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1、量子力学的构造谭 强广西南宁市一点通教育征询中心 摘要：本文试图协助物理类专业的大学生用较短的时间从战略上把握好量子力学，侧重分析发现该物理规律的发明性思维过程。量子力学的战术问题是数学问题。核心词：量子；光量子；波粒二象性；不拟定原理；薛定谔方程；波函数的概率解释；狄拉克方程；负能量；自旋。引言量子力学和相对论是现代物理乃至现代科技大厦的两大重要支柱。全球经济有三分之一与基于量子力学的产品有关。1 初期量子论德国出名物理学家马克斯普朗克于19建立了黑体辐射定律的公式 (1-1)（式中u为能量密度，为波长，T为黑体的绝对温度，h为普朗克常数，c为光速，k为波尔兹曼常数，e为自然对数的底。）并于
2、19刊登。其目的是改善由威廉维恩提出的维恩近似（至于描述黑体辐射的另一公式：由瑞利勋爵和金斯爵士提出的瑞利-金斯定律，其建立时间要稍晚于普朗克定律。由此可见瑞利-金斯公式所导致的“紫外灾变”并不是普朗克建立黑体辐射定律的动机）。维恩近似在短波范畴内和实验数据相称符合，但在长波范畴内偏差较大；而瑞利-金斯公式则正好相反。普朗克得到的公式则在全波段范畴内都和实验成果符合得相称好。在推导过程中，普朗克考虑将电磁场的能量按照物质中带电振子的不同振动模式分布。得到普朗克公式的前提是，假设物体吸取或发射电磁辐射，只能取某些基本能量单位的整数倍，这些基本能量单位只与电磁波的频率有关，并且和频率成正比 (1-
3、2)这就是普朗克的能量量子化假说。由于这一奉献，普朗克获得19诺贝尔物理奖。 普朗克普朗克没能为这一量子化假设给出更多的物理解释，她只是相信这是一种数学上的推导手段，从而可以使理论和经验上的实验数据在全波段范畴内符合。从典型力学来看，能量不持续的概念是绝对不容许的。因此，尽管从这个量子假设可以导出与实验观测极为符合的普朗克公式，但在相称长的一段时间里普朗克的工作并未引起人们的注重。19，爱因斯坦将普朗克的假设更加向前推动了一步，她觉得，物体不仅在吸取或发射电磁辐射时是量子化的，并且构成物体自身的能量也是量子化的。她假设辐射场（电磁波）就是由一种个的光量子构成的，每一种光量子的能量E与辐射的频率
4、关系就是并根据狭义相对论的质能关系得到 (1-3)将代入上式得到 (1-4)采用光量子概念后，光电效应得到较好的解释。光波具有粒子性的概念得到康普顿实验的证明。由于这一奉献（而不是由于狭义相对论和广义相对论），42岁的爱因斯坦获得19诺贝尔物理奖。但是，爱因斯坦这一更激进的思想遭到普朗克的强烈抵制。 爱因斯坦受到普朗克和爱因斯坦能量量子化思想的启发，在卢瑟福原子核式构造的基本上，丹麦出名物理学家波尔建立了初期量子论。波尔量子论的核心思想有两条：波尔一是原子的具有离散能量的定态概念，一是两个定态之间的量子跃迁概念和频率条件 (1-5)这是一种很了不起的创见，是她对原子稳定性和原子线状光谱规律作了
5、进一步分析后概括出来的。波尔根据相应原理的思想，求出了氢原子的能级公式，并导出了角动量量子化条件。由于这一奉献，37岁的波尔获得1922年诺贝尔物理奖。她所在的理论物理研究所也在二三十年代成为全球物理学研究的中心。 波尔的量子论一方面打开了人们结识原子构造的大门，获得了很大成功，但它的局限性和存在问题也逐渐被人们结识到。一方面波尔理论虽然成功地阐明了氢原子光谱的规律性，对于更复杂的原子（如氦原子）的光谱就完全无能为力。对于谱线的相对强度，波尔理论也未能提供解决它的系统措施。另一方面，波尔理论还只能解决周期运动，而不能解决束缚态（如散射）问题。从理论体系来讲，能量量子化概念与典型力学是不相容的，
