《复杂非线性系统的混沌》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复杂非线性系统的混沌（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、文献综述/题目复杂非线性系统中的混沌学生姓名孟玉丽专业班级电气07-2班学号2007010229院（系）电气信息工程学院指导教师（职称）完成时间2011年4月5日复杂非线性系统中的混沌1混沌理论的产生与发展非线性混沌与分形理论的基本思想起源于20世纪初，形成与20世纪60年代后，发展壮大玉20世纪80年代。这一理论揭示了有序与无序的统一、确定性与随机性的统一，并成为正确的宇宙观和自然哲学的里程碑。混沌与分形理论被认为是继相对论、量子力学之后、20世纪在科学领域中人类认识世界和改造世界的最富有创造性的第三次大革命。1.1混沌理论的产生混沌，通常理解为混乱、无序、未分化，如所谓“混沌者，言万物相混
2、成而未相离”（易经）“窈窈冥冥”、“昏昏默默”（庄子）混沌最初进入科学领域是与以精确著称的数理科学无缘的，混沌主要是一个天文学中与宇宙起源有关的概念，它来源于神话传说与哲学思辨，在现代，混沌被赋予了新的意义，混沌是指在确定性系统中出啊先的类似随即的过程，其来自分先行。混沌的理论基础可追朔到19世纪末创立的定性理论，但真正得到发展是在20世纪70年代，现在方兴未艾。300年前，Newton（牛顿）的万有引力定律和他的三大力学定律将天体的运动和地球上物体的运动统一起来，Newton的这一科学贡献曾被视为近代科学的典范，Newton在讨论宇宙起源时就曾使用过混沌概念，他当时的观点与当代有序来源于对称
3、破缺是一致的，18世纪具有彻底牛顿宇宙观的伟大的科学家Laplace（拉普拉斯）曾有传世名言：“如果有以为智慧之神，在给定时刻能够辨别出赋予大自然以生命的全部的力和组成万物的个别位置，而且他有足够深邃的睿智能够分析这些数据，那么他将把禹州中最卫校的院子和庞大的天体的运动都包括在一个公式之中，对他来说，没有什么东西是不确定的，未来就如同过去那样是完全确定无疑的。”Laplace的这句话可解释为：“如果已知宇宙中每一粒子的位置与速度，那么就可以预测禹州在整个未来中的状况。”要实现Laplace的这一目标显然有若干实际困难，但一百多面来似乎没有理由怀疑他至少在原则上是正确的。后来Einstein（爱
4、因斯坦）也曾表态说：“我无论如何深信上帝不是在掷骰子然而，随着科学的发展，人们进一步认识到，Newton力学的真理性收到了一定的限制，19世纪末20世纪初，人们发现Newton力学不能反映高速运动的规律、一切接近光速的运动应当用Einstein的相对论方法来计算,在此前后，人们又发现，微观粒子的运动并不遵守Newton力学的规律,在微观世界中应当用量子力学的薛定谔方城来代替Newton力学方程。20世纪后半叶，由于量子力学的星期，海森堡不确定关系的确立，使Laplace的决定论在20世纪的科学界趋于失势。同事，物理学在非线性方面所取得的两大进展：非平衡物理学和始于混沌概念的不稳定系统动力学，又
5、使Newton力学收到了更大的冲击。非平衡物理学研究远离平衡状态的系统，这门新学科产生了诸如自组织和耗散结构这样一些概念，它们描述了单项时间效应，即不可逆性。例如，香水瓶打开之后，香水会挥发掉，香气充溢整个房间，但无论如何，空气中的香水分子不会自发地重新聚集到瓶子里。常识告诉我们，从摇篮到坟墓，时间一往无前，永不倒退。然而Newton和Einstein确立的自然法则，却摘述了一个无时间的确定性宇宙。物理学基本定律所描述的时间，从经典的Newton力学到相对论和量子力学，均未包含过去和未来之间的任何却别。所以，Einstein常说：“时间（不可逆性）是一种错觉。”时间可逆过程在现实世界中是罕见的
