一道题目的十种解法单国炎绍兴县实验中学 邮编： 312030一题多解， 就是指对同一个题目，从不同的角度出发，运用不同的思维形式，采用不同的数学方法去分析探讨， 从而获得多种解题途径 “一题多解” ，不仅能使我们掌握相应的几种解题技巧， 还可以帮助我们多角度多层次地深入分析问题， 解决数学问题， 从而提高灵活运用数学知识、 数学方法解决问题的能力，使我们的思维灵活，解题思路开阔，应变能力增强，下面就对一道习题的十种解法进行剖析，供读者欣赏习题】 如图，已知 A 、 P、 B、 C 是⊙ O 上的四点，∠ APC=∠BPC=60°， AB 与 PC 交于点 Q1）判断⊿ ABC的形状，并证明你的结论2）直接写出所有与⊿ APQ相似的三角形： 3）若 AP=6， AQ 3 ，求 PB 的长BQ 5解：（ 1）⊿ ABC是正三角形理由如下：∵∠ ABC=∠APC=60°, ∠ BAC=∠ BPC=60°∴∠ ACB=180° - ∠ ABC-∠ BAC=60°∴⊿ ABC是正三角形 .(2) ⊿ BPC, ⊿ BQC（ 3 ）分析：求线段长度常用方法有三类：利用相似三角形的性质、利用勾股定理建立方程、利用三角函数解直角三角形；对线段比值的利用常有设未知数表达线段、应用（构造）相似三角形、面积比等方法。
解法一 】设 AQ=3x，则 BQ=5x，由（ 1）得 BC=AB=8x，（如图 1）∵∠ ABC=∠APQ，∠ AQP=∠ CQB∴⊿ APQ∽⊿ BQC∴ APPQ∴6PQ∴ PQ15BCBQ8x5x4又∵∠ APC=∠ BPC，∠ PAQ=∠BCP∴⊿ APQ∽⊿ CPBAQPQ3x15∴4∴PB 10BC，∴8xPBBP【 解法二 】设 AQ=3x，则 BQ=5x，由（ 1）得 BC=AB=8x，（如图 1）∵∠ APC=∠BPC，∠ PAQ=∠ BCP∴⊿ APQ∽⊿ CPB∴ APAQ∴63x∴PC 16PCBCPC8x又∵∠ BCQ=∠ PCB，∠ QBC=∠BPC=60°∴⊿ BCQ∽⊿ PCB∴ BCBQ ，∴8x5x∴PB 10PCBP16PB【 解法三 】设 AQ=3x，则 BQ=5x，由（ 1）得 BC=AB=AC=8x，（如图 1）∵⊿ APQ∽⊿ BQC∴ APAQ∴63x∴ CQ 4x2BCCQ8xCQ又⊿ PBQ∽⊿ ACQ∴ PBQB ，∴ PB5x∴PB 10ACQC8x4x2解法点评： 众所周知，数学综合题的几个小题之间往往有联系性或相关性，这三种解法顺应了第（ 2 ）题找相似三角形的影响，利用两次相似，中间过程常常需要借助某条线段的表示（或求值）来沟通两对相似三角形，从而求解。
另外，从这三种解法中我们还看到了未知数“设而不求”的解题技巧 解法四 】作 AM⊥PC于点 M，BN⊥ PC于点 N，（如图 2）∵∠ ABC=∠APC，∠ AQP=∠ CQB∴⊿ APQ∽⊿ BQC∴ AM AQ 3 （相似三角形对应边上的高之比等于相似比）BN BQ 5又∵∠ APQ=∠ BPC，∠ AMP=∠BNP=90°∴⊿ APM∽⊿ BPN∴ AP AM 3， BPBN5∴ PB 10【 解法五 】作 AM⊥PC于点 M，BN⊥ PC于点 N，（如图 2）在 Rt ⊿ APM与 Rt ⊿ BPN中AM=APsin60° , BN=BPsin60 °∴ AP AM，PB BN又∵⊿ APQ∽⊿ BQC∴ AMAQ3，BNBQ5∴ AP3∴PB 