第五章 平面向量 一 平面向量的概念及基本运算【考点阐述】向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．【考试要求】（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．（2）掌握向量的加法和减法．（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．（4）了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．【2020年湖北卷理5文8】．已知△ABC和点M满足++=0．若存在实数m使得+=m成立，则m=BA．2 B．3 C．4 D．5【解析】由++=0知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则==·（+）=（+），所以有+=m，故m=3，选B．【2020年全国Ⅱ卷理8文10】．△ABC中，点D在AB上，CD平分∠ACB．若=a，=b，| a |=1，| b |=1，则=BA．a +b B．a +b C．a +b D．a +b【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理.【解析】因为CD平分∠ACB，由角平分线定理得=2，所以D为AB的三等分点，且==（―），所以=+=+=a +b．【2020年陕西卷理11文12】．已知向量a=（2，―1），b=（―1，m），c=（―1，2），若（a+b）∥c，则m= ．【答案】―1【解析】∵a+b =（1，m―1），c =（―1，2），∴由（a+b）∥c得1×2―（―1）×（m―1）=0，所以m=―1．【2020年高考上海市理科13】．如图所示，直线x=2与双曲线Г：―y2=1的渐近线交于E1，E2两点，记=e1，=e2，任取双曲线上的点P，若=a e1+b e2（a，b∈R），则a、b满足的一个等式是 ．4ab=1【答案】4ab=1【2020年高考上海卷文科13】．在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为（，0），e1=（2，1），e2=（2，―1）分别是两条渐近线的方向向量。
任取双曲线上的点，若=a e1+b e2（a，b∈R），则a、b满足的一个等式是 4ab=1 ．解析：因为e1=（2，1），e2=（2，―1）是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为，又c=，所以a=2，b=1，双曲线方程为，=a e1+b e2=（2a+2b，a―b），，化简得4ab=1．二 平面向量的数量积【考试要求】掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．【2020年江西卷文13】．已知向量a，b满足|b|=2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影是 ．【答案】1【解析】考查向量的投影定义，b在a上的投影等于b的模乘以两向量夹角的余弦值【湖南卷理4】．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，则·等于DA．―16 B．―8 C．8 D．16解析一：因为∠C=90°，所以·=0，·=（+）·=2+·=16．解析二：在上的投影为||，所以·=||2=16．【2020年北京卷理6】．a、b为非零向量a⊥b”是“函数f（x）=（xa+b）·（xb―a）为一次函数”的BA．充分而不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：f（x）=（xa+b）·（xb―a）=（a·b）x2+（|b|2―|a|2）x― a·b，如a⊥b，则有a·b=0，如果同时有|a|=| b |，则函数恒为0，不是一次函数，因此不充分，而如果f（x）为一次函数，则a·b=0，因此可得a⊥b，故该条件必要。
2020年北京卷文4】．若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|b|，则函数f（x）=（xa+b）·（xb―a）是AA．一次函数且是奇函数 B．一次函数但不是奇函数C．二次函数且是偶函数 D．二次函数但不是偶函数解析：f（x）=（xa+b）·（xb―a）=（a·b）x2+（|b|2―|a|2）x― a·b，由a⊥b，则a·b=0，f（x）=（|b|2―|a|2）x，故f（x）是一次函数且是奇函数．OABC【2020年江西卷理13】．已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2， a与b的夹角为60°，则|a―b|= ．【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余弦定理等知识，如图a=，b =，a―b=―=，由余弦定理得：|a―b|=．【2020年重庆卷理2】．已知向量a，b满足a·b=0，|a|=1，|b|=2，则|2a―b|= BA．0 B． C． 4 D．8解析：|2a―b|=.【2020年浙江卷文13】．已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a⊥（a―2b），则|2a+b|的值是 ．解析：，由题意可知a·（a―2b）=0，结合|a|=1，|b|=2，解得a·b=，所以|2 a+b |2=4a2+4a·b + b 2=8+2=10，开方可知答案为，【命题意图】本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，属中档题。