6、多少带有人为的性质，其物理本质还不清晰。这一切都推导初期量子论的发展。量子力学就是在克服初期量子论的困难和局限性中建立起来的。2 物质的波粒二象性在普朗克-爱因斯坦能量量子化思想和波尔初期量子论的启发之下，法国的博士生德布罗意仔细分析了光的微粒说和波动说的发展历史，并注意到几何光学与典型粒子力学的相似性，根据类比的措施，她在博士论文中假设一切实物粒子（静质量）都具有波动性，与一定能量E和动量p的实物粒子相联系的波（她称为物质波）的频率和波长分别为， (2-1)以上两式在数学上分别与普朗克公式（1-2）和爱因斯坦光量子公式（1-4）等价，但其物理意义却大不相似。爱因斯坦光量子公式（1-4）试图向
7、世人表白光波这种物质具有粒子的性质，而德布罗意却想向世人表白粒子这种物质（如电子）具有波的性质。因此，爱因斯坦对德布罗意的这一想法大加赞赏。德布罗意有关“一切物质都具有波粒二象性”的假设，后来被美国物理学家戴维逊和革末电子衍射的实验证明是对的的，由于这一奉献，35岁的德布罗意获得1929年诺贝尔物理奖。但是，人类初期对物质波粒二象性的解释却浮现了两个错误： 德布罗意第一种错误觉得，运动物质（例如电子）是某种物质波形成的波包，即由许多不同频率的波构成一种复波，它可以局限在电子大小的空间中（），计算表白，它的寿命大概只有，非常短的时间内电子就发散、消失，变成非定域的了，这与实际观测到的现象明显矛盾
8、。这种见解过度夸张了波的作用。第二种错误觉得，波是由大量粒子构成的，运动电子的波动性相应于大量电子分部于空间而形成的疏密波，波是粒子与粒子之间互相作用形成的，类似于空气振动浮现的纵波。但实验观测表白单个粒子也具有波动性，一种电子可以同步通过两个缝，自己与自己干涉。因此，此类错误见解过度夸张了粒子的作用。为了体现波和粒子的彼此不相容，波尔提出了出名的互补性原理，她觉得，波粒二象性是辐射（波）和实物粒子都具有的内禀的和不可避免的性质。波动和粒子描述的是两个抱负的典型概念，各自有其合用范畴。在特定的物理实验中，辐射与实物都可呈现其波动性或粒子性，但这两种抱负的描绘中的任何单独的一方，对不能对所研究的
9、现象给出完整的阐明。典型波和典型粒子这两种概念对于描述微观物质的运动规律互为补充，缺一不可。典型粒子有三个属性：（1）典型粒子具有拟定的大小、质量、电荷，在空间中占据某个拟定的位置，它们与其他物体发生互相作用时，整体地发生作用；（2）典型粒子运动时服从牛顿力学定律，具有拟定的轨道；（3）典型粒子的状态用相应的物理量如位置、动量、能量来表达，这些物理量可以持续取值。典型波动有三个属性：（1）典型的波动是可以在整个空间传播的周期性扰动；（2）表征典型波动的物理量是振幅、频率、相位、波矢，运动规律服从相应的波动方程；（3）典型波动满足叠加原理，符合条件的波可产生干涉、衍射条纹。后来，美国出名物理学家
10、、1965年诺贝尔物理奖得主费曼以电子为例，对于物质的波粒二象性作了对的的解释：电子既不是典型意义下的粒子，也不是典型意义下的波，它具有典型粒子的第一条属性和典型波的第三条属性，是粒子与波动这一对矛盾的综合体。因此，对于电子此类东西的物理实在性，我们就失去了过去曾经得到的一种清晰的图像，甚至连电子（或电子波场）的模糊图像我们也没有了。过去的电子是有大小、有质量、有电荷量的一种小球体，电子波场则可以用振幅、波长、频率、周期、相位、波速等物理量来描述。目前，对于电子（或电子波场）我们仅仅懂得的是波函数。3 不拟定原理德国年轻的学者、量子力学的重要创立人海森堡，在1927 年通过推论觉得，只要微观粒