6、，不可逆过程（如炒鸡蛋）却在我们周围频频发生，难道时间真是一种错觉？另外，经典科学强调有序和稳定性，以Newton理论为代表的近代科学创造了一种能够精确刻画必然性或确定性的方法。然而人们在研究非线性系统时却发现了分岔、突变、混沌等现象2。早在1920世纪之交，发过科学家Poincare（庞加莱）研究了天体力学中的三体问题，当时Newton的万有引力定律能够很好的解决地球绕太阳公转的二体问题，即地球沿椭圆轨道运行。但在处理三个相互吸引的天体问题（即三体问题）时，Newton定律遇到了困难，因此三体问题已成了多年来困扰牛顿力学的难题。Poincare把动力系统和拓扑学有机的结合起来，并指出三体的运
7、动中可能存在混沌特性。但当时大多数物理学家都不理解和欣赏Poincare的工作，因为牛顿力学占据了科学领域的统治地位，经典牛顿理论用一层厚实而不易察觉的帷幕把混沌现象这块丰饶的宝地给隔开了，但Poincare第一次在这道帷幕上撕开了一条缝，暴露出后面尚有一大片未开发的“西部世界”。Poincare发现三体问题（如太阳、月亮和地球三者的相对运动）与单体问题、二体问题不同，它是无法求出精确解的。于是，1903年Poincare在他的科学与方法一书中提出Poincare猜想。他支出三体问题中，在一定范围内，其解是随机的。实际上这是一种保守系统中的混沌，从而使Poincare成为世界上最先了解混沌存在
8、的可能性第一人2。现在看来，哪怕是再天才的科学家，如Laplace、Einstein，由于受所处时代科学发展水平和个人科学经验的局限，仍然可能对科学发表失当的言论。正如美国注明科学家Gleick所云：“混沌学排除了Laplace决定论的可预测性的狂想。”1.2混沌理论的发展过程我们生活和面对的世界是个演化系统，是极其复杂的。复杂性到处都是，复杂系统无处不在，如宇宙天体、生物系统、社会系统等。复杂系统有自然的、人为的或人造的以及人叠加于自然的复合复杂系统。目前，对复杂性尚无统一认识。一般认为，复杂性可归难为：系统的多层次性、多因素性和多变性，各因素或子系统之间的及系统与环境件的相互作用，随之而有
9、的整体行为和演化。所谓复杂性研究，就是研究复杂系统的结构、组成、功能及其相互作用，系统与环境的相互作用，研究系统的整体行为和演化规律及控制它们的机制，然后建立模型，进行模拟实验，进一步对其施加影响、管理和调控。现实世界的复杂性，大都源于非线性。但以Newton力学为奠基石的近代自然科学总是试图在复杂的自然现象中寻求一种线性化的，简单性的答案。这种以局部线性化处理非线性问题，用世界“片面的美”掩盖了“完整的真”。要探索自然界的复杂性，必须研究非线性。20世纪的二三十年代，G.D.Birkhoff紧跟Poincare的学术思想，I960简历了动力系统理论的两个主要研究方向：拓扑理论和遍历理论。到年
10、前后，非线性科学研究得到了突飞猛进的发展，A.N.Kolmogorov与V.I.Amold及J.Moser深入研究了Hamilton系统(或保守系统)中的运动稳定性，得出了著名的KAM定理，即用这三围发现者的名字命名的定理。KAM定理为揭示Hamilton系统中KAM环面的破坏以及混沌运动奠定了基础2-5。给出混沌解第一个例子是1963年美国科学家E.N.Lorenz在美国大气科学杂志上发表的文章确定性的非周期流。在第二次世界大战期间，Lorenz成了一名空军气象预报员，结果他迷上了天气预报。1963年，在气象预报的研究中，Lorenz用计算机模拟天气情况，发现了天气变化的非周期性和不可预言性
11、之间的联系。Lorenz从对流问题中提炼出一组三维常微分方程组。用来描述天气的演变情况。在他的天气模型中，Lorenz看到了比随机性更多的东西，看到了一种细致的几何就够，发现了天气演变对初值的敏感性依赖。Lorenz提出了一个形象的比喻：“巴西的一只蝴蝶扇动几下翅膀，可能会改变三个月后美国德克萨斯州的气候。”这被称为“蝴蝶效应”。用混沌学术语表达就是系统长期行为对初值的敏感性依赖。1964年，M.Henon等人以KAMS论为背景，发现了1个二维不可积Hamilton系统中的确定性随机行为，即Henon吸引子。D.Ruelle和F.Takens提出了“奇怪吸引子”(Strangeattracto
