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1、培优讲义分式 1. 分式的概念：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。其中A称为分式的分子，B称为分式的分母，且对于任意一个分式，分母都不能为零。（板） 对概念的详解：（1）分式是两个整式相除的商，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号的作用；（2）分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母。（3）分式的定义方式是从式子的形式出发，判断一个式子是不是分式关键看形式而不是看式子变形后的结果。大家要特别记住分式成立的这三个条件。现在我们一起看一道例题：【例1】 在下列式子中哪些是整式，哪些是分式？ ，答案：整式：，分式：， （另板）点评（1）判断整式与
2、分式的依据是它们的定义，应根据定义进行判断。（2）整式与分式的判断是针对式子的形式，而不是运算后的结果（如不能约分后再判断）（3）表示的是圆周率，是一个常数，不是字母，是分式，因为他们的分母中含有字母，不能把式子变形（如约分等）后再来判断他们是不是分式。通过这道例题，我们学会了如何判断哪些是分式，但是要满足什么条件才说明这个式子是分式呢？我们下面就学习分式有意义和无意义的条件： 3、分式有意义和无意义的条件（1）分式有意义的条件：分母不等于零（2）分式无意义的条件：分母等于零 （板）难点分析：（1）在确定分式有无意义时，不能对分式进行约分（即化简），若约分，则会扩大字母的取值范围。（2）果没有
3、特殊说明，我们所遇到的分式都是有意义的，如中就隐含着x0的条件存在。接下来，我们根据分式有意义和无意义的条件一起来看一道例题【例2】当x取什么值时，分式有意义？4.分式的基本性质：分式的分子与分母乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，用字母表示为（M为不等于0的整式）.（板）重点分析：（1）分式的基本性质与分数的基本性质类似.（2）不要忽略M0这个条件，如，从左边到右边的变形的前提条件是x0，故两边的x取值范围是不同的，这种变形是错误的变形。下面大家做一下这道例题。【例3】 填空。（1） （另板）分析：（1）题右边的分母等于左边的分母除以x，所以右边的分子应是左边分子除以,的3x.
4、（2）题右边的分母等于左边的分母乘以x+y，所以右边的分子应是左边分子x-y乘以x+y，得.(3)题应从分子的变形上进行比较.解：（1） （2） （3）b提醒：本题第（1）小题是通过左边分式分子、分母都除以x得到，为什么能除以x呢？因为x0的条件隐含在题中，如果x=0，分式没有意义，故题中没有特别指明x0,其他两小题有类似存在的隐含条件。大家在以后的做题中一定要特别注意这一点。下面，学习这节课的最后一个知识点。什么是约分以及什么是最简分式？5. 约分：要求把分子分母的公因子去掉，所以首先要找出分子分母的公因式最简分式：当分式的分子和分母没有公因式时，这样的分式称为最简分式。化简分式时，通常要使
5、结果成为最简分式或整式。例4：化简下列各式：1） （2） （3）解：（1）原式=(2)原式=（3）原式=提示：找公因式的方法：先分解因式后，系数取最大公约数，字母（或因式）取相同字母（或相同因式）的最低次幂。 【基础知识点】3、分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的数或者式子，分式的值不变。4、分式的约分(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分(2)分式约分的依据：分式的基本性质(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式(4)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式5、分式的通分把几个异分母