11、子具有波粒二象性，它的位置和动量就不能同步被精确地测定，这是物质自身属性，而与人类的测量水平无关。称为测不准关系，又名“测不准原理”、“不拟定关系”。这一假设经历了大半个世纪争论才逐渐获得一致, 成为量子力学的重要原理，它反映了微观粒子运动的基本规律。由于这一奉献，年仅31岁的海森堡获得1932年诺贝尔物理奖。在海森堡出名的1927年论文里，写出如下公式 (3-1)这公式给出了任何位置测量所导致的最小无法避免的动量不拟定值。虽然她提到，这公式可以从对易关系导引出来，她并没有写出有关数学理论，也没有予以和确切的定义。她只给出了几种案例（高斯波包）的合理估算。(3-1)式可用高三物理波动光学的知识
12、证明：高三物理有我们熟知的双缝干涉公式 (3-2)上式中的、L、d和分别表达相邻亮（暗）纹的距离、双缝与屏幕的距离、双缝之间的距离、单色光的波长。(3-2)式原则上也合用于单缝干涉的状况，ze式中的d表达单缝的宽度。 海森堡设一种光子从单缝运动到屏幕所用的时间为， (3-2)式也可以写为 (3-3)将德布罗意公式代入上式得，式中的d表达光子通过单缝时位置的范畴，表达光子动量变化的范畴，改用人们习惯的表达d，就得到。在海森堡的芝加哥讲义里，她又进一步改善了这关系式： (3-4)1927年厄尔肯纳德（Earl Kennard）一方面证明（略）了现代不等式： (3-5)其中，是位置原则差，是动量原则
13、差，是约化普朗克常数。1929年，霍华德罗伯森（Howard Robertson）给出（略）如何从对易关系求出不拟定关系式。关系式也可以写为 (3-6)上式中的表达外界对粒子做的功，由能量守恒原理可知它等于粒子获得的能量，即粒子能量的变化范畴是,则（3-6）改写为 (3-7)设粒子转动的轨道半径为r，时间内角度的变化为，粒子位置的不拟定范畴是，将此式代入，得到 (3-8)其中，称为粒子的轨道角动量或动量矩的不拟定范畴。不拟定原理表白：一种微观粒子的某些物理量（如位置和动量，或方位角与动量矩，尚有时间和能量等共轭量），不也许同步具有拟定的数值，其中一种量越拟定，另一种量的不拟定限度就越大。测量一
14、对共轭量的误差的乘积必然不小于常数 （ ，其中是普朗克常数）用公式表达可有：， (3-9)海森伯曾写道：“在位置被测定的一瞬，即当光子正被电子偏转时，电子的动量发生一种不持续的变化，因此，在确知电子位置的瞬间，有关它的动量我们就只能懂得相应于其不持续变化的大小的限度。于是，位置测定得越精确，动量的测定就越不精确，反之亦然。”这样，谈论电子的轨道已经变得毫无意义了。以上分析清晰地表白，有了微观粒子的波粒二象性，就有测不准关系，反之亦然。因此，测不准关系的实质就是微观粒子波粒二象性，或者说，测不准关系的体现式是微观粒子波粒二象性最集中的数学概括。4 薛定谔方程的建立波恩、海森伯、约旦的矩阵力学提出不久，奥地利物理学家薛定谔在1926年提出了量子力学中的一种基本方程薛定谔方程（Schrdinger equation），它是波动力学的基本，也是量子力学的一种基本假定。薛定谔方程是将物质波的概念和波动方程相结合建立起来的二阶偏微分方程，其对的性只能靠实验来检查。后来，薛定谔方程被实验证明是对的的，由于这一奉献，薛定谔获得1933年诺贝尔物理奖。薛定谔后来证明，波动力学与矩阵力学在数学上是等价的，只是体现方式不同而已。数学中的傅里叶展开公式告诉我们，任何一列波都可以当作是若干列简谐波的叠加，因此，简谐波是我们研究波动的重点。根据典型物