12、r)的概念，同时将这一概念引入耗散系统，并于1971年提出了一种新的涡流发生机制。这一工作由J.P.Gollub等人的实验结果所支持，并对后来关于Smale马蹄吸引子的研究起到一定的推动作用。Smale马蹄吸引子是指在Lorenz以后，美国数学家Smale发明了一种被乘坐“马蹄”的结构，以后的岁月里成为混沌经久不衰的形象。Smale的马蹄结构，可比喻为在一团橡皮泥上任意取两点，然后把橡皮泥拉长，在折叠回来，不断地拉长、折叠，使之错综复杂地子果嵌套起来。这样原来确定的两点到最终离的很近，但又是从相距任意远处开始运动的，接着Smale又提出了马蹄变换，为20世纪70年代混沌理论的研究做了重要的数学
13、理论准备。1975年，T.y.Li（李天碧）和J.A.York提出“周期3蕴含混沌”的思想，被认为是对混沌的第一次正式表述，Chaos一词也自此被正式使用3。后来Li和York的观点在许多方面得到了推广，如Oono指出“周期工蕴含混沌”等。不过在Li和York之前，A.N.Sarkovskii就已提出了类似的思想。1976年，R.M.May研究了一维平方映射，并在一篇综述中提出非常简单的一维迭代映射也能产生复杂的周期倍化和混沌运动。在这个基础上,M.J.Feigenbaum于1978年发现了倍周期分岔通向混沌的两个普适常数，并引入了重整化群思想，这是一个重大的发现，具有里程碑的意义。F.Tak
14、ens于1981年提出了判定奇怪吸引子的实验方法，而P.J.Holmes转述并发展的Melmikov理论分析方法可用于判别二维系统中稳定流形和不稳定流形是否相交，也即判别是否出现混沌。在混沌理论的发展中，各种混沌现象不断被发现，各种分析方法和判据也相继被提出，混沌理论在许多领域获得了广泛的应用。1.3混沌研究的意义与发展前景著名的比利时科学家、诺贝尔奖金获得者Prigogine等人在探索复杂性专著中，又从多方面研究了混沌问题12。他们通过对一些非平衡过程可以以各种不同的方式进入混沌，以及对混沌特性的研究后发现，这种混沌不同于宇宙早起热力学平衡态的混沌，它是有序和无序的对立统一，既有复杂性的一面
15、，又有规律性的一面。这就意味着，对混沌科学的深入研究，将会对自然科学带来新的突破。正如日本著名统计物理学家久保在1978年所指出的：“在非平衡、非线性的研究中，混沌问题揭示了新的一页。”美国一个国家科学机构，把混沌问题列为当代科学研究的前沿之一，混沌科学最热心的倡导者、美国海军官员Shlesinger说：“20世纪科学界将永远铭记的只有三件事：相对论、量子力学和混沌。”物理学家Ford认为，混沌是20世纪物理学第三次最大的革命，与前两次革命相似，混沌也与相对论及量子力学一样冲破了牛顿力学的教规。他说：“相对论消除了关于绝对空间与时间的幻想，量子力学消除了关于可控测量过程的牛顿式的梦，而混沌则消
16、除了Laplace关于决定论式的可预测性的幻想。”与牛顿力学的应用经受相对论和量子力学革命性的突破有所不同，这次革命的实质就在于混沌是直接用于研究人们所感知的真实宇宙，是在人类本身的尺度大小差不多的对象中所发生的过程。人们研究混沌时所探索的目标就处在日常生活经验与这个世界的真实图像之中。混沌理论研究大于世界中的复杂奇妙现象，独步经典科学之外，另辟蹊径，开创了一条新的科学革命道路。混沌学改变了科学世界的图景，认为世界是一个有序与无序的统一、确定性与随机性的统一、简单性与复杂性的统一、稳定性与不稳定性的统一、完全性与不完全性的统一、自相似性与非相似性的统一的世界。显然，遗忘那种只追求有序、精确、简单的观点是不全面的。因为牛顿力学所描绘的世界是一幅静态的、简单的、可逆的、确定性的、永恒不变的自然图景。形成了一种关于“存在”的机械自然观。