6、的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分。思考：分数通分的方法及步骤是什么？ 答：先求出几个异分母分数的分母的最小公倍数，作为它们的公分母，把原来的各分数化成用这个公分母做分母的分数。分式的通分和分数的通分是一样的：通分的关键是确定几个分式的公分母。6、最简公分母：各分式分母中的系数是最小公倍数与所有的字母（或因式）的最高次幂的积，叫做最简公分母。找最简公分母的步骤：（1）取各分式的分母中系数最小公倍数；（2）各分式的分母中所有字母或因式都要取到；（3）相同字母（或因式）的幂取指数最大的；（4）所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公
7、分母。回顾分解因式找公因式的步骤：（1） 找系数：找各项系数的最大公约数；（2） 找字母：找相同字母的最低次幂；典型例题例1： 约分： 例2：不改变分式的值，把下列各式的分子分母中的各项系数都化为整数，且分子分母不含公因式 针对性练习把下列各式约分： (3) (4) (5) ； (6) ；小结：1约分的主要步骤：先把分式的分子，分母分解因式，然后约去分子分母中的相同因式的最低次幂，（包括分子分母中系数的最大公约数）。2约分的依据是分式的基本性质：约去分子与分母的公因式相当于被约去的公因式同时除原分式的分子分母，根据分式的基本性质，所得的分式与原分式的值相等。3若分式的分子、分母都是几个因式的积
8、的形式，则约去分子、分母中相同因式的最低次幂，分子、分母的系数约去它们的最大公约数4若分式的分子、分母中有多项式，则要先分解因式，再约分注意：1.当分式的分子与分母的因式只差一个符号时，要先处理好符号再约分，因式变号规则如下：（其中n为自然数）。 2分式的分子，分母的多项式中有部分项不同时，不得将其中的一部分相同的项约去（约分只能约分子分母中相同的因式）。典型例题例1 、 求分式的公分母。例2 求分式与的最简公分母。例3 通分：（1）； （2）。例4 通分：（1）， （2）；针对性练习 1、通分： （3）（4） （5）2、小结1把异分母的分式化为同分母的分式的理论依据是分式的基本性质；2分式通
9、分的关键是，确定各分式的最简公分母；3分式通分的目的是，把异分母的分式转化为与原分式相等的同分母的分式，为学习异分母分式的加减法做准备。基础练习1约分：（1） （2）2、填空：（1）； （2）； （3）。3求下列各组分式的最简公分母：（1）； （2）；（3）； （4） ；（5）。最简公分母是：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；5若分式中的和都扩大到10和10，则分式的值扩大_倍.6分式，的最简公分母是_.7当时，方程的解是_.8计算_.9已知，用含有、的代数式表示，则_.10如果有增根，那么增根是_.11如果，那么_.12(08年宁夏回族自治区)某市对一段全长1500米的道路进
10、行改造原计划每天修米，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天修路比原计划的2倍还多35米，那么修这条路实际用了 天。13通分：（1）； （2）； （3）。（4）； （5）； （6）； 1、下列各式是不是分式？为什么？2、在下列各式中，当x取什么数时，下列分式有意义？答：（1） ；（2） ；（3） ；3、在下列分式中，当取什么数时，分式值为零？4、下列分式变形中正确的是（ ） A、 B、 C、 D、5、把下列各式约分 4.约分（1） （2）6、通分：（1）； （2）； （3）； （4） （5）； （6）； （7）； （8）。（9）；（10）；（11）；（12） 1.下列代数式：
11、， ，中分式有 （） A.个B.个C.个D.个 2.若分式有意义，则的取值范围是（）A.1.化简的结果是（ ）A. B. C. D. 4在下列各式中，分式的个数是（ ），A3 B4 C5 D25下列各式中不是分式的是（ ）A B C D 6已知分式的值等于零，的值为（ ）A B C D 7有理数、在数轴上的对应点如图：代数式的值（ ）A大于0 B小于0 C等于0 D不能确定8如果分式有意义，那么的取值范围是（ ）A B C D9下列式子正确的是（ ）A B C D10表示一个整数，则整数的可能取值的个数是（ ）A8 B6 C5 D411汽车从甲地开往乙地，每小时行驶千米，小时后可以到达，如果每小时多行驶千米，那么可以提前到达的小时数是（ ）A B C D12甲、乙二人分别人相距36千米的、两地同时出发，相向而行，甲从地出发1千米时，发现有物品遗忘在地，便立即返回，取了物品又立即从地向地行进，这样甲、乙二人恰好在、两地的中点处相遇，又知甲比乙每小时多走0.5千米，求甲、乙二人的速度？培优题一 选择1 下
