定有共同精确鉴定办法，即量化办法(距离与半径比较)，咱们称“由数定形”，勾股定理逆定理也具有这一特点【例题求解】【例1】 如图，AB是半圆O直径，CB切O于B，CD切O于D，交BA延长线于E，若EA=1，ED=2，则BC长为 思绪点拨 从C点看，可用切线长定理
2、，从E点看，可用切割线定理，而连OD，则ODEC，又有相似三角形，先求出O半径注：连结圆心与切点是一条惯用辅助线，运用切线性质可构造出直角三角形，在圆证明与计算中有广泛应用 【例2】 如图，AB、AC与O相切于B、C，A=50，点P是圆上异于B、C一种动点，则BPC度数是( ) A65 B115 C60和115 D130和50 (山西省中考题)思绪点拨 略【例3】 如图，以等腰ABC一腰AB为直径O交BC于D，过D作DEAC于E，可得结论：DE是O切线问：(1)若点O在AB上向点B移动，以O为圆心，OB为半径圆交BC于D，DEAC条件不变，那么上述结论与否还成立?请阐明理由； (2)假如AB=
3、AC=5cm，sinA=，那么圆心O在AB什么位置时，O与AC相切? (黑龙江省中考题)思绪点拨 (1)是结论摸索题，(2)是条件摸索题，从切线鉴定办法和性质入手，分别画图，方能求解【例4】 如图，已知RtABC中，AC=5，BC=12，ACB=90，P是AB边上动点(与点A、B不重叠)，Q是BC边上动点(与点B、C不重叠) (1)当PQAC，且Q为BC中点时，求线段PC长； (2)当PQ与AC不平行时，CPQ也许为直角三角形吗?若有也许，求出线段CQ长取值范畴；若不也许，请阐明理由 (广州市中考题) 思绪点拨 对于(2)，易发现只有点P能作为直角顶点，建立一种研究模型以CQ为直径圆与线段AB
4、交点就是符合规定点P，从直线与圆相切特殊位置入手，以此拟定CQ取值范畴 注：鉴定始终线为圆切线是平面几何中一种常用问题，鉴定基本办法有： (1)从直线与圆交点个数入手； (2)运用角证明，即证明半径和直线垂直； (3)运用线段证明，即证明圆心到直线距离等于半径一种圆问题，从不同条件出发，可有不同添辅助线方式，进而可得不同证法，对于分层次设问问题，需整体考虑； 【例5】如图，在正方形ABCD中，AB=1，是以点B为圆心，AB长为半径圆一段弧，点E是边AD上任意一点（点E与点A、D不重叠），过E作所在圆切线，交边DC于点F，G为切点（1）当DEF=45时，求证点G为线段EF中点；（2）设AE=x，
5、FC=y，求y关于x函数解析式，并写出函数定义域；（3）将DEF沿直线EF翻折后得D1EF，如图，当EF=时，讨论AD1D与ED1F与否相似，假如相似，请加以证明；假如不相似，只规定写出结论，不规定写出理由 思绪点拨 图中有多条B切线，由切线长定理可得多对等长线段，这是解(1)、(2)问基本，对于(3)，由(2)求出值，拟定E点位置，这是解题核心注：本例将几何图形置于直角坐标系中，综合了圆关于性质、相似三角形鉴定与性质、切线鉴定与性质、等边三角形鉴定与性质等丰富知识，并结合了待定系数法、数形互助等思想办法，具有较强选拔功能 学力训练1如图，AB为O直径，P点在AB延长线上，PM切O于M点，若O
6、A=， FM=，那么PMB周长为 2PA、PB切O于A、B，APB=78，点C是O上异于A、B任意一点，则ACB= 3如图，EB、EC是O两条切线，B、C是切点，A、D是O上两点，假如F=46，DCF=32，则A度数是 4如图，以ABC边AB为直径作O交BC于D，过点D作O切线交AC于E，要使DEAC，则ABC边必要满足条件是 5、表达直线，给出下列四个论断：；切O于点A；切O于点B；AB是O直径若以其中三个论断作为条件，余下一种作为结论，可以构造出某些命题，在这些命题中，对的命题个数为( ) 1 B2 C3 D4 6如图，圆心O在边长为正方形ABCD对角线BD上，O过B点且与AD、DC边均相
