初中数学《最值问题》典型例题一、解决几何最值问题的一般思路两点之间线段最短；直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；三角形两边之和不小于第三边或三角形两边之差不不小于第三边（重叠时取到最值）是解决几何最值问题的理论根据，根据不同特性转化是解决最值问题的核心．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．几何最值问题中的基本模型举例轴对称最值图形原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系特性A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一种动点，求AP+BP的最小值A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一种动点，求|AP-BP|的最大值转化作其中一种定点有关定直线l的对称点先平移AM或BN使M，N重叠，然后作其中一种定点有关定直线l的对称点作其中一种定点有关定直线l的对称点折叠最值图形原理两点之间线段最短特性在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，B点的相应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值．转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值二、典型题型1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=，则△PMN的周长的最小值为 ．【分析】作P有关OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P有关OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．∵PC有关OA对称，∴∠COP=2∠AOP，OC=OP同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．∴△COD是等腰直角三角形．则CD=OC=×3=6．【题后思考】本题考察了对称的性质，对的作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的核心．2．如图，当四边形PABN的周长最小时，a= ．【分析】由于AB，PN的长度都是固定的，因此求出PA+NB的长度就行了．问题就是PA+NB什么时候最短．把B点向左平移2个单位到B′点；作B′有关x轴的对称点B″，连接AB″，交x轴于P，从而拟定N点位置，此时PA+NB最短．设直线AB″的解析式为y=kx+b，待定系数法求直线解析式．即可求得a的值．【解答】解：将N点向左平移2单位与P重叠，点B向左平移2单位到B′（2，﹣1），作B′有关x轴的对称点B″，根据作法知点B″（2，1），设直线AB″的解析式为y=kx+b，则，解得k=4，b=﹣7．∴y=4x﹣7．当y=0时，x=，即P（，0），a=．故答案填：．【题后思考】考察有关X轴的对称点，两点之间线段最短等知识．3．如图，A、B两点在直线的两侧，点A到直线的距离AM=4，点B到直线的距离BN=1，且MN=4，P为直线上的动点，|PA﹣PB|的最大值为 ．【分析】作点B于直线l的对称点B′，则PB=PB′因而|PA﹣PB|=|PA﹣PB′|，则当A，B′、P在一条直线上时，|PA﹣PB|的值最大．根据平行线分线段定理即可求得PN和PM的值然后根据勾股定理求得PA、PB′的值，进而求得|PA﹣PB|的最大值．【解答】解：作点B于直线l的对称点B′，连AB′并延长交直线l于P．∴B′N=BN=1，过D点作B′D⊥AM，运用勾股定理求出AB′=5∴|PA﹣PB|的最大值=5．【题后思考】本题考察了作图﹣轴对称变换，勾股定理等，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的核心． 4．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为 ． 【分析】本题核心在于找到两个极端，即BA′取最大或最小值时，点P或Q的位置．经实验不难发现，分别求出点P与B重叠时，BA′取最大值3和当点Q与D重叠时，BA′的最小值1．因此可求点A′在BC边上移动的最大距离为2．【解答】解：当点P与B重叠时，BA′取最大值是3，当点Q与D重叠时（如图），由勾股定理得A′C=4，此时BA′取最小值为1．则点A′在BC边上移动的最大距离为3﹣1=2．故答案为：2【题后思考】本题考察了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生重要缺少动手操作习惯，单凭想象导致错误． 5．如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于 ．【分析】如图，经分析、探究，只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小；根据勾股定理求出BD的长度，问题即可解决．【解答】解：如图，∵当点P落在梯形的内部时，∠P=∠A=90°，∴四边形PFAE是以EF为直径的圆内接四边形，∴只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小，此时E与点B重叠；由题意得：PE=AB=8，由勾股定理得：BD2=82+62=80，∴BD=，∴PD=．【题后思考】该命题以直角梯形为载体，以翻折变换为措施，以考察全等三角形的鉴定及其性质的应用为核心构造而成；解题的核心是抓住图形在运动过程中的某一瞬间，动中求静，以静制动． 6．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为 ．【分析】取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=AB，运用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和不小于第三边可得OD过点E时最大．【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，∵∠MON=90°，AB=2∴OE=AE=AB=1，∵BC=1，四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=1，∴DE=，根据三角形的三边关系，OD＜OE+DE，∴当OD过点E是最大，最大值为+1．故答案为：+1．【题后思考】本题考察了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，勾股定理，拟定出OD过AB的中点时值最大是解题的核心． 7．如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是 ． 【分析】设AC=x，BC=4﹣x，根据等腰直角三角形性质，得出CD=x，CD′=（4﹣x），根据勾股定理然后用配措施即可求解．【解答】解：设AC=x，BC=4﹣x，∵△ABC，△BCD′均为等腰直角三角形，∴CD=x，CD′=（4﹣x），∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°，∴∠DCE=90°，∴DE2=CD2+CE2=x2+（4﹣x）2=x2﹣4x+8=（x﹣2）2+4，∵根据二次函数的最值，∴当x取2时，DE取最小值，最小值为：4．故答案为：2．【题后思考】本题考察了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，核心是掌握用配措施求二次函数最值． 8．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为 ．【分析】根据轴对称拟定最短路线问题，作点P有关BD的对称点P′，连接P′Q与BD的交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P′Q⊥CD时PK+QK的最小值，然后求解即可．【解答】解：如图，∵AB=2，∠A=120°，∴点P′到CD的距离为2×=，∴PK+QK的最小值为．故答案为：．【题后思考】本题考察了菱形的性质，轴对称拟定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和运用轴对称拟定最短路线的措施是解题的核心． 9．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上的任意一点（可与B、C 重叠），分别过B、C、D 作射线AP的垂线，垂足分别为B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的取值范畴是 ．【分析】一方面连接AC，DP．由正方形ABCD的边长为1，即可得：S△ADP=S正方形ABCD=，S△ABP+S△ACP=S△ABC=S正方形ABCD=，继而可得AP•（BB′+CC′+DD′）=1，又由1≤AP≤，即可求得答案．【解答】解：连接AC，DP．∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长为1，∴AB=CD，S正方形ABCD=1，∵S△ADP=S正方形ABCD=，S△ABP+S△ACP=S△ABC=S正方形ABCD=，∴S△ADP+S△ABP+S△ACP=1，∴AP•BB′+AP•CC′+AP•DD′=AP•（BB′+CC′+DD′）=1，则BB′+CC′+DD′=，∵1≤AP≤，∴当P与B重叠时，有最大值2；当P与C重叠时，有最小值．∴≤BB′+CC′+DD′≤2．故答案为：≤BB′+CC′+DD′≤2．【题后思考】此题考察了正方形的性质、面积及等积变换问题．此题难度较大，解题的核心是连接AC，DP，根据题意得到S△ADP+S△ABP+S△ACP=1，继而得到BB′+CC′+DD′=．10．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是 ．【分析】运用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P与D重叠时PE+PF的最小值，进而求出即可．【解答】解：由题意可得出：当P与D重叠时，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小，连接BD，∵菱形ABCD中，∠A=60°，∴AB=AD，则△ABD是等边三角形，∴BD=AB=AD=3，∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1，∴PE=1，DF=2，∴PE+PF的最小值是3．故答案为：3．【题后思考】此题重要考察了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识，根据题意得出P点位置是解题核心． 。