考研数学二真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．若函数在处连续，则（A） （B） （C） （D）【详解】，，要使函数在处连续，必需满足．所以应当选（A）2．设二阶可导函数满足，，且，则（ ）（A） （B） （C） （D）【详解】注意到条件，则知道曲线在上所有是凹，依据凹凸性定义，显然当初，，当初，，并且两个式子等号不是四处成立，不然不满足二阶可导．所以．所以选择（B）．当然，假如在考场上，不用这么具体考虑，可以考虑代一个特殊函数，此时，可鉴定出选项（A），（C），（D）所有是错误，当然选择（B）．盼望同学们在复习基础知识同时，掌握这种做选择题技巧．3．设数列收敛，则（A）当初， （B）当初，(C）当初， （D）当初，【详解】此题考评是复合函数极限运算法则，只有（D）是对的．其实此题注意，设，则分别解方程时，发现只有第四个方程有唯一解，也就是得到．４．微分方程特解可设为（ ）（A） （B）（C） （D）【详解】微分方程特性方程为，有一对共轭复数根．所以不是特性方程根，所以相应方程特解应当设为；而是方程单根，所以相应方程特解应当设为；从而微分方程特解可设为，应当选（C）．5．设具有一阶偏导数，且对任意所有有，则（ ）（A） （B）（C） （D）【详解】由条件对任意所有有可知对于是单调增长，对就单调减少．所以，只有第三个不等式可得对的结论（D），应当选（D）．6．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：米）处，图中，实线表达甲速度曲线（单位：米/秒），虚线表达乙速度曲线（单位：米/秒），三块阴影部分面积分别为，计时开始后乙追上甲时刻为，则（ ）（A） （B）（C） （D）【详解】由定积分物理意义：当曲线表达变速直线运动速度函数时，表达时刻内所走路程．本题中阴影面积分别表达在时间段内甲、乙两人所走路程之差，显然应当在时乙追上甲，应当选（C）．7．设为三阶矩阵，为可逆矩阵，使得，则（ ）（A） （B） （C） （D）【详解】显然这是矩阵相同对角化题目．可知所以，所以可知选择（B）．8．已知矩阵，，，则 （A）相同，相同 （B）相同，不相同（C）不相同，相同 （D）不相同，不相同【详解】矩阵特性值所有是．是否可对解化，只需要关心情况．对于矩阵，，秩等于1 ，也就是矩阵属于特性值存在两个线性无关特性向量，也就是可以对角化，也就是．对于矩阵，，秩等于2 ，也就是矩阵属于特性值只有一个线性无关特性向量，也就是不可以对角化，当然不相同故选择（B）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．曲线斜渐近线为 ．解：，，所以斜渐近线为．10．设函数由参数方程拟定，则 ．【详解】，所以．11 .【详解】12．设函数具有一阶连续偏导数，且已知，，则 【详解】，所以，由，得，所以．13． ．【详解】互换二重积分积分顺序得：14．设矩阵一个特性向量为，则 ．【详解】依据特性向量定义，有，解得．三、解答题15．（本题满分10分）求极限【详解】令，则，16．（本题满分10分）设函数具有二阶连续偏导数，，求，．【详解】，；．17．（本题满分10分）求【详解】由定积分定义18．（本题满分10分）已知函数是由方程．【详解】在方程两边同时对求导，得 （1）在（1）两边同时对求导，得也就是令，得．当初，；当初，当初，，，函数取极大值；当初，，函数取极小值．19．（本题满分10分）设函数在区间上具有二阶导数，且，，证实：（1）方程在区间最少存在一个实根；（2）方程在区间内最少存在两个不同样实根．证实：（1）依据局部保号性结论，由条件可知，存在，及，使得，由于在上连续，且，由零点定理，存在，使得，也就是方程在区间最少存在一个实根；（2）由条件可知，由（1）可知，由洛尔定理，存在，使得；设，由条件可知在区间上可导，且，分别在区间上对函数使用尔定理，则存在使得，也就是方程在区间内最少存在两个不同样实根．20．（本题满分11分）已知平面区域，计算二重积分【详解】由于积分区域相关轴左右对称，所以由二重积分对称性可知．所以其中运用瓦列斯公式，知21．（本题满分11分）设是区间上可导函数，且．点是曲线上任意一点，在点处切线和轴相交于点，法线和轴相交于点．若，求上点坐标满足方程．【详解】曲线过点切线方程为，令，得；曲线过点法线方程为，令，得．由条件，可得微分方程标准形为，是个一阶齐次型微分方程．设，方程化为，整理，得分离变量，两边积分，得由初始条件，得，拟定常数所以曲线方程为．22．（本题满分11分）设三阶矩阵有三个不同样特性值，且（1）证实：；（2）若，求方程组通解．【详解】（1）证实：由于矩阵有三个不同样特性值，所以是非零矩阵，也就是．假若时，则是矩阵二重特性值，和条件不符合，所以有，又由于，也就是线性相关，，也就只有．（2）由于，所以基础解系中只有一个线性无关解向量．由于，所以基础解系为；又由，得非齐次方程组特解可取为；方程组通解为，其中为任意常数．23．（本题满分11分）设二次型在正交变换下标准形为，求值及一个正交矩阵．【详解】二次型矩阵由于二次型标准形为．也就说明矩阵有零特性值，所以，故令得矩阵特性值为．通过度别解方程组得矩阵属于特性值特性向量，属于特性值特性值特性向量，特性向量．所认为所求正交矩阵．。