7、切，则O半径是( ) A B C D 7直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AD+BCDC，若腰DC上有一点P， 使APBP，则这样点( ) A不存在 B只有一种 C只有两个 D有无数个 8如图，圆内接ABC外角ACH平分线与圆交于D点，DPAC于P，DHBH于H，下列结论：CH=CP；A D=DB；APBH；DH为圆切线，其中一定成立是( ) A B C D 9如图，O是ABC外接圆，已知ACB=45，ABC=120，O半径为1，(1)求弦AC、AB长；(2)若P为CB延长线上一点，试拟定P点位置，使PA与O相切，并证明你结论10如图，AB是O直径，点P在BA延长线上，弦CDAB于E，且
8、PC2=PEPO (1)求证：PC是O切线； (2)若OE：EA=1：2，且PA6，求O半径； (3)求sinPCA值 11(1)如图a，已知直线AB过圆心O，交O于A、B，直线AF交O于F(不与B重叠)，直线交O于C、D，交AB于E且与AF垂直，垂足为G，连AC、AD，求证：BAD=CAG；ACAD=AEAF(2)在问题(1)中，当直线向上平行移动与O相切时，其她条件不变请你在图b中画出变化后图形，并对照图a标记字母；问题(1)中两个结论与否成立?假如成立，请给出证明；如不成立，请阐明理由12如图，在RtABC中，A=90，O分别与AB、AC相切于点E、F，圆心O在BC上，若AB=a，AC=
9、b，则O半径等于 13如图，AB是半圆O直径，点M是半径OA中点，点P在线段AM上运动(不与点M重叠)，点Q在半圆O上运动，且总保持PQ=PO，过点Q作O切线交BA延长线于点C (1)当QPA=60时，请你对QCP形状做出猜想，并予以证明 (2)当QPAB时，QCP形状是 三角形 (3)由(1)、(2)得出结论，请进一步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时，QCP一定是 三角形 14如图，已知AB为O直径，CB切O于B ，CD切O于D，交BA延长线于E，若AB=3，ED=2，则BC长为( ) A2 B3 C35 D4 15如图，PA、PB是O两条切线，A、B切点，直线OP交O于C、D，交AB
10、于E，AF为O直径，下列结论：(1)APB=AOP；(2)BC=DF；(3)PCPD=PEPO，其中对的结论个数有( )A3个 B2个 C1个 D0个 16如图，已知ABC，过点A作外接圆切线交BC延长线于点P，点D在AC上，且，延长PD交AB于点E，则值为( ) A B C D 17如图，已知AB为半圆O直径，AP为过点A半圆切线 在AB上任取一点C(点C与A、B不重叠)，过点C作半圆切线CD交AP于点D；过点C作CEAB，垂足为E连结BD，交CE于点F(1)当点C为AB中点时(如图1)，求证：CFEF；(2)当点C不是AB中点时(如图2)，试判断CF与EF相等关系与否保持不变，并证明你结论
11、 18如图，ABC中，C=90，AC=6，BC=3，点D在AC边上，以D为圆心D与AB切于点E(1)求证：ADEABC；(2)设D与BC交于点F，当CF=2时，求CD长；(3)设CD=，试给出一种值，使D与BC没有公共点，并阐明你给出值符合规定 19如图，PA、PB与O切于A、B两点，PC是任意一条割线，且交O于点E、C，交AB于点D求证：20如图，O与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，圆心O坐标是(1，一1)，半径是，(1)求A、B、C、D四点坐标； (2)求通过点D切线解析式；(3)问过点A切线与过点D切线与否垂直?若垂直，请写出证明过程；若不垂直，试阐明理由21当你进入博物馆展览厅时，你懂得站在何处欣赏最抱负?如图，设墙壁上展品最高处点P距离地面a米，最低处点Q距离地面b米，欣赏者眼睛点E距离地面m米，当过 P、Q、E三点圆与过点E水平线相切于点E时