10PB5解法点评：这两种解法不设未知数，通过作辅助线（高） ，运用相似三角形的性质巧妙地使用了条件AQ3，从而求解 从这两种解法中我们可看到运用比值的技巧：构造相似三角BQ5形进行比值转移 解法六 】作 QE⊥PA 于点 E，QF⊥ PB 于点 F，（如图 3）∵∠ APC=∠BPC=60°，∴ QE QF∴ SV APQ1 ?PA?QFPA2SV BPQ1?PB ?QEPB2SVAPQAQ又∵（同高的三角形， 面积比等于底之比 ）SVBPQBQ∴ APAQ，∴63PBBQPB5∴ PB 10解法点评： 此解法运用面积方法建立比例式求解， 过程比较简洁。
从面积角度考虑问题的方法常有：同（等）高面积比等于底之比；同（等）底面积比等于高之比；相似三角形面积之等于相似比的平方 解法七 】（如图 1）∵∠ APC=∠ BPC=60°∴ PC是∠ APB的角平分线∴由角平分线性质定理得APAQPBBQ∴ 63∴PB 10PB5解法点评：此解法相当灵活，简练，运用角平分线的性质定理解决问题不失为一种好方法此解法对知识的理解、 运用能力比较高， 一般学生很难想到， 学有余力的优秀学生能探索到，撑握到其实，角平分线性质定理借用面积法思想能很快得证 解法八 】过点 B 作 BD∥ PA，交 PC于点 D，（如图 4）∴∠ BDP=∠APC=60°∵∠ APC=∠BPC=60°∴∠ BDP=∠BPC=60°∴ BP=BD又∵ BD∥ PA∴⊿ APQ∽⊿ BDQ∴ APAQ ，∴63BDBQDB5∴ DB 10∴ PB 10【 解法九 】在 PC边上截取 PD，使 PD=PB，（如图 4）∵∠ BDP=∠BPC=60°，∠ APC=∠ BPC=60°∴⊿ BPD是正三角形， BD∥ PC（以下步骤同解法八）解法点评： 这两种解法采用线段等量代换， 间接求解的方法。
通过添平行线或截取线段构造特殊三角形（等腰或等边三角形） ，得 BP=BD ，根据条件 AQ 3 ，运用相似求出 BD 而BQ 5得解此解法展现了间接求解的魅力解法十 】过点 Q作 QD⊥ BC于点 D，（如图 5）设 AQ=3x，则 BQ=5x，由（ 1）得 AC=BC=AB=8x∵在 Rt ⊿ BQD中，∠ QBD=∠ APC=60°∴ BD=BQ× cos60 ° =2.5xQD=BQ× sin60 ° = 5 3 x2DC=BC-DB=5.5x∴ QCDQ 2CD 27 x又⊿ APQ∽⊿ BQC∴ AQAP∴3x6QCBC7 x8x∴ x743549∴ AC=BC=8x=14， BQ， QC44又⊿ PBQ∽⊿ ACQPBQBPB35∴∴4∴PB 10AC，1449QC4解法点评：此解法通过作高线 QD ，综合运用解直角三角形，相似三角形性质，计算或表示解题过程中需要的一些线段，数据详实， 计算量较大在此基础上，我们还可进一步发现很多比较有价值的结论：如⊿ BCQ∽⊿ PCB的相似比为CQ： BC=7： 8 等由上可见， 一题多解不仅让我们获得了更多的知识， 而且开阔了视野， 打开了解题思路，学到举一反三，融汇贯通的方法，一题多解，虽解一题，但实际解了多题。
因此，要想提高解题能力和学习效率， 就要有意识地练习一题多解， 这样不仅能更牢固地掌握和运用所学知识；又能有助于总结方法，发现方法，使知识升华；还能通过一题多解，分析比较，寻找解题的最佳途径和方法， 有助于我们克服题海战术的毛病， 形成优良的思维品质， 培养自己的创造性思维能力。