第5章VAR模型分析5．1引论考虑简单的二维系统，如果没有充分的理由确定变量是否为外生变量的情况下，可以认为两变量具有反馈关系假设y的时间路径受Z的现期值与过去值影响，Z的时间路径受ttt的现期值与过去值影响：t))y=b-bz+丫y+丫z+£t1012t11t-112t-1ytz=b-by+Yy+Yz+£t2021t21t-122t-1zt这里假设：（1）yt，zt是平稳的；（2）j是白噪声扰动,ttytzt标准差分别为◎Q；（3）｛e｝，怡｝是不相关的yzytzt方程（）,（）构成了一阶向量自回归（VAR）方程（）,）称为结构式VAR，简记为SVAR,这个系统反映了yt,zt之间的相互反馈如，-b12是zt变化一个tt12t单位对yt的当期影响」是zt1变化一个单位对yt的影响t12t-1t注意：e和e分别是对yt和zt的更新（或冲击）当然，若ytztttb不为零，e对z有间接的当期影响口，b12不为零，e21ytt12zt对yt有间接当期影响这样的系统可以捕捉反馈影响方程（），（）不是导出型（约化型）方程，因为，y对z有当期影响，且z对y有当期影响但可以将这方程系tttt统转化成一个更便于应用的形式。
我们可将这系统写成下面形式"1byb"yy一y812t=10+1112t-1+ytb1zbyyz821—1t202122」t-1zt或bx=r+rx+8()t01t-1t这是B="1b一12,X=yt，r="b一10，r="yy-1112，8="8ytb1tz0b1yyt821t202122zt前乘B-1可得到标准形式的VARX=A+AX+et01t_1t这里A=B-1厂,A=B-1厂,e=B-ig0011tt定义a是向量A的第i个元素，a是矩阵a中的i行j列元i00ij1素，e是向量e中的第i个元素，则（）可写为itt))y=a+ay+az+et1011t-112t-11tz=a+ay+az+et2021t-122t-12t方程(),(5.1.5)称为标准型的VAR这时误差项两个冲击gg的组合由e=B-18,可计算ytzttte=(8-b8)/(1-bb)1tyt12zt1221e=(8-b8)/(1-bb)2tzt21yt1221由于8,8是白噪声过程，所以，e,e1te1t2如下:2t和e是2t(5.1.6)(5.1.7)ztEe=01tEe2=(g2+b2G2)/(1-bb)21ty12z1221=E[(8-b8)(8-b8)]/(1-bb)2=0yt12ztyt-i12zt-i1221是序列无关的，e也是序列无关的，且分别有零均2t值，常量方差。
冲击e,e的协方差矩阵为1t2tytEee1t1t-i因此，e1t(Var(e)cov(e,e)'工=ItIt2t、cov(e,e)Var(e))1t2t2t由于Eee=E[(£-b8)(8-b8)](1-bb)21t2tyt12ztzt21yt1221=—(bQ2+bQ2)/(1-bb)221y12z1221()般来说（5丄7）不为零，所以eit，是序列相关的,即两个冲击是相关的当b二b二0时（即y对z没有当期影响,1221ttZ对y也没有当期影响）,tt"it，e21是序列不相关的由于丫中所有元素都与时间t无关，所以可写成如下Q122丿2125．2估计和识别考虑下面多维自回归过程X=A+AX+AX++AX+e（）t01t-12t-2pt-pt这里X是nx1向量，A是nx1截距向量，A是nxn系数矩阵，e是nx1t0it误差向量矩阵A含有n个参数，每个a都含有n2个参数，所以，0i有n+pn2个参数需要估计通常，这些估计的参数中的许多是不显著的，VAR将是过度参数化然而，由于目标是找出这些变量之间的相关关系，并不是作短期预测加入一些不适当的零限制会损失重要的信息而且，解释变量之间也可能有共线性，对单个系数的t-检验对于简化模型不一定非常可靠。
由于方程()的右边只包含滞后变量，且误差项是序列无关的，常数方差因此，这系统中每个方程都能用OLS估计，而且OLS估计是一致的且是渐近有效的识别为了说明识别程序，我们回到二变量一阶VAR的例子由于VAR过程中的反馈，方程()，()不能直接估计，原因在于z与*相关，y与*相关标准估计方法要tyttzt求解释变量与误差项无关注意，在估计标准型VAR()，()中，不存在这样问题OLS能提供A中两元素的估0计，A中4个元素的估计而且，从两个回归中获得残差，1可以得到气，e2的方差，协方差的估计问题在于是否能重1t2t新得到由方程()，()所提供的信息换句话说，对于(),()构成的VAR模型的OLS估计，原来的方程组()()是否是可识别的？如果我们比较方程组()()中参数的个数与方程组(5.1.4),(5.1.5)中参数的个数，可以看出，除非对方程()()施加一些必要的限制，否则就是不可识别的方程(5.1.4),(5.1.5)有9个参数需要估计，6个系数的估计(a,a,a,a,a,a)和3个参数Var(e),Var(e),Cov(e,e)的1t2t1t2t值而结构方程(5.1.1),(5.1.2)中包含10个参数。