2020年浙江卷理16】．已知两平面向量a，b均为非零向量，且a≠b，| b |=1，a与b―a的夹角为120°，则| a |的取值范围是_______．（0，]【命题意图】本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力，属中档题．BCA60°ф120°ab―ab【解析】如图所示，在△ABC中，∠ABC=60°，AC=1，设∠ACB=θ，由正弦定理得：，| a |=|AB|=sinφ≤，故| a |∈（0，]．【2020年湖南卷文6】．若非零向量a，b满足|a|=|b|，（2a+b）·b =0，则a与b的夹角为CA．30° B． 60° C．120° D． 150°【解析】（2a+b）·b =2a·b+b·b=0，所以a·b=―|b| 2，cos﹤a，b﹥=―，﹤a，b﹥=120°．【2020年辽宁卷理8文8】．平面上O，A，B三点不共线，设=a，=b，则△OAB的面积等于CA． B．C． D．解析： 【2020年四川卷理5文6】．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2=16，|+|=|―|，则||=CA．8 B．4 C． 2 D．1解析：由2＝16，得|BC|＝4 ，|+|=|―|=||＝4，而|+|=2||，故||=2．DABC【2020年天津卷文9理（填空）15】．如图，在△ABC中，AD⊥AB，=，||=1，则·=DA． B． C． D．【解析】·=||·||cos∠DAC=||cos∠DAC=||sin∠BAC=||sin∠B=||sin∠B=．【命题意图】本题主要考查平面向量、解三角形等基础知识,考查化归与转化的数学思想,有点难度.【2020年全国Ⅰ卷理11文11】．已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么·的最小值为DA． B． C． D．【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.PABO【解析1】如图所示：设PA=PB=x，∠APO=α，则∠APB=2α，PO=，，===，令，则，即，由x2是实数，所以，，解得或.故.此时.【解析2】法一： 设，法二：换元：，或建系：园的方程为，设，【2020年山东卷理12文12】．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=（m，n），b=（p，q），令a⊙b=mq―np，下面说法错误的是BA．若a与b共线，则a⊙b=0 B．a⊙b=b⊙aC．对任意的λ∈R，有（λa）⊙b=λ（a⊙b） D．（a⊙b）2+（a·b）2=|a|2·|b|2【解析】若a与b共线，则有a⊙b=mq―np，故A正确；因为b⊙a =pn―qm，而a⊙b=mq―np，所以有a⊙b≠b⊙a，故选项B错误，故选B。
命题意图】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力2020年重庆卷文3】．若向量a=(3，m)，b=(2，―1)， a·b=0，则实数m的值为DA． B． C． 2 D． 6【解析】a·b=6―m=0，所以m =6．【2020年安徽卷理3文3】．设向量a=（1，0），b=（，），则下列结论中正确的是CA．|a|=| b | B．a·b= C．a―b与b垂直 D．a∥b解析：a―b=（，―），（a―b）·b=0，所以a―b与b垂直．【2020年福建卷文8】．若向量a=（x，3）（x∈R），则“x = 4”是“| a |=5”的AA．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】由x=4得a=（4，3），所以| a |=5；反之，由| a |=5可得命题意图】本题考查平面向量、常用逻辑用语等基础知识2020年广东卷文5】．若向量a=（1，1），b=（2，5），c=(3，x)满足条件 (8a－b)·c =30，则x=A．6 B．5 C．4 D．3解析：8a－b =（6，3），(8a－b)·c =6×3+3x=30，故x=4．【2020年全国Ⅰ新课标卷文2】．a，b为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a，b夹角的余弦值等于CA． B． C． D．解析：由已知得b=（2a+b）―2a=（―5，12），所以．【2020年高考福建卷理科7】．若点O和点F（―2，0）分别是双曲线―y2=1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为BA． B． C． D．【解析】因为F（―2，0）是已知双曲线的左焦点，所以a2+1=4，即a2=3，所以双曲线方程为―y2=1，设点P（x0，y0），则有，解得，因为，，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，·取得最小值，故·的取值范围是，选B。
命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力2020年高考福建卷文科11】．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为CA．2 B．3 C．6 D．8【解析】由题意，F（-1，0），设点P（x0，y0），则有,解得，因为，，所以·===，。