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1、第 第一讲 将军饮马问题 学习要点与方法点拨一、主要内容 (1)将军饮马问题的概念。(2) 将军饮马问题在坐标系、一次函数、三角形、正方形中的应用。(3) 将军饮马问题与勾股定理。二、本章重点 掌握将军饮马问题的概念和解题思路,能解决将军饮马问题和一次函数、坐标系、几何图形和勾股定理等的综合习题。 课前预习轴对称的性质与作法;一次函数的性质;勾股定理的性质;三角形、矩形、正方形的性质;三角形的三边关系、平移的性质。 模块精讲一、 将军饮马问题的概念和基本思路 起源:古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者,名叫海伦。有一天,有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题: 如图,有一
2、位将军从位于A点的军营,返回位于B点的家中,途中需要到达一条小河MN边,让马去河里喝水。那么,该如何选择路径,才能使将军回家的过程中,走过的路程最短? 精通数理的海伦稍加思索,便作了完善的回答。这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题。 A B M N初一看,这个问题好像没有什么思路,那我们先把问题的概念转换一下。这个问题中A点和B点在河MN的同一侧,那么,如果A点和B点在河MN的不同侧呢?这时我们好像有一点眉目了,我们要利用的定理就是:两点之间直线最短,先找线路再找点。那我们再回到最开始时的问题,是不是有了启发呢?思路:为了找线路,可以利用轴对称的原理,先做对称,再转化成三角形的三边关系。例1
3、,如图,一匹马从S点出发,先去河OP边喝水,再去草地OQ吃草,然后再回到S点。该如何选择线路,使得经过的总路程最短? P y 河水 A .S N B O Q x 草地 O M 例1图 例2图二、 将军饮马与坐标系 例2,已知A(2,3)、B(3,2),M是x轴上的一个动点,N是y轴上的一个动点,求AN+NM+BM的最小值,并求出此时M、N的坐标。 思路:作对称 两段折线 作一次对称 转化折线 三段折线 作两次对称 转化折线 连线段 最小值 例3,已知A(-3,4)、B(-2,-5)、M(0,m)、N(0,m+1),求BM+MN+AN的最小值,并求此时对应的m的值。 运用平移的性质 例4,已知A
4、(4,1)、B(-3,-2),试在x轴上找一点C,是|AC-BC|最大,求出点C的坐标和这个最大值。 构造三角形,运用三角形的边长关系三、 将军饮马问题解题思路的归纳学习了几个常见的例子,我们再来整理一下思路。首先明白几个概念,动点、定点、对称点。动点一般就是题目中的所求点,即那个不定的点。定点即为题目中固定的点。对称的点,作图所得的点,需要连线的点。1. 怎么对称,作谁的对称?简单说所有题目需要作对称的点,都是题目的定点。或者说只有定点才可以去作对称的。(不确定的点作对称式没有意义的)那么作谁的对称点?首先要明确关于对称的对象肯定是一条线,而不是一个点。那么是哪一条线?一般而言都是动点所在直
5、线。2. 对称完以后和谁连接?一句话:和另外一个顶点相连。绝对不能和一个动点相连。明确一个概念:定点的对称点也是一个定点。3. 所求点怎么确定?首先一定要明白,所求点最后反应在图上一定是个交点。实际就是我们所画直线和已知直线的交点。4. 将军饮马一定是求最短距离吗?肯定不是。或者说求最短距离是将军饮马中的最简单一类题目。根据将军饮马的基本模型可以拓展出很多题型。根本原因是因为在作轴对称过程中不但是作了点的对称,还作了边长和角度的对称!或者说边长和角度的对称才是最关键。四、 将军饮马与勾股定理 例5,如图,将军的军营在A处,与河岸的距离OA=4km,将军的家在B处。且QA=7km,QB=8km,
6、他下班回家的路上先把马牵到小河边去饮水,然后再回到家中,求他下班回家要走的最短路程。 O 小河 P A B A1 Q B 例5图 例6图 O A A2 Q 例6,如图,POQ = 20,A为OQ上的点,B为OP上的点,且OA=1,OB=2,在OB上取点A1 ,在OQ上取点A2 ,求AA1 + A1A2 + A2B的最小值。 例7,AOB = 45,P是AOB内一点,PO = 10,Q、R分别是OA、OB上的动点,求PQR周长的最小值。五、 三角形、正方形中的将军饮马例8,如图,在等边ABC中,AB=6,ADBC,E是AC上的一点,M是AD上的一点,且AE=2,求EM+EC的最小值。 例8图 例
7、9图例9,如图,在锐角ABC中,AB=42,BAC45,BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是_。例10,如图,正方形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM2,N是AC上的一动点,DNMN的最小值为_。 例10图 例11图例11,在边长为2的正方形ABCD中,点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上一动点,连接PB、PQ,则PBQ周长的最小值为_例12,一次函数y = kx + b的图象与x、y轴分别交于点A(2,0),B(0,4)(1)求该函数的解析式;(2)O为坐标原点,设OA、AB的中点分别为C、D,P为OB上一动点,求PCPD的最小值,并求取得
8、最小值时P点坐标 y例13,如图,在坐标系xOy中,有一条河,河岸分别为x轴和直线MN,直线MN与y轴的 P交点为A(0,2),P、Q两地位于河的两岸,且P(0,5)、Q(5,-1)。现在需要在河上架一座桥,(桥必须垂直于河岸),来沟通P、Q两地,求 M A B N桥的端点B、C的坐标,使得从P地到Q地的路程最短。 O C x Q总结:将军饮马问题 = 轴对称问题 = 最短距离问题(轴对称是工具,最短距离是题眼)。所谓轴对称是工具,即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离是题眼,也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现“线段a+b的最小值”这样的条件或者问题。一旦出现可以快速联
9、想到将军问题,然后利用轴对称解题。学习效果能将实际问题中的“地点”、“河”、“草地”抽象为数学中的“点”、“线”,把最短路径问题抽象为数学中的线段和最小问题,能利用轴对称将处在直线同侧的两点,变为两点处在直线的异侧,能利用平移将两条线段拼接在一起,从而转化为“两点之间,线段最短”问题,能通过逻辑推理证明所求距离最短,在探索问题的过程中,体会轴对称、平移的作用,体会感悟转化的数学思想. 课后巩固习题1,已知A(-1,4),B(1,1),在x轴上找一点C,使AC+BC最小。则C点的坐标是_,AC+BC的最小值是_。2,已知A(-1,3),B(-3,1),M是x轴上一动点,N是y轴上一动点,则当AN+NM+MB最小时,M的坐标是_,N的坐标是_。3,已知A(-4,4),B(-1,-3),M(0,m),N(0,m+1),当BM+MN+AN最小时,点M的坐标是_,最小值是_。4,已知A(-4,5),B(2,-2),在x轴上找一点C,则当|AC-BC|最大时,点C的坐标是_,最大值是_。5,如图,点A,B位于直线l的同侧,到直线l的距离AC = 10,BD = 30,且CD = 30,在直线l上找到一点M,是AM+BM最短,则最短距离是_。 B A M A P 直线l C D