b和b,20711,12,721,7221221O,OOyz总之，结构方程()，()中包含10个参数，而VAR估计只得到9个参数除非我们对其中的一个参数加上限制，否则不可能识别这个方程，方程()，()是不足识另U(underidentified)的识别模型的一种方法是Sims(1980)提出的在结构模型中施加“识另限制”的估计策略，即采用递归方程组型式在Sims的方法中，根据有关的经济模型来选取VAR变量，通过滞后长度的检验来确定方程中的滞后长度如果对结构方程组系数加入一个限制，如系数b=0，这时结构方程变为21y=b一bz+7y+7z+£t1012t11t-112t一1ytz=b+7y+7z+8()t2021t一122t一1zt同样()，()变为e=8—b81tyt12zte=82tzt限制b=0意味着，z对y有当期影响，但y的一步滞后21ttt影响z加入这个限制(也许是由于特殊的经济模型)，得到t了一个恰好识别系统限制b=0也意味着，B-1可由下式给21出(1-b)B-1=12(01丿用B-1前乘结构方程组，给出fy)tIzt丿或f.1-b)fb.0121)丿.10丿20(1.0-b7121Y丿.11AY21Y12Y22八)fy)t-1Zt-1丿f1+.0-b121Y£yt£zt丿、fyt)tIztfb-b1012.b2020b20-bY1221Y12Y21-bY1222Y22)fyt-1t-1人zt-112zt£zt)利用OLS估计这个方程组，就会得到y=a+ay+az+et1011t-112t-11tz=a+ay+az+et2021t-122t-12t这里a=b-bb101220a=Y-bY111221a=Y-bY121222a=b2020a=Y2121a=Y2222由于b=0，则e=£一b£和e=£，因此'211tyt12zt2tztVar(e)=c2+bc21y12zVar(e)=c22zcov(e,e)=-bc21212z因此，我们把得到的9个估计出来的参数a,a,a,a,a,a,Var(e),Var(e),cov(e,e)，代入上方9个方程中，并解出b,b,丫,丫,b,丫,丫Q2q2。
yz这时可以利用e、b的估计和关系式e=£-b£，求出2t121tyt12zt£t,£t的估计ytzt限制b二0意味着，y对z没有当期影响，在()21tt中，£,£都影响y的当期值，而只有£影响z的当期值eytzttztt2t只是对z的冲击按照这种三角形式分解残差的方法称为tCholeski分解在n个变量的VAR中,B是nXn矩阵(有n个回归残差,n个结构冲击)，要有(n2-n)/2个限制加入到回归残差和结构冲击中因为，Choleski分解是三角形的，使矩阵B中有(n2-n)/2个值等于零VAR模型的假设检验1、变量个数的选择一般来说，VAR模型中可以包含很多变量，但每加入一个变量，就要增加np个需要估计的参数，从而减少了假设检验的自由度，所以模型中变量不应包含太多变量模型变量的选择方法——根据相关的经济理论选择一组相关变量2、模型滞后长度的检验首先，用自由度允许的最大滞后长度估计VAR模型，提出最后几个滞后项的系数为0的零假设；其次，根据零假设的约束，用同样观测序列样本估计带约束的VAR模型；再次，分别计算无约束VAR和带约束VAR模型的残差的协方差矩阵工u和工r,构造出检验上述零假设的似然比统计量：(T-c)(logYr-loglSJ)〜X2(q)式中：T—估计模型所用观测值的个数；c—无约束VAR模型中每个方程的参数个数；q—带约束VAR模型中约束的个数。
最后，根据似然比统计量的值和X2(q)分布的临界值，判断是否拒绝零假设3、VAR模型选择的AIC和SBC准则将单变量模型选择的AIC和SBC准则推广到多变量，则有：AIC=Tlog\ZI+2NSBC=Tlog\2\+Nlog(T)式中:\ZI—模型残差的协方差矩阵的行列式；N—模型全部方程的参数总个数5.3脉冲反应函数自回归有运动平均表示，向量自回归也有向量运动平均表示(VMA)向量运动平均表示是Sims(1980)方法的一个主要特征，我们可以分析VAR中变量受冲击的时间路径为了说明，仍然采用二变量一阶VAR为例(y)tIzt丿'a、10la丿20厂a11、a21a12a22丫y)t-i+人z丿t-1
0中元素给出了8，8对y，Z的冲击效果的时间路径iyz四个元素0jk(0)是影响乘数如，系数012(0)是8的一